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圆的基本性质 单元培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（　　）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
2．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，弧BC长为50πcm，则半径AB的长为（　　）
A．50cm B．60cm C．120cm D．30cm
3．如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（　　）
A．120° B．118° C．110° D．108°
4．如图，在⊙O中，若C是BD的中点，则图中与∠BAC相等的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，面积为18的正方形 内接于⊙O，则 的长度为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，P是等边内的一点，连结、、，将绕B点顺时针旋转得，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点O1是△ABC的外心，以AB为直径作⊙O恰好过点O1，若AC＝2，BC＝4 ，则AO1的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．2
8．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，是正六边形的边上一点，则的度数不可能是（　　）
A． B． C． D．
10．网格图中所给图形绕点顺时针旋转，旋转次后可以与原图形重合，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），AC=BD，AF∥BE，∠BAF=60°，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长到CD'．已知直线BE⊥B'E'，垂足为K，CD'=5CD，BK=28+ ，那么AB的长为　 　cm，的长为　 　cm.
12．如图， 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 ( )得 ，若 交 于点 ，当 　 　时， 为等腰三角形.
13．已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积 　 　cm2.
14．把18个边长都为1的等边三角形如图拼接成平行四边形，且其中6个涂上了阴影，现在，可以旋转、翻折或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等边三角形处，使新构成的阴影部分图案是轴对称图形，共可得　 　种轴对称图形.
15．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为气米，BC长度为米，圆心角，则裙长AB为　 　米。
16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4 ，C为弧AB中点，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
18．如图．在⊙O中．弦BC垂直于半径OA．垂足为E．D是优弧上一点．连接BD、AD、OC，∠ADB=30°。
（1）求∠AOC的度教；
（2）若弦BC=．求图中阴影部分的面积。
19．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．
20．如图，
AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70° ，求的度数．
21．如图，点 是等边△ 内一点， ， ， ．求 的度数．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，且EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数．
（2） 求证：∠1=∠2．
23．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC，∠B＝60°，求CD的长．
24．巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB=492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米？
25．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图甲所示，已知四边形ABCD内接于，对角线，且AC⊥BD.
（1）求证：AB=CD.
（2）若的半径为8，的度数为120°，求四边形ABCD的面积.
（3）如图乙所示，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系并证明.
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圆的基本性质 单元培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（　　）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=85°-50°=35°
故答案为：D．
【分析】根据三角形的外角定理算出∠B的度数，根据圆周角定理算出∠AOC的度数，根据三角形的外角即可得出∠C的度数，
2．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，弧BC长为50πcm，则半径AB的长为（　　）
A．50cm B．60cm C．120cm D．30cm
【答案】B
【解析】【解答】由扇形的弧长公式得：
解得：AB=60cm.
故答案为：B.
【分析】已知弧长和扇形圆心角，依据弧长公式即可求解.
3．如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（　　）
A．120° B．118° C．110° D．108°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
∴∠APN的度数为108°；
故答案为：D.
【分析】利用正五边形的性质可证得AB=BC，∠ABM=∠C，利用SAS证明△ABM≌△BCN，利用全等三角形的性质可得到∠BAM=∠CBN；再利用三角形外角的性质可证得∠BAM+∠ABP=∠APN；由此可求出∠APN的度数.
4．如图，在⊙O中，若C是BD的中点，则图中与∠BAC相等的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵C是BD的中点，
∴弧BC=弧CD，
∴∠BAC=∠BDC=∠CAD=∠CBD，
故答案为：C.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得出答案.
5．如图，面积为18的正方形 内接于⊙O，则 的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD、AC，
∵四边形 是正方形，且面积为18，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度为 ；
故答案为：C.
【分析】连接BD、AC，由正方形ABCD的面积为18，可求出BD=6，根据正方形的性质，，利用弧长公式计算即得结论.
6．如图所示，P是等边内的一点，连结、、，将绕B点顺时针旋转得，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，
∴CQ=PA，BP= BQ，∠APB= ∠BQC，
∵∠PBQ = 60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ = PB， ∠PQB = 60°，
∵PA2+PB2 =PC2
∴PQ2 +QC2 = PC2，
∴∠PQC =90°，
∴∠BQC=∠APB=∠PQB+∠PQC= 150°
∴∠APB=150°，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质先求出CQ=PA，BP= BQ，∠APB= ∠BQC，再求出∠PQC =90°，最后计算求解即可。
7．如图，点O1是△ABC的外心，以AB为直径作⊙O恰好过点O1，若AC＝2，BC＝4 ，则AO1的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆，连接AO1、BO1，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AO1B＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝ （360°﹣90°）＝135°，
延长AC交⊙O于D，
∴∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴CD＝BD＝ BC＝4，
∴AD＝AC+CD＝6，
∴AB＝ ，
∵点O1是△ABC的外心，
∴AO1＝BO1，
∵∠AO1B＝90°，
∴AO1＝ AB＝ ，
故答案为：B.
【分析】作△ABC的外接圆，连接AO1、BO1，延长AC交⊙O于D，如图所示，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AO1B＝90°，∠D=90°，利用圆周角定理求出∠ACB的度数，利用等腰直角三角形的性质求出CD＝BD＝ BC＝4，从而求出AD，利用勾股定理求出AB的长.根据三角形外心的性质可得AO1＝BO1，利用等腰直角三角形的性质求出AO1的长.
8．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【解析】【解答】解：依题意旋转角∠A'CA=40°，
由于AC⊥A'B'，由互余关系得∠A'=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A'=50°．
故选A．
【分析】
由旋转的度数可知 ∠ACA`=40°，则由直角三角形两锐角互余可得∠A'的度数，又旋转前后对应角相等，即∠BAC=∠A'.
9．如图，是正六边形的边上一点，则的度数不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作正六边形的外接圆，延长交于点，连接，
是正六边形，
，，
，
，
A、B、C、D四个选项中，只有A选项符合题意，
故答案为：A.
【分析】作正六边形的外接圆⊙O，延长AP交⊙O于点G，连接CG，根据正多边形的性质可得∠AOC=120°，根据圆周角定理可得∠AGC=∠AOC=60°，由外角的性质可得∠APC=∠AGC+∠PCG≥60°，据此判断.
10．网格图中所给图形绕点顺时针旋转，旋转次后可以与原图形重合，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵网格图中所给图形绕点顺时针旋转， 且一周360°，
∴网格图中所给图形绕点顺时针旋转360°÷90°=4次为一周，
∴至少旋转4次后可以与原图形重合 ，
即的最小值是4.
故答案为：C.
【分析】网格图中所给图形绕点顺时针旋转， 且一周360°，则旋转360°÷90°=4次为一周，据此即得n的最小值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），AC=BD，AF∥BE，∠BAF=60°，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长到CD'．已知直线BE⊥B'E'，垂足为K，CD'=5CD，BK=28+ ，那么AB的长为　 　cm，的长为　 　cm.
【答案】60；
【解析】【解答】解：过A作延长线交于点P，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，
过作，交于点H，
∵，
∴，
∴
∴
由勾股定理得，
∴，
∴；
设，则；，，
∵，
由勾股定理得：，
即：，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：60，．
【分析】过A作延长线交于点P，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点H，由勾股定理得，根据，即可得出的长，设，则，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
12．如图， 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 ( )得 ，若 交 于点 ，当 　 　时， 为等腰三角形.
【答案】 或
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转 ( )得△DEC，
∴∠DCA＝ ，DC＝AC，
∴∠CDA＝∠CAD＝ ，
∵∠BAC＝24°，
∴∠DAF＝∠CAD－∠BAC＝
根据三角形的外角性质可得：∠DFA＝∠BAC＋∠DCA＝ ，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当∠ADF＝∠DAF时， ，此时无解；
②当∠ADF＝∠DFA时， ，解得： ；
③当∠DAF＝∠DFA时， ，解得： ；
综上所述，旋转角 度数为 或
故答案为： 或
【分析】根据旋转的性质可得：DC＝AC，根据等边对等角可知：∠CDA＝∠CAD，再表示出∠DAF，根据三角形外角的性质可表示出∠DFA，然后分①∠ADF＝∠DAF，②∠ADF＝∠DFA，③∠DAF＝∠DFA三种情况讨论求解.
13．已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积 　 　cm2.
【答案】240π
【解析】【解答】解： 扇形的圆心角为150°，弧长为20π，
故答案为：240π.
【分析】根据弧长公式建立方程，求出r的值，然后利用扇形的面积公式S=进行计算.
14．把18个边长都为1的等边三角形如图拼接成平行四边形，且其中6个涂上了阴影，现在，可以旋转、翻折或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等边三角形处，使新构成的阴影部分图案是轴对称图形，共可得　 　种轴对称图形.
【答案】6
【解析】【解答】解：∵把六个等边三角形分别经过旋转、翻折或平移可以得到的轴对称图形有：
∴共可得到6种轴对称图形
故答案是：6.
【分析】根据旋转、平移、翻折变换分别画出对应的图形，然后找出其中的轴对称图形即可.
15．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为气米，BC长度为米，圆心角，则裙长AB为　 　米。
【答案】0.8
【解析】【解答】解：∵弧 AD长度为气米，弧BC长度为米，∠AOD=60°，
∴，
解之：OA=1，，
∴.
故答案为：0.8
【分析】利用弧AD和弧BC的长及弧长公式，分别求出OA，OB的长，再根据AB=OB-AO，代入计算求出AB的长.
16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4 ，C为弧AB中点，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为　 　.
【答案】 +
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为弧AB中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝90°，OC＝2 ，OK＝ AO＝ ，
∴CK＝ ＝ ，
∵DK＝ OA＝ ，
∴CD＝ ，
∴CD的最大值为 ，
故答案为： + .
【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
【答案】解：此货船不能顺利通过这座拱桥，
理由是：设船舱顶部为矩形，交于，连接，，如图所示：
设的半径为，则，，
四边形是矩形，
∴，
，
，
过圆心，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，，
在中，，
，
此货船不能顺利通过这座拱桥．
【解析】【分析】设船舱顶部为矩形，交于，连接，，设的半径为，则，，利用勾股定理可得，即，求出r的值，再求出，，利用勾股定理求出EM的长，最后比较大小即可.
18．如图．在⊙O中．弦BC垂直于半径OA．垂足为E．D是优弧上一点．连接BD、AD、OC，∠ADB=30°。
（1）求∠AOC的度教；
（2）若弦BC=．求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解：连结OB.
∵BC⊥OA，∴BE=CE，，
又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB=60°
（2）解：∵BC⊥OA，BC=，
∴CE=BC=，
∵∠AOC=60°，∴∠C=30°
设OE=x，则OC=2x.
在Rt OCE中，OE2+CE2=OC2，即，
解得x=1(负值舍去)，
∴OE=1，OC=2.∴S阴影=S扇形OBC﹣S OBC=
=．
【解析】【分析】本题主要考查垂径定理、圆心角与圆周角的关系、扇形的面积公式，（1）连结OB.由垂径定理可得BE=CE，，在根据圆心角与圆周角的关系求解即可；（2）利用垂径定理及勾股定理可算得：OE=1，OC=2，在利用阴影部分面积等于S阴影=S扇形OBC﹣S OBC进行求解即可.
19．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE= BC= ，
∵CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ 2 =4CD，
∴CD= ．
【解析】【分析】（1）由ED=EC等边对等角可得∠EDC=∠C，再根据∠EDC=∠B等量代换可得∠B=∠C，等角对等边得出AB=AC。
（2）连接AE，根据直径所对的圆周角是90°，易知AE⊥BC，再由（1）知AB=AC，求得BE，再根据三角形相似可得CD。
20．如图，
AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70° ，求的度数．
【答案】解：如图，连结 OE．
∵的度数为70° ，∴∠COE=70°．
∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OEC=(180°-70°)÷2= 55°．
∵ CE∥AB，
∴∠BOE= ∠OEC=55°，
∴∠AOD=∠COB=∠COE+∠BOE= 125°，
∴的度数为125°．
【解析】【分析】连结 OE．由的度数为70° 可得∠COE=70°，利用等腰三角形的性质可求∠OEC= 55°，由CE∥AB可得∠BOE= ∠OEC=55°，利用角的和差及对顶角相等求出∠AOD的度数，继而得解.
21．如图，点 是等边△ 内一点， ， ， ．求 的度数．
【答案】解：将 绕点 逆时针旋转60°到 ，
连接 ， ．
∵△ 是等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∵∠FBE=60°，
∴∠ABF=∠CBE，
∵BF=BE，
∴ ．
∴ ， ，
．
∵ ，
∴△ 为等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∴△ 为直角三角形．
即 ．
∴ ．
∴ ．
【解析】【分析】将 绕点 逆时针旋转60°到 ，连接AF、EF，利用全等，勾股定理的逆定理求解即可。
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，且EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数．
（2） 求证：∠1=∠2．
【答案】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB，∴∠BCD=180°-2×39°=102°．
又∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BAD=180°- 102°=78．
（2）解：∵∠CBD=∠CDB，∠BAC=∠CDB，∴∠CBD=∠BAC．
∵EC=BC，∴∠CBE=∠CEB．又∵∠CEB=∠BAE+∠2，∠CBE=∠CBD+∠1，
∴∠BAE+∠2=∠CBD+∠1，∴∠1=∠2．
【解析】【分析】（1） 由题意根据三角形内角和定理可求出∠BCD的度数，然后根据圆内接四边形的对角互补可求解；
（2）由圆周角定理和（1）中的结论可得∠CBD=∠BAC，由等边对等角和三角形外角的性质可得∠BAE+∠2=∠CBD+∠1，然后根据等式的性质可求解.
23．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC，∠B＝60°，求CD的长．
【答案】解：∵∠B＝60°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵AC，
∴AB＝AC tan30°1，
∴BC＝2AB＝2，
由旋转的性质得，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出AB的长，再求出BC＝2AB＝2，再利用等边三角形的性质求出BD＝AB＝1，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
24．巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB=492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米？
【答案】解：如图，点O是拱桥所在的圆的圆心，作OC⊥AB交圆于点C，
则由垂径定理知，点D是AB的中点，
AD=DB= AB=246，OD=OC-CD=AO-DC，
由勾股定理知，AO2=AD2+OD2=AD2+（OC-DC）2=2462+（AO-100）2，
解得，AO=352.58m．
【解析】【分析】根据垂径定理可知AD=246，半径OA=OD+100，△OAD为直角三角形，结合勾股定理建立关于OA、OD之间的关系式，可解得答案半径OA=352.58m。
25．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图甲所示，已知四边形ABCD内接于，对角线，且AC⊥BD.
（1）求证：AB=CD.
（2）若的半径为8，的度数为120°，求四边形ABCD的面积.
（3）如图乙所示，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系并证明.
【答案】（1）证明：
（2）解：如图，作，连接，，
的度数为120°，
，
，，
∴
（3）解：如图，连接并延长，交于点，连接，
是的直径
点是的中点
点是的中点
【解析】【分析】(1)由圆心角定理可得，再通过弧的和差得到，进而证得AB=CD.
(2)先利用圆心角定理得到的度数，再通过垂径定理和勾股定理求得BD的长度，然后求得四边形ABCD的面积.
(3)由垂直的定义可的，再利用圆周角定理证得，进而可得到AD=CF，再由垂径定理证得OM是中位线，即CF=2OM，故可得AD=2OM.
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