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【解答题强化训练·50道必刷题】人教版数学九年级上册期中试卷
1．解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
2．已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式．
3．将下列一元二次方程化成的形式．
（1）．
（2）．
4．抛物线的顶点为 ，且过点 ，求它的函数解析式.
5．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立下图所示的平面直角坐标系，当水面宽度AB为10m时，水面离桥拱顶的高度DO是1m．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）当水面再上升0.5m时，求水面宽度．
6．如图，甲地、乙地分别是小雨和小新两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若小新家的地比小雨家的地多了50%，则小新家地的面积是 　 　m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度．
（3）小雨家今年的西瓜大丰收，若种西瓜的成本是0.5元/斤，以2元/斤进行销售时，每天可销售50斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜隆价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，市场规定售价不得低于每斤1.5元，问定价为多少元时，每天获得的利润最大．
7．一次足球训练中，小明从球门正前方 8 m的A 处射门，球射向球门的轨迹呈抛物线. 当球飞行的水平距离为 6m时，球达到最高点，此时球离地面 3m .已知球门高 OB 为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
（2）对本次训练进行分析，若球的轨迹、最大高度均保持不变，则小明应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方 2.25 m处
8．已知关于x的方程的一个根为，求a的值及方程的另一个根．
9．已知，求的值．
10．关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若是正整数，求方程的根．
11．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
12．如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
13．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC的面积．
14． 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 边上一点（点 D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD 绕点C按逆时针方向旋转 得到线段CE，连结DE 交BC 于点 F，连结BE.
（1）求证：△ACD≌△BCE.
（2）当AD=BF 时，求∠BEF 的度数.
15．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值.
16．如图，E点是正方形ABCD中CD边上任意一点，EF⊥AE于E点并交BC边于F点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABE′．试说明：EE′平分∠AEF．
17．已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式．
18．某健身器材公司推出新款智能跳绳，因其精准计数与便携设计备受消费者欢迎．已知每根跳绳成本为60元，市场调研显示，当定价为100元时，日销量为120根．价格每降低1元，日销量可增加5根．设智能跳绳降价元．
（1）日销售量为______根（用含的代数式表示）．
（2）该公司能否通过调价实现单日5100元的利润？若能，求出需降价的金额；若不能，请说明理由．
19．解下列方程：
（1）
（2）
20．已知二次函数．
（1）函数的开口方向是　 　，对称轴是直线　 　；
（2）函数的顶点式为　 　，与轴的交点坐标是　 　；
（3）当　 　时，函数随的增大而增大；当　 　时，的值小于；
（4）该二次函数与一次函数的交点坐标为　 　．
21．已知 、 是关于 的方程 的两个不相等实数根，且满足 ，求 的值.
22．已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根.
23．已知实数a，b是方程 的两根，求 的值．
24．已知抛物线的顶点坐标是(2，-3)．且经过点(1，)
（1）求这条抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象；
（2）求当x=3时y的值；
（3）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
25．二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣3 m ﹣3 …
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标为　 　，当x＞1时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）；
（3）直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．
26．如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
（1）若设计人行通道的宽度为，则两块长方形绿地的面积共多少平方米？
（2）若两块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
27．近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．
（1）养鸡场面积　 　（用含x的代数式表示）；
（2）当鸡场面积为时，求边的长；
（3）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．
28．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(2， -1) 在二次函数 的图象上.
（1）写出这个二次函数的解析式；
（2）当 时，函数值 y 的取值范围是 ，求 n 的值
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点 O. 设平移后的图象对应的函数表达式为 ，当 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围.
29．某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件销售价（元）的关系数据如下：
30 32 34 36
40 36 32 28
（1）已知与满足一次函数关系，根据上表，求出与之间的关系式；
（2）设该商店每天销售这种商品所获利润为（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？
30．某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病．
（1）每位发病者平均每天传染多少人？
（2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？
31．已知关于x的方程，其中a，b，c分别为三边的长．
（1）若是方程的根，试判断的形状；
（2）若方程有两个相等的实数根，且，求c的值．
32．在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求a的取值范围.
33．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种草坪．若草坪的面积为540m2，求道路的宽度．
34．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）函数的图象是开口向上的抛物线．
35．已知. 是完全平方式，求常数 n的值.
36．（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
37．如图，把一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的盒子．
（1）要使折成的盒子底面积为，那么剪掉的正方形边长为多少？
（2）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由．
38．已知关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
39．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），若这个围栏的面积为，求与墙垂直的一边的长度．
40．已知：关于x的一元二次方程，
（1）已知是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若以这个方程的两个实数根作为中BC、AC的边长，，当时，求此时m的值．
41．已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点，有下列点：，3).其中哪些点在图像上 请说明理由.
42．设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时， 求x2及m的值.
（2）求证：
43．已知函数（n为常数）
（1）当时，
①求此函数与y轴交点坐标．
②若点在此函数图象上，求b的值．
（2）当此函数图象的最高点到x轴的距离为1时，求n的值．
（3）已知、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
44． 在平面直角坐标系xOy中， 点(1， m)，(3， n)在抛物线 上，设抛物线的对称轴为x=t.
（1）当c=3， m=n=0时，
① 求抛物线的解析式；
②若直线y=x+k与二次函数 的图象在 1≤x≤3 内恰有两个交点，求常数k的取值范围；
（2）若点(x0， m)(x0≠1)在抛物线上， 若m45．如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
46．如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标．
（2）观察图象，直接写出一元二次不等式：解集为：　 　
（3）若抛物线的对称轴交轴于点，求四边形的面积．
47． 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段的取值范围；
（2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
48．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离单位：与他在水平方向上移动的距离单位：近似满足二次函数关系．已知，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
（1）求与的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（）与飞行时间（秒）
具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，；当他在点着陆时，飞行时间为秒．
①求与的函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值．
49．在平面直角坐标系 中， 已知点 在二次函数 的图象上．
（1） 当 时，求 的值．
（2）在 (1) 的条件下， 当 时， 求 的取值范围．
（3） 当 时， 函数的最小值为 -5 ， 求 的值．
50．已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的对称轴(结果用含的代数式表示)．
（2）若该函数图象经过点，
①求函数的表达式，并求该函数的最值．
②设是该二次函数图象上两点，其中，实数．若，求证：．
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【解答题强化训练·50道必刷题】人教版数学九年级上册期中试卷
1．解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【答案】解：（1）由原方程，得
x2-4x=3，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2-4x+4=7，
配方，得
（x-2）2=7，
∴x-2=，
解得，x1=，x2=；
（2）由原方程，得
3（x-3）（x-1）=0，
∴x-3=0或x-1=0，
解得，x=3或x=1．
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
2．已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设该二次函数的解析式为，
把原点坐标代入，得：，
整理，得：，
解得：，
该二次函数的解析式为．

【解析】【分析】首先根据顶点坐标可设二次函数解析式为：，再根据 二次函数的图象过坐标原点， 可得出，解得，即可得出二次函数的解析式为．
3．将下列一元二次方程化成的形式．
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
移项得，，
配方得，，
即；
（2）解： ，
，
，
即.
【解析】【分析】（1）移项，配方，即可求得；
（2）先将二次项系数化为1，再配方，即可求得.
4．抛物线的顶点为 ，且过点 ，求它的函数解析式.
【答案】解：设
将点 代入得
解得
所以
【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标（-1，-5），即可设出抛物线的顶点式，再将点（2，-17）代入即可求得函数解析式.
5．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立下图所示的平面直角坐标系，当水面宽度AB为10m时，水面离桥拱顶的高度DO是1m．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）当水面再上升0.5m时，求水面宽度．
【答案】（1）解：设这个抛物线的函数表达式为，由题意得点的坐标为，点的坐标为，，
这个抛物线的函数表达式为；
（2）解：当水面再上升0.5m时，
有，解得，
此时水面宽度为.
【解析】【分析】(1)首先根据图像设函数表达式为：，然后将函数图象上A点坐标或B点坐标代入函数中求出a的值，最后将a的值代入函数中即可.
(2)根据水面上升0.5米得出：当y=-1+0.5，即y=-0.5时，将其代入函数中求出x的值，然后根据x的值求出水面宽度即可.
6．如图，甲地、乙地分别是小雨和小新两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若小新家的地比小雨家的地多了50%，则小新家地的面积是 　 　m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度．
（3）小雨家今年的西瓜大丰收，若种西瓜的成本是0.5元/斤，以2元/斤进行销售时，每天可销售50斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜隆价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，市场规定售价不得低于每斤1.5元，问定价为多少元时，每天获得的利润最大．
【答案】（1）360
（2）解：设田埂的宽度为x m，
由题意得：33x+33x+3x（22﹣2x）+240+360＝22×33，
解得x1＝1，x2＝21，
当x＝21时，22﹣2x＝22﹣2×21＝﹣20＜0，不符题意，舍去，
答：田埂的宽度为1m．
（3）解：设每斤西瓜应降y元，利润为w元，
由题意得：
＝﹣y2+100y+75，
＝﹣100（x﹣0.5）2+100，
当y＝0.5时，售价为2﹣y＝1.5，符合题意，
∴当定价为1.5元时，每天获得的利润最大．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得m2 ，
故答案为：360 .
【分析】（1）直接利用甲地的面积乘以（1+50%）代入数据计算即可求解；
（2）设田埂的宽度为x m， 根据田埂、甲、乙三者的面积之和等于大长方形的面积，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解；
（3）设每斤西瓜应降y元，利润为w元， 根据利润=（售价-成本）列出w关于y的二次函数，由二次函数的性质即可求解.
7．一次足球训练中，小明从球门正前方 8 m的A 处射门，球射向球门的轨迹呈抛物线. 当球飞行的水平距离为 6m时，球达到最高点，此时球离地面 3m .已知球门高 OB 为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
（2）对本次训练进行分析，若球的轨迹、最大高度均保持不变，则小明应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方 2.25 m处
【答案】（1）解：抛物线的顶点为（2，3），设y=a(x-2)2+3，
将（8，0）代入可得，a×(8-2)2+3=0，
解得，，
∴
当x=0时，y=＞OB=2.44，
∴ 不能射进球门.
（2）解：设小明应该带球向后方移动b米，
将（0，2.25）代入可得，
解得，b=1，b=-5（舍去），
答：小明应该带球向后方移动1米.
【解析】【分析】（1）根据顶点设y=a(x-2)2+3，根据待定系数法求二次函数表达式，再求x=0时y的值，与OB的长度作比较即可；
（2）设小明应该带球向后方移动b米，列出新的函数解析式将点（0，2.25）代入求出b的值即可.
8．已知关于x的方程的一个根为，求a的值及方程的另一个根．
【答案】解：将代入方程，得
，
解得，
将代入原方程中得，
∴，
∴，
∴方程的另一个根是．
【解析】【分析】先将x=3代入方程求出a的值，得出一元二次方程，解方程即可求解.
9．已知，求的值．
【答案】解：∵x2-2xy+y2=4，
∴（x-y）2=4，
∴x-y=±2.
答：x-y的值为±2.
【解析】【分析】将已知的等式左边写成完全平方的形式，然后两边开平方即可求解.
10．关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若是正整数，求方程的根．
【答案】（1）解：∵方程有两个不等的实数根，
∴，
解得：．
（2）解：，且是正整数，
，
方程是．
配方，得，
即，
解得．

【解析】【分析】
（1）根据，一元二次方程有两个不等的实数根，列出不等式求解即可；
（2）根据（1）中求出的k的取值范围，以及是正整数，得出k的值，再用配方法求解即可．
（1）解：∵方程有两个不等的实数根，
∴，
解得：．
（2）解：，且是正整数，
，
方程是．
配方，得，
即，
解得．
11．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a(x 1) 2+3.
把A(0 ， 2.25)代入解得a= 0.75；
所以y= 0.75 (x 1) 2+3
当y=0时， 0.75 (x 1) 2+3=0
解得x1= 1（舍），x2=3
所以水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m.
【解析】【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
12．如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
【答案】解：设水渠的宽度为xm，由题意得：
（92-2x）（60-x）＝885×6．
解得x1＝105（不含题意，舍去），x2＝1．
∴x＝1．
答：水渠的宽度为1m．
【解析】【分析】设水渠的宽度为xm，由图可知： 挖三条水渠后所得的矩形的长和宽分别为：（92-2x）m，（60-x）m，然后根据矩形的面积公式S=长×宽可得关于x的一元二次方程，解之可求解.
13．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC的面积．
【答案】解：设该二次函数的表达式为
把点A（1，2）代入，得a+4=2
解得a=-2
∴该二次函数的表达式为
当y=0时，
解得
∴
∴．
【解析】【分析】由题意可设该二次函数的表达式为y=ax2+4，把点A（1，2）代入求出a的值，得到二次函数的解析式，令y=0，求出x的值，得到BC的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14． 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 边上一点（点 D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD 绕点C按逆时针方向旋转 得到线段CE，连结DE 交BC 于点 F，连结BE.
（1）求证：△ACD≌△BCE.
（2）当AD=BF 时，求∠BEF 的度数.
【答案】（1）证明：由题意可知CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，由(1)可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
【解析】【分析】(1)由题意可知，CD=CE，∠DCE=90°，∠ACB=90°，则有∠ACD=∠BCE，从而可证得△ACD≌△BCE；
(2)由(1)知∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数.
15．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值.
【答案】解：（方法一）
∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（方法二）把 ， 分别代入原方程，
可得： ，
解得： ，
∴ .
【解析】【分析】方法一：根据根与系数的关系可得x1+x2=-m，x1x2=n，结合x1、x2的值可得m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算；
方法二：将x1=-2、x2=4代入方程中可得关于m、n的方程组，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
16．如图，E点是正方形ABCD中CD边上任意一点，EF⊥AE于E点并交BC边于F点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABE′．试说明：EE′平分∠AEF．
【答案】证明：∵△ADE顺时针旋转90°，得到△ABE′，∴△ADE≌△ABE′，∴AE=AE′，∵∠EAE′=90°．∴∠AEE′=45°，∴∠FEE′=90°-45°=45°=∠AEE′．即EE′平分∠AEF．
【解析】【分析】根据旋转的性质旋转前、后的图形全等可得△ADE≌△ABE′，则可得三角形EAE′是等腰直角三角形，于是易得∠FEE′=∠AEE′．根据角平分线的性质即可求解。
17．已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式．
【答案】解：∵抛物线的顶点是，∴可设抛物线的函数解析式为，
∵点在该抛物线上，∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
【解析】【分析】根据待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）。
18．某健身器材公司推出新款智能跳绳，因其精准计数与便携设计备受消费者欢迎．已知每根跳绳成本为60元，市场调研显示，当定价为100元时，日销量为120根．价格每降低1元，日销量可增加5根．设智能跳绳降价元．
（1）日销售量为______根（用含的代数式表示）．
（2）该公司能否通过调价实现单日5100元的利润？若能，求出需降价的金额；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：该公司能通过调价实现单日5100元的利润，
根据题意得：，
解得：，，
答：需要降价6元或10元，可实现单日5100元的利润．
【解析】【解答】
（1）
解：设智能跳绳降价元，则日销售量为根；
【分析】
（1）根据智能跳绳降价元，价格每降低1元，日销量可增加5根，列出代数式即可；
（2）根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可．
（1）解：设智能跳绳降价元，则日销售量为根；
（2）解：该公司能通过调价实现单日5100元的利润，
根据题意得：，
解得：，，
答：需要降价6元或10元，可实现单日5100元的利润．
19．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
∴；
（2）解：
∴或，
∴．
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
∴；
（2）
∴或，
∴．
20．已知二次函数．
（1）函数的开口方向是　 　，对称轴是直线　 　；
（2）函数的顶点式为　 　，与轴的交点坐标是　 　；
（3）当　 　时，函数随的增大而增大；当　 　时，的值小于；
（4）该二次函数与一次函数的交点坐标为　 　．
【答案】（1）向下；
（2）；或
（3）；或
（4），
【解析】【解答】解：(1)由-1<0，所以二次函数的开口方向向下，根据对称轴公式，
故答案为：向下；x=1；
(2)将 二次函数 ，配方得：；令y=0，解得x=-1或3，故与x轴的交点坐标为(-1，0)或(3，0)，
故答案为：，或；
（3）二次函数解析式为，因为函数开口向下，对称轴为直线x=1，所以当x<1时，y随x的增大而增大；令y<0，时解得x<-1或x>3，
故答案为：x<1；x<-1或x>3；
(4)由题意，联立方程组：，解得或，故两个函数的交点坐标为：，，
故答案为：，
【分析】（1）根据二次函数的性质， 二次函数的一般形式为 y=ax2+bx+c，其中a的符号决定了函数图象的开口方向；根据对称轴公式，代入可得对称轴；
（2）将解析式配方即可得顶点式，令y=0，解之可得与x轴交点的横坐标，进而得到与x轴交点坐标；
（3）根据二次函数的图象与性质，开口向下，在对称轴左侧时y随x的增大而增大，结合图象，y<0，即是函数图象在x轴下方对应的函数值；
（4）联立方程组，解之可得交点坐标.
21．已知 、 是关于 的方程 的两个不相等实数根，且满足 ，求 的值.
【答案】 ， 是关于 的方程 的两个实数根，
∴ ， .
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
∵关于 的方程 的两个不相等实数根，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ .
【解析】【分析】根据根与系数的关系求出 ， ，再代入已知的方程求出答案.
22．已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根.
【答案】（1）证明：
，
因为无论k取任何实数，恒成立，即恒成立，
所以无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根
（2）解：把代入原方程，得，
解得，
所以原方程为，
解得，，
所以该方程的另一个根为2
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）先将1带入，进而即可求出k，从而根据一元二次方程的解即可求解。
23．已知实数a，b是方程 的两根，求 的值．
【答案】解：∵实数a，b是方程的两根，
∴，，
∴
=
=
=﹣3．
【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形，然后利用整体代入求值．
24．已知抛物线的顶点坐标是(2，-3)．且经过点(1，)
（1）求这条抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象；
（2）求当x=3时y的值；
（3）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2-3，
将(1，)代入y=a（x-2）2-3中得，
=a（1-2）2-3，
解得：，
所以这条抛物线的函数表达式为：y=（x-2）2-3，
图象如下图所示，
（2）解：当x=3时，y=（3-2）2-3=；
（3）解：∵抛物线的对称轴为：x=2，开口向上，
则当x≥2时，y随x的增大而增大；当x≤2时，y随x的增大而减小.
【解析】【分析】（1）由于此题给出了抛物线的顶点坐标，故利用待求系数法求抛物线的解析式的时候设顶点式，然后再将点 (1，) 可求出二次项系数a的值，从而求出抛物线的解析式；进而利用抛物线的对称性，利用五点法画出抛物线的大致图象；
（2）将x=3代入（1）所求的函数解析式即可算出对应的函数值；
（3）由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴为：x=2，开口向上，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，据此可得答案.
25．二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣3 m ﹣3 …
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标为　 　，当x＞1时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）；
（3）直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．
【答案】（1）解：把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解之得：，
∴该函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）（1，﹣4）；增大
（3）解：y的取值范围为：﹣3＜y＜0．
【解析】【解答】解：（2）由（1）知： y＝x2﹣2x﹣3 =（x-1)2-4，
∴抛物线的顶点坐标为 ：（1，-4），
∵a=1＞0，
∴当x＞1时， y随x的增大而 增大；
故第1空答案为：（1，-4）；第2空答案为：增大；
（3）由（2）知，当x=1时，函数有最小值-4，当x=-1时，y=0，当x=2时，y=-3，
∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围 是：-4＜y＜0.
【分析】利用待定系数法，即可求得函数解析式；
（2）把函数解析式转化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标，及当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）根据x的取值范围，即可得出y的取值范围。
26．如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
（1）若设计人行通道的宽度为，则两块长方形绿地的面积共多少平方米？
（2）若两块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
【答案】（1）解：
（平方米）．
答：两块长方形绿地的面积共144平方米
（2）解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为米，宽为米的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米
【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式求解即可；
（2）设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为米，宽为米的矩形，根据矩形的面积列出关于x的一元二次方程，再求解取其符合题意的值即可．
（1）解：
（平方米）．
答：两块长方形绿地的面积共144平方米．
（2）解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为米，宽为米的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
27．近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．
（1）养鸡场面积　 　（用含x的代数式表示）；
（2）当鸡场面积为时，求边的长；
（3）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．
【答案】（1）-2+28x
（2）解：由题可得：-2+28x=80
解的4或10
又∵墙AB=9
∴=4舍弃
∴CD=10米
（3）解：不能实现，理由如下：
当-2+28x=100
化简得：-14x+50=0
=-4ac=-4<0
∴该方程无实数解
∴不能实现
【解析】【解答】（1）解：，
，
；
故答案为：．
【分析】（1）先用含x的代数式表示DE的长，再根据长方形的面积求解即可；
（2）根据鸡场面积为80，结合（1）中所列的代数式，列一元二次方程并求解即可；
（3）根据鸡场面积为100，列一元二次方程，用根的判别式判定即可。
28．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(2， -1) 在二次函数 的图象上.
（1）写出这个二次函数的解析式；
（2）当 时，函数值 y 的取值范围是 ，求 n 的值
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点 O. 设平移后的图象对应的函数表达式为 ，当 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围.
【答案】（1）解：将点(2，-1)代入二次函数解析式得4-2(2m+1)+m=-1，解得m=1，
故二次函数的解析式为.
（2）解：由(1)知二次函数的对称轴为直线x=，当时，y随x的增大而减小，
当x=1时，ymin=-1，当x=n时，ymax==4-n
解得n=-1或3(舍去)
故n=-1
（3）解：由平移的性质知a=1，平移后的函数为过原点，即有，
即k=-，
当x<2时，y随x的增大而减小，可得h≥2
故k≤-4.
【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入抛物线解析式，求出m的值，即得二次函数解析式；
(2)易知抛物线的对称轴为直线x=，得时，y随x的增大而减小，可得其最大值ymax==4-n，求出n的值即可；
(3)由平移的性质知平移后的解析式为，由过原点知k=-，结合x<2时y随x的增大而减小得h的取值范围，即可得k的取值范围.
29．某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件销售价（元）的关系数据如下：
30 32 34 36
40 36 32 28
（1）已知与满足一次函数关系，根据上表，求出与之间的关系式；
（2）设该商店每天销售这种商品所获利润为（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？
【答案】（1）解：设与之间的关系式为，
将，代入关系式，得，
解得：，
∴与之间的关系式为；
（2）解：根据题意，得，
∴，
∴当时，的值最大，
∵规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍，
∴，符合题意，
∴当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）根据题意所获利润=销售量×单件利润列出关于的函数关系式并化为顶点式，然后由二次函数的最值知识，结合题意进行求解.
（1）解：设该函数的表达式为，根据题意，得：
，
解得
，
∴y与x之间的关系式为．
（2）解：根据题意，得
，
∵，
∴当时，w的值最大，
，符合题意，
∴当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元．
30．某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病．
（1）每位发病者平均每天传染多少人？
（2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？
【答案】（1）解：设每位发病者平均每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每位发病者平均每天传染人；
（2）解：人，
，
按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人．
【解析】【分析】（1）设平均每天传染x人，则第一天为2x，第二天为2x+2，在由题意列方程解方程即可。
（2）根据(1)求得的数字求解即可判断。
31．已知关于x的方程，其中a，b，c分别为三边的长．
（1）若是方程的根，试判断的形状；
（2）若方程有两个相等的实数根，且，求c的值．
【答案】（1）解：∵是关于x的方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程解的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义．
（1）根据一元二次方程根的定义先将代入原方程可推出，进而可推出，据此可判断的形状 ；
（2）先将方程化简为：，再根据方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式可得：，由此推出，通过变形可得：
，再代入数据进行计算可求出c的值.
（1）解：∵是关于x的方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
32．在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求a的取值范围.
【答案】（1）解：把代入得，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由题意得y1=a×(3a)2-2a2×3a=3a3，
y2=ax22-2a2x2，
∵y1＜y2，
∴y2-y1=ax22-2a2x2-3a3=a(x22-2ax2-3a2)=a(x2-3a)(x2+a)＞0，
分两种情况：
①当时，(x2-3a)(x2+a)＞0，
∴或
解得x2＞3a或x2＜-a，
又∵3≤x2≤4，
∴3a＜3或-a＞4，
∴a＜1或a＜-4
又，
；
当时，(x2-3a)(x2+a)＜0，
∴或
解得3a＜x2＜-a，
又∵3≤x2≤4，
∴3a＜3且-a＞4，
解得a＜-4
综上，当或a＜-4，都有y1＜y2.
【解析】【分析】（1）经a=1代入y=ax2+2a2x得出抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式可得顶点坐标；
（2）根据抛物线上点的坐标特点表示出y1与y2，利用作差法建立出x2与a的不等式组，由于a的值不确定，故需要分类讨论，最后再根据取值范围进行取舍即可.
33．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种草坪．若草坪的面积为540m2，求道路的宽度．
【答案】解：设道路的宽为xm，根据题意，得（20－x）（32－x）=540，解得x1=2，x2=50（舍）．
答：道路的宽为2m．
【解析】【分析】 设道路的宽为xm ，根据平移可得余下部分种草坪为一个长为（32-x）m，宽为（20-x） 的矩形，根据矩形的面积公式列方程并解之即可.
34．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）函数的图象是开口向上的抛物线．
【答案】（1）解：由题意可得：
，
解得：
（2）解：由题意可得：
，
解得：
（3）解：由题意可得：
，
解得：
【解析】【分析】（1）函数y＝(a-2)x2 的对称轴为x=0，若x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大，则二次项的系数小于，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案；
（2）若二次函数有最大值，则二次项的系数小于，列出一元一次不等式，即可解答；
（3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，即可解答．
35．已知. 是完全平方式，求常数 n的值.
【答案】解：∵ 9x2+18（n-1）x+18n
=9[x2+2（n-1）x+2n]是完全平方式，
∴ （n-1）2=2n，
∴ n2-4n+1=0，
解得，n=2±，
∴，
∴ n的值为2±.
【解析】【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，根据完全平方式的特征可得（n-1）2=2n，再根据公式法解一元二次方程，即可求得.
36．（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）解：方法一：
根据求根公式
得
或
方法二：
或
或
方法三：
或
（2）解：当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为；
当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为
答：第三边的长是或.
【解析】【分析】（1）方法一：利用公式法可求出方程的解；方法二：利用配方法解方程可求出方程的解；方法三：利用因式分解法求出方程的解；
（2）由（1）知：直角三角形的两边长分别为3和1，要求第三边的长度可分为两种情况：①当两条直角边分别为3和1时，根据勾股定理可求得第三边的长度为；②当一条直角边为1，斜边为3时，根据勾股定理可求得第三边的长度为，故而得出第三边的长是或.
37．如图，把一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的盒子．
（1）要使折成的盒子底面积为，那么剪掉的正方形边长为多少？
（2）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由．
【答案】（1）解：设剪掉的正方形边长为，
根据题意，得．
解得：，（舍）
答：剪掉的正方形边长为.
（2）解：设剪掉的正方形边长为，
则长方形盒子的侧面积为：
．
当时，有最大值．
即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为．
【解析】【分析】（1）设剪掉的正方形边长为，利用“ 折成的盒子底面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设剪掉的正方形边长为，利用长方形的面积公式可得，再利用二次函数的性质分析求解即可.
38．已知关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）解：∵关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根，
∴k-1≠0且b2-4ac=(-2)2-4(h-1)x1≥0，
解得k≤2且k≠1；
（2）解：当k=2时，方程为x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，
解得x1=x2=1．
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根 ，可知b2-4ac≥0，列出不等式求解，同时不能忽视二次项系数不能为零；
（2）根据（1）k的范围求得k的最大整数，代入方程，得到一元二次方程，解这个方程即可.
39．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），若这个围栏的面积为，求与墙垂直的一边的长度．
【答案】解：设与墙垂直的一边的长度为，则平行于墙的一边的长度为，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故与墙垂直的一边的长度为．
【解析】【分析】设与墙垂直的一边的长度为，则平行于墙的一边的长度为，根据题意列出方程，再求解即可。
40．已知：关于x的一元二次方程，
（1）已知是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若以这个方程的两个实数根作为中BC、AC的边长，，当时，求此时m的值．
【答案】（1）解：将代入中，
得：，
解得：，，
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：，；
综上：m的值为1或4，另一个根为3或12
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，，
当时，方程无解，∴．
【解析】【分析】（1）把x=1代入方程中，求出m值，再代入到方程中，求出另一个根；
（2）根据根与系数的关系得出AC+BC=3m+1，AC×BC=m2-2m+4，利用勾股定理得到AC2+BC2=AB2，利用完全平方公式变形，求出m值即可．
41．已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点，有下列点：，3).其中哪些点在图像上 请说明理由.
【答案】解：把(1，)代入，得，
解得，
该二次函数的表达式为.
分别将代人检验，得点在二次函数的图象上.
【解析】【分析】利用待定系数法求得二次函数解析式，再分别将4个点坐标的横坐标值代入解析式求函数值，与点的纵坐标进行比对即可.
42．设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时， 求x2及m的值.
（2）求证：
【答案】（1）解：把x1=-1代入方程 得 ：
解得：
∴ (x-1)(x-2)=6，
即：
解方程得， x1=-1， x2=4.
∴；
（2）证明：方程( 可化为：
∴原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得
【解析】【分析】（1）根据方程的解的定义，将x1=-1代入关于x的方程，可得关于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解这个方程即可求解；
（2）由题意，先将原方程化为一般形式，然后计算b2-4ac的值，结合偶次方的非负性可判断b2-4ac＞0，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值，根据多项式乘以多项式将代数式（x1-1）(x2-1)去括号，再整体代换并结合偶次方的非负性可求证.
43．已知函数（n为常数）
（1）当时，
①求此函数与y轴交点坐标．
②若点在此函数图象上，求b的值．
（2）当此函数图象的最高点到x轴的距离为1时，求n的值．
（3）已知、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：①，
当时，，
此函数与y轴交点坐标；
②在此函数图象上，
，
，
，
，
，
；
（2）解：因为此函数图象的最高点到x轴的距离为1，
，
即，
当时，
，
时，最高点到x轴的距离为1，
，
当时，
，
时，最高点到x轴的距离为1，
，
即最高点到x轴的距离为1时，或；
（3）或
【解析】【解答】解：（3）解：由（2）得：
当时，，
设抛物线上纵坐标为1的两点分别为C、D，
即经过两点，
，
又此函数的图象与线段只有一个交点，且、，
，
当B与C重合时至A与B重合时，线段与抛物线只有一个交点C，
此时，，
，
，
当B与D重合时至A与D重合时，线段与抛物线只有一个交点D，
此时，，
，
，
综上所述，线段与抛物线只有一个交点时，或．
【分析】（1）①将x=0代入函数解析式即可求出答案.
②将点P坐标代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数得顶点性质可得，代入函数解析式即可求出答案.
（3）根据二次函数与直线的交点性质即可求出答案.
44． 在平面直角坐标系xOy中， 点(1， m)，(3， n)在抛物线 上，设抛物线的对称轴为x=t.
（1）当c=3， m=n=0时，
① 求抛物线的解析式；
②若直线y=x+k与二次函数 的图象在 1≤x≤3 内恰有两个交点，求常数k的取值范围；
（2）若点(x0， m)(x0≠1)在抛物线上， 若m【答案】（1）解：①解：∵， ∴.
∴.即抛物线的解析式为.
②如图，直线AB过抛物线顶点P（2，－1）和（3，0），
直线CD与抛物线相切，且同直线y＝x＋k平行.
（A、C分别为直线与y轴的交点）
要使直线y＝x＋k与抛物线在1≤x≤3内恰有两个
交点，则k值应在A、C两点的纵坐标之间.
直线AB的表达式为y＝x－3，及A点坐标为（0，－3）
由.
当.
∴.
（2）解：【法一】： 当x＝0时，y＝c. ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c）.
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c）.
∵，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点（1，m），点（3，n），（2t，c）均在对称轴的右侧时， .
∵m＜n＜c，1＜3，
∴2t＞3，即（与矛盾，舍去）.
当点（1，m）在对称轴的左侧，点（3，n），（2t，c）均在对称轴的右侧时，点
在对称轴的右侧，.
此时点（3，n）到对称轴的距离大于点（1，m）到对称轴的距离.
∴，解得：.
∵m＜n＜c，1＜3， ∴2t＞3，即.
∴t的取值范围是：.
∵，，对称轴为， ∴.
∴，解得：.
∴的取值范围为，的取值范围为．
【法二】：
∵， ∴.
∴. ∴. ∴.
∵点（x0，m），
∴的取值范围为.
【解析】【分析】（1）① 利用待定系数法求得a，b的值，即可求解； ② 根据抛物线图象上的点的坐标特点建立含参数k的关于x的一元二次方程，利用求得k的值，进而求解；
（2） 【法一】先求的抛物线与y轴的交点坐标，得到 抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），利用二次函数的性质求得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点（1，m），点（3，n），（2t，c）均在对称轴的右侧时， .结合已知求得t的大体的取值范围，当点（1，m）在对称轴的左侧，点（3，n），（2t，c）均在对称轴的右侧时，点， 在对称轴的右侧，.此时点（3，n）到对称轴的距离大于点（1，m）到对称轴的距离.进而建立关于t的不等式，解得t取值范围，再根据对称轴为， 利用中点坐标公式即可求得的取值范围；
【法二】： ，结合 m＜n＜c，1＜3， 得到. 从而求得t的取值范围，再利用对称轴以及中点坐标公式即可求解.
45．如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4
（2）解：，当时，
解得
平移后函数为
解得
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点上方时，
根据平移的性质可得．
，
，
．
．
当直线位于点下方时，
根据平移的性质可得．
．
综上．
所以存在最大值12．
【解析】【解答】解：（1）当y=0时，则
解得：x=0或x=4
∴A(0，4)
∴OA=4
故答案为：4
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得点A坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据函数图象平移性质可得平移后函数为，联立两解析式，解方程组即可求出答案.
（3）分情况讨论：当直线位于点上方时，当直线位于点下方时，根据图象平移性质，结合函数图象即可求出答案.
46．如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标．
（2）观察图象，直接写出一元二次不等式：解集为：　 　
（3）若抛物线的对称轴交轴于点，求四边形的面积．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于，
，
，
把、代入中，得
，
解得，
二次函数的解析式是，也即，
其顶点的坐标是；
（2）或
（3）解：.
【解析】【解答】解：（2）由图得： 解集为；
【分析】（1）根据抛物线过三点A、B和C，将三点坐标代入 ，求得a、b和c的值，解析式和顶点即可求出；
（2） 代表y<0， 由图象可知x的取值范围；
（3）根据，再分别求出两个三角形面积即可.
47． 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段的取值范围；
（2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设线段的长为，则的长为，
根据题意得，解得，
线段的取值范围为；
（2）解：根据题意列方程，得，
解得，；
当时，，
当时，，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，；
（3）解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：
根据题意得，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
【解析】【分析】(1)设线段的长为，表示出的长，根据，列出不等式，解不等式即可
（2）把自行车车棚的长和宽分别表示出来，再利用车棚的面积为长乘以宽，列出方程即可
（3）先假设车棚的面积可以达到300，列出方程，再看方程是否有解，若无解，假设不成立；若有解看解是否在（1）所求的范围内即可.
48．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离单位：与他在水平方向上移动的距离单位：近似满足二次函数关系．已知，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
（1）求与的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（）与飞行时间（秒）
具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，；当他在点着陆时，飞行时间为秒．
①求与的函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值．
【答案】（1）解：根据题意，得，，代入，得，
解得：，
∴与的函数表达式是；
（2）①解：设，
根据题意得过点（0，0），（5，30），代入得，
解得：，
∴x与t的函数表达式为；
②解：由题意得，，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴，
解得：，
∴当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，此时他飞行时间的值为.
【解析】【分析】（1）根据题意得点A、P的坐标，然后利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式；
（2）①设，根据题意可知过点（0，0），（5，30），然后利用待定系数法即可求出x与t的函数表达式；
②设直线的解析式为，根据题意得点C、P的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的表达式，然后设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作轴交于点，设，则，从而可用含x的算式表示MN的值，接下来根据二次函数的性质可知当时，最大，根据，计算求解即可．
（1）解：由题意可得过点，，
将，代入，得，
解得，
∴与的函数关系式为；
（2）①解：设，
将，代入，得，
解得，
∴；
②解：由题意得
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴，
解得．
49．在平面直角坐标系 中， 已知点 在二次函数 的图象上．
（1） 当 时，求 的值．
（2）在 (1) 的条件下， 当 时， 求 的取值范围．
（3） 当 时， 函数的最小值为 -5 ， 求 的值．
【答案】（1）解：把点 代入 ，
得 ，
．
（2）当b=﹣1时，，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，
当 时， 的取值范围为 ．
（3）二次函数 的对称轴为 ，
①当 即 时， 的函数值最小，
解得：b=3.
当 时， ； 当 时， 7，
；
② 当 即 时， 的函数值最小，
解得 (舍) 或
当 时， ；当 时，，
；
③ 当 即 时， 的函数值最小，
，
不满足 ， 所以此种情况不存在．
综上， 或 m+n=2 ．
【解析】【分析】（1）点 代入 ，令m=n，得关于b的方程，求解即可.
（2）把b=﹣1代入函数解析式，求出顶点坐标，然后分别求出和时的函数值，综合即可得此时的取值范围.
（3）求出二次函数 的对称轴，分①即 时，② 当 即 时，③ 当 即 三种情况，判断函数的最小值，并令最小值为5，求得b的值，并代入求对应m+n的值即可.
50．已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的对称轴(结果用含的代数式表示)．
（2）若该函数图象经过点，
①求函数的表达式，并求该函数的最值．
②设是该二次函数图象上两点，其中，实数．若，求证：．
【答案】（1）解：把代入得，
，
二次函数图象的对称轴为直线．
（2）解：①把代入得，
由(1)知，解得，
，
函数的表达式为．
当时，函数有最大值为3．
②证明：．
是二次函数图象上两点，
，
，
.
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入函数解析式可得b=3-a，即可求得对称轴；
（2）①将B坐标代入函数解析式，根据待定系数法即可求得函数的表达式，再将一般式变形为顶点式即可求得函数的最值；
② 计算y1+y2，将代入可得，根据二次函数的性质即可证明.
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