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湘教版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·长丰期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·宁乡市期中）一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．（2023九上·石家庄期中）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·平桂期中）如图，点A的坐标是（4，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数（x>0）的图象经过点B，则k的值是（　　）．
A．4 B．8 C．4 D．
5．（2024九上·金沙期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（　　）
A． B． C．2 D．3
6．（2024九上·北京市期中）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为米，那么可列方程（　　）
A． B． C． D．
7．（2020九上·澧县期中）直线y＝ax+b与双曲线y＝ 的图象，如图所示，则（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0
8．（2023九上·历下期中）如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点O，M，N都在格点上，点P，Q在格线上，则点P与点Q之间的距离为（　　）
A．5 B． C． D．
9．（2024九上·雨湖期中）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数上一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会　　
A．先增后减 B．先减后增 C．逐渐减小 D．逐渐增大
10．（2022九上·杭州期中）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（　　）
A．3 B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·大冶期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最大值是　 　．
12．（2023九上·秀峰期中）已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为　 　．
13．（2023九上·锦江期中）如图，AB∥CD∥EF．若，BD＝5，则DF＝　 　．
14．（2024八上·上海市期中）方程 的根是　 　.
15．（2021九上·宁明期中）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为　 　．
16．（2024九上·青羊期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度取最小值时，的长为，则菱形的边长为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·右玉期中）解方程：
（1）
（2）
18．（2024九上·柯城期中）已知
（1）求的值；
（2）若，求，的值．
19．（2024九上·澧县期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
20．（2024九上·翠屏期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
21．（2023九上·修水期中）如图，，，是边上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）当时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由．
22．（2023九上·莱芜期中）如图，正方形的顶点、分别在轴和轴上，反比例函数的图象经过点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若将正方形沿轴向右平移得到正方形．当点在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
23．（2024九上·南山期中） 如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是2和4，则方程. 是倍根方程.
（1） 若一元二次方程. 是“倍根方程”， 则c=　 　；
（2） 判断方程 是不是倍根方程 并说明理由；
（3） 若((x-2)( mx-n)=0(m≠0)是倍根方程， 求代数式 的值.
24．（2023九上·绍兴期中）如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H．
（1）当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；
（2）如图2，连接DF，CE，BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，时，求BC的长．
25．（2024九上·碧江期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值；
（2）求的面积．
（3）双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标．
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湘教版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·长丰期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、y是x的正比例函数，不符合题意；
B、y是x的反比例函数，符合题意；
C、y是的反比例函数，不符合题意；
D、y是x的二次函数，不符合题意；
故选B．
【分析】根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可．
2．（2024九上·宁乡市期中）一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】【解答】解：∵化为一般式后为：，
∴一次项系数为：；常数项为：；
故选：A．
【分析】
对于一元二次方程，其中都是常数且，我们把分别称作一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
3．（2023九上·石家庄期中）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A：根据两角对应相等的两个三角形相似，可判定与△ABC相似，所以A不符合题意；
B：，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可判定与△ABC相似，所以B不符合题意；
C：根据两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等的两个三角形，不能判定与△ABC相似，所以C符合题意；
D：根据两角对应相等的两个三角形相似，可判定与△ABC相似，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案。
4．（2021九上·平桂期中）如图，点A的坐标是（4，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数（x>0）的图象经过点B，则k的值是（　　）．
A．4 B．8 C．4 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0） ，AO=4，
∵△ABO是等边三角形
∴OC= 2，BC=
∴点B的坐标是（2，），
把（2，）代入，得：
k=xy=
故答案为：C.
【分析】过点B作BC垂直OA于C，根据点A的坐标可得AO=4，由等边三角形的性质可得OC= 2，BC=，表示出点B的坐标，然后代入y=中进行计算可得k的值.
5．（2024九上·金沙期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵各条平行线间距离相等，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出BC的长即可.
6．（2024九上·北京市期中）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为米，那么可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意列方程得：．
故答案为：B
【分析】平行于围墙的一边为米，则垂直于围墙的一边为米，再根据矩形的面积公式列方程即可求出答案.
7．（2020九上·澧县期中）直线y＝ax+b与双曲线y＝ 的图象，如图所示，则（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0
【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∵双曲线y= 在一、三象限，
∴c＞0，
故答案为：C.
【分析】利用一次函数图象所经过的象限，可确定出a，b的取值范围；观察反比例函数图象所经过的象限，可确定出c的取值范围，即可求解.
8．（2023九上·历下期中）如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点O，M，N都在格点上，点P，Q在格线上，则点P与点Q之间的距离为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵MN//PQ，
∴△OMN∽△OPQ，
∴，
∴，
解得：PQ=，
故答案为：D.
【分析】先证出△OMN∽△OPQ，可得，再将数据代入求出PQ的长即可.
9．（2024九上·雨湖期中）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数上一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会　　
A．先增后减 B．先减后增 C．逐渐减小 D．逐渐增大
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，
∵点是函数上一个动点，
∴矩形的面积为6，
设，，，
当时，有，，
∴的面积为：，
∴四边形的面积为，
∵，
∴，
∴在上随着的增大而减小，
∴在上随着的增大而减小，
∴在上随着的增大而增大，
∴在上随着的增大而增大；
当时，有，，
∴的面积为：，
∴四边形的面积为，
∵，
∴在随着的增大而增大，
∴在上随着的增大而增大，
∴在上随着的增大而减小，
∴在上随着的增大而增大；
综上所述，当的横坐标增大时， 四边形OAPB的面积将会逐渐增大，
故答案为：D．
【分析】过点作轴于点，根据反比例函数的几何意义得矩形的面积为6，然后设，，，分两种情况讨论：当时，有，，求出以及四边形的面积，从而得四边形的面积在上随着的增大而增大；当时，有，，同理求出以及四边形的面积，进而得四边形的面积在上随着的增大而增大，据此即可得到答案.
10．（2022九上·杭州期中）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作 垂直 于H，延长 和 交于点M，
∵ ，
∴ ， ，
菱形 的边长为4，
， ，
是 的中点，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ， ，
由 ，
，
∴ ，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】作 垂直 于H，延长 和 交于点M，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，利用等腰三角形的性质及平行线的性质可得BH=CH=BE=1，，利用平行线的性质及角平分线的定义可得，可得AG=GF，设 ，则，，，根据平行线可证 ，利用相似三角形对应边成比例建立关于x方程并解之即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·大冶期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最大值是　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且，
整数的最大值是2．
故答案为：2．
【分析】根据一元二次方程有两不等实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
12．（2023九上·秀峰期中）已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限，
∴m-3＞0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3
【分析】根据反比例函数的图象得到m-3＞0，进而即可求解。
13．（2023九上·锦江期中）如图，AB∥CD∥EF．若，BD＝5，则DF＝　 　．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，，
∴，
∴DF=10，
故答案为：10
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
14．（2024八上·上海市期中）方程 的根是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：3x2-x=0，
x（3x-1）=0，
x=0，3x-1=0，
∴ .
故答案为： .
【分析】将x移至等号左边，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程将次为两个一元一次方程，求解即可.
15．（2021九上·宁明期中）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为　 　．
【答案】-7
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点（2，﹣4），
∴有﹣4 ，
解得k＝﹣7
故答案：﹣7．
【分析】将点（2，-4）代入函数解析式即可求出k的值。
16．（2024九上·青羊期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度取最小值时，的长为，则菱形的边长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设菱形的边长为，则，如图，连接延长到，使得，连接．
由旋转性质得，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵，的最小值为
∴与在同一直线上，即三点共线
∵
∴
∴当点在的延长线上时，值最小，即的值最小，如图中，过点作于点．则
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得菱形的边长为，
故答案为：．
【分析】设菱形的边长为，则，如图，连接延长到，使得，连接．构造三角形的中位线，求出最小时，的位置；当点在的延长线上时，值最小，即的值最小，如图中，过点作于点．根据平行线分线段成比例定理的推论"平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例"可得比例式并结合已知可得TJ=JD，由线段的构成将CJ用含a的代数式表示出来，在Rt△CJD 中，用勾股定理计算即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·右玉期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
∴，
∴，；
（2）解：，
因式分解，得，
于是得或，
∴，．
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程。把方程左边用十字相乘法分解因式；
（2）根据因式分解法解方程。把方程左边用提公因式法分解因式。
18．（2024九上·柯城期中）已知
（1）求的值；
（2）若，求，的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴，
∴设，，
∴；
（2）解：由（1）设，，
，
，
∴，
，．
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，从而设，，进而代入进行计算化简即可求解；
（2）由（1）设，，然后代入即可得关于k的一元一次方程，解方程求出k的值，接下来代入k的值即可求解.
（1）解：由，设，；
；
（2）解：，
，
解得：，
，．
19．（2024九上·澧县期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
【答案】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【解析】【解答】（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象直接找出直线在双曲线上方时对应在自变量的取值范围即可．
（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
20．（2024九上·翠屏期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
【答案】（1）解：设售价应定为每个元，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
∵更大优惠让利消费者，
∴，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元；
（2）解：设这两周的平均增长率为，
由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴这两周的平均增长率为．
【解析】【分析】（1）设售价应定为每个元，根据“进价为20元每个，若以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个”可列出关于的一元二次方程并解之即可；
（2）设这两周的平均增长率为，结合（1）的结论求出售价为每个元时的销量，然后根据“两周后销售量达到了个”可列出关于的一元二次方程并解之即可.
（1）解：设售价应定为每个元，则
，
整理得：，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
21．（2023九上·修水期中）如图，，，是边上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）当时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，∴．
∵，∴．∴．
∴．∴．
（2）解：在中，∵，∴．
∵，∴．
由（1）得，∴．
∴．∴．
（3）解：线段之间的数量关系是．
理由：过点作于点．
∵，∴．
∵，，∴∴．
同理可得，∴．
∴．
【解析】【分析】（1）根据 ，以及得出得出 ；
（2）根据相似边成比例得出结论；
（3） 过点作于点 ，证明，得出 。
22．（2023九上·莱芜期中）如图，正方形的顶点、分别在轴和轴上，反比例函数的图象经过点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若将正方形沿轴向右平移得到正方形．当点在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
【答案】（1）解：过点作轴，垂足为，
四边形为正方形，
，，，
又，，，
，
，，，
设反比例函数的表达式为：，则，
反比例函数的表达式为：，
（2）解：平移后的纵坐标为4，将代入得：，．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△OAB≌△MBC，继而由全等三角形的性质计算C点的坐标，求出反比例函数的解析式；
（2）根据点B1正好在反比例函数的图象，直接求出平移的距离。
23．（2024九上·南山期中） 如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是2和4，则方程. 是倍根方程.
（1） 若一元二次方程. 是“倍根方程”， 则c=　 　；
（2） 判断方程 是不是倍根方程 并说明理由；
（3） 若((x-2)( mx-n)=0(m≠0)是倍根方程， 求代数式 的值.
【答案】（1）2
（2）方程 不是 "倍根方程"， 理由如下：
解得， ，
方程 不是 "倍根方程"；
（3）解方程 得， .
方程两根是 2 倍关系，
或 4 ，
当 时， ， 即 ， 代入代数式得 ，
当 时， ， 即 ， 代入代数式得 ，
综上， .
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程是“倍根方程”，
又
∴
∴
故答案为：2；
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程，利用一元二次方程根的与系数的关系可得：，再根据方程，是“倍根方程”，可得：进而可求出c的值；
（2）先将方程进行因式分解可得进而可求出，再进行计算可得根据倍根方程的定义可作出判断.
（3）先利用因式分解法解方程可得：由方程两根是2倍关系，得到或4，分两种情况：当 时， ；当 时， ；代入式子进行计算可求出代数式 的值
24．（2023九上·绍兴期中）如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H．
（1）当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；
（2）如图2，连接DF，CE，BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，时，求BC的长．
【答案】（1）解：∵ 四边形BEFG是正方形，BE=4，
∴ BG=4，∠G=90°，
∵ α＝30° ，即∠GBH=30°，
∴ GH=BH，
∴ 在Rt△GBH中，勾股定理得，
解得：BH=.
（2）解：①连接BF，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DBC=∠FBE=45°，BD=BC，BF=BE
∴，
∵ ∠DBC-∠DBE=∠FBE-∠DBE，
∴ ∠FBD=∠EBC，
∴ △FBD∽△EBC，
∴，
∴ DF=CE.
②画出图形，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠MDB=∠GFB=45°，
∴ ∠MDB=∠MFD=45°，
∴ △MDB∽△MFD，
∴，
设正方形ABCD边长为a，
则，
∴ MD=，MB=，
∴ AM=AD-MD=，
在Rt△ABM中，AM2+AB2=MB2，
，
解得：a=，
即.
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可求得；
（2） ①根据正方形的性质得，从而判定△FBD∽△EBC，再根据相似三角的对应边成比例即可求得；
②根据两个角分别相等的两个三角形为相似三角形得△MDB∽△MFD，推出 ，求出MD，MB，AM，再根据勾股定理求得BC.
25．（2024九上·碧江期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值；
（2）求的面积．
（3）双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，
得。
（2）解：∵，∴，
把、代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：双曲线上存在点或，使得，理由如下：
∵点坐标为，点坐标为，
∴，
当点在的平分线上时，，
∵，
∴，
∴，
延长交直线于点，
∵，平分，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴点在直线上，
由，解得或，
∴点的坐标为或，
即双曲线上存在点或，使得．
【解析】【分析】（）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，进而把代入计算即可求出的值；
（）利用待定系数法可求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，可得的长，再根据计算即可求解；
（）由，可得，当点在的平分线上时，，可证，得到，延长交抛物线于点，可得，又由可得平分，可得点在直线上，最后联立函数解析式解方程组即可求解．
（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，；
（2）解：∵，
∴，
把、代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：双曲线上存在点或，使得，理由如下：
∵点坐标为，点坐标为，
∴，
当点在的平分线上时，，
∵，
∴，
∴，
延长交直线于点，
∵，平分，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴点在直线上，
由，解得或，
∴点的坐标为或，
即双曲线上存在点或，使得．
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