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2025-2026学年河南省部分重点中学高二上学期10月末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.直线与直线之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数( )
A. B. C. D.
6.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
7.已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左右焦点分别为是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 若直线与互相垂直，则实数
C. 已知直线与平行，则或
D. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或
10.点是椭圆上任意一点，是椭圆的左右焦点，则( )
A. 的周长为 B. 面积的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.设抛物线的顶点为，焦点为，准线与轴交于点过点的直线交抛物线于两点，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B.
C. D. 存在直线，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是双曲线的左右焦点，若点在双曲线上，且，则 ．
13.已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是 ．
14.已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线．
若直线过点，且，求直线的方程；
若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程．
16.本小题分
已知圆，点，且直线经过点．
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，且．
证明：直线过定点；
求的最小值．
18.本小题分
已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若动点在轴右侧，点．
求的最小值；
求的最小值．
19.本小题分
若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，若直线经过点且交椭圆于两点，交直线于点，直线的斜率分别为．
求椭圆的标准方程；
若直线关于直线对称，求；
探究的数量关系．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，
即；
直线，设直线的方程为，
因为直线与直线之间的距离为，
由平行线间的距离公式可得，解得或，
因此直线的方程为或．

16.【详解】由得圆心为，半径为，
过的直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离为，
故与圆相交，不合题意；
过的直线斜率存在时，设其方程为，即，
由题意得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上，直线的方程为；
因为被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离，
当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，由，解得或，
故直线的方程为或．

17.【详解】因为直线与抛物线有两个交点，所以直线的斜率不为，
所以设直线的方程为：，联立方程组：，得，
所以，，
又因为，所以，所以，
则直线的方程为：，
当时，可求得，所以直线过定点；
抛物线的焦点为，准线方程为，
所以由抛物线定义可知，，
所以，
因为直线与抛物线交于两点，
所以，，所以，，
所以，且，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．

18.【详解】，
点到直线的距离，
由题意可知，，
化简得：，即曲线的方程为：；
点在双曲线的内部，直线在双曲线的外部，
设点到直线的距离为，因为，所以，
所以，
因为点在轴右侧，即点在双曲线的右支，过点向直线作垂线，垂足为，
所以，
由图可知，当点三点共线时，取得最小值，
且最小值为点到直线的距离，即为：，
所以的最小值为；
因为点在双曲线的右支，由双曲线定义得：，
所以，
，
当且仅当点共线且点在点之间时等号成立，
所以的最小值为．

19.【详解】由题意可知，，
，即，
所以，所以椭圆的标准方程为；
直线的方程为：，
因为直线关于直线对称，所以，
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：，
联立方程组：，得：，
设，则，
因为
即，
整理得：，
所以，即，解得，
所以直线的方程为：，
当时，，则，
所以；
若直线的斜率时，直线的方程为，所以，
此时，再结合，猜想，．
证明如下：
直线，所以，则，即，
由知：
，
所以成立，
综上，

第7页，共8页

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