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7.1.1 任意角
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，会用集合表示象限角.
3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
问题1：初中我们是如何定义一个角的？
问题2：初中所学的角的范围是什么？
问题3：角的种类有哪些？
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
0°~360°
?
日出日落，昼夜交替；寒来暑往，四季轮回……生活中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象.
P
A
O
如图,⊙????上的点????以????为起点做逆时针方向的旋转.如何利用角刻画点????的位置变化呢？
?
想一想：如图,⊙O上的点????以????为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点????的位置变化呢？
?
P
A
O
如图，射线OA绕着端点O从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP并与⊙O?交于点P，形成∠AOP.射线????????，????????分别是角????的始边和终边.
?
始边
终边
α
借助角α刻画点????的位置变化。
?
所以，射线????????绕端点????按逆时针方向旋转一周回到起始位置,在这个过程终可以得到0°~360°范围内的角.
?
如果继续旋转,那么所得到的角就超出这个范围.所以,为了继续刻画这样的旋转程度，我们需要先扩大角的范围.
????
?
????
?
????
?
????
?
说一说：角的范围如何扩大？现实生活中你见过超过0°?360°的例子吗？
体操术语：“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”
一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角.
角的概念
始边：射线的起始位置（OA）.
终边：射线的终止位置（OB）.
顶点：射线的端点（O）.
????
?
????
?
????
?
????
?
（始边）
（终边）
（顶点）
角的表示
角的三要素
正角：
负角：
一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.
如：α=﹣540?，α=﹣120?.
一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.
如：α=60?，α=425?.
零角：
一条射线没作任何旋转.
(零角的始边与终边重合)
任意角
已知一条射线的起始位置OA：
o
A(B)
[注]①在不引起混淆的情况下，“角?”或“∠?”可以简写成“? ”;
②角的表示：∠A，∠B，∠C，…或α，β，θ，…
角有了正负，类比实数的运算，我们可以进行角的运算吗？
1.相等角
旋转方向相同，旋转量相同；就称????=????.
?
B
A
O
B’
A’
O’
2.角的加法
设????,????是任意两个角,我们规定,把角????的终边再旋转角????,这时终边所对应的角是????+????.
?
????
?
????
?
????+????
?
相反角
角的减法
旋转方向不同，旋转量相同的两个角叫做互为相反角；
角????的相反角记为?????.
?
角的减法转化为角的加法
通过减法得到的角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”
减去一个角等于加上这个角的相反角.即：?????????=????+(?????).
?
①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
②终边与始边重合的角是零角.( )
③小于90°的角是锐角.( )
练习1：判断正误：
顺时针旋转30°，即为﹣30°
始边终边重合的角可为0°, 360°, 720°, -360°等
小于90°的角可为45°,-120°,0°等，锐角是大于0°小于90°的角.
练习2：将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　　)
A．120°　B．－120° C．60° D．240°
A
练一练
想一想：给定一个角，如何根据这个角建立直角坐标系？
y
x
1.角的顶点与坐标原点重合，
2.角的始边与x轴的非负半轴重合.
说一说：顶点和始边固定，如何根据终边对角进行分类？会有哪些情况？
象限角：终边落在第几象限就是第几象限角.
轴线角：如果角的终边落在坐标轴上，则该角不属于任何一个象限.
y
x
x
y
o
始边　
终边
?
终边
终边
终边
?
?
?
（1）锐角是第几象限的角？
（2）第一象限的角一定是锐角吗？
（3）第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
（4）第三象限角一定是负角吗？
辨析：根据象限角的概念回答下列问题：
练习3：指出下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角.
-50°
x
y
o
x
y
o
210°
x
y
o
405°
第四象限角
第一象限角
第三象限角
x
y
o
-200°
-450°
x
y
o
第二象限角
轴线角
练一练
探究：将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
1
??32°，328°,??392°,?这些角的终边都是????????,?
?
这些角都可以表示成?32°的角与????个(????∈????)周角的和
?32°
?
????
?
????
?
????
?
????
?
328°
?
?392°
?
688°
?
思考2：现有一个角????，所有与????角终边相同的角，连同????角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
????=????|????=????+?????360°,????∈????
?
?32°
?
????
?
????
?
????
?
????
?
328°
?
?392°
?
688°
?
从几何角度看，
“终边旋转整数周回到原来的位置”而形成“终边相同的角”.
用数量关系表示，
就是“终边相同的角相差360°的整数倍”.
?
终边相同的角
????={????|????=????+?????360°，????∈????}
?
所有与角????终边相同的角，连同角????在内，可构成一个集合
?
即任一与角????终边相同的角，都可以表示成角????与整数个周角的和.
?
此条件不能省略
问题：如果角????与角????的终边相同,则?????????= .
?????????????????°,????∈????.
例1: 在0°～360°范围内，找出与下列角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
（1）580° （2）?950°12′
?
解:
（1）与580°终边相同的角为????=580°+?????360°(????∈????)，
当????=?1时，有????=580°?1×360°=220 ° ，
则220?°与580°终边相同，是第三象限角.
?
（2）与?950°12′终边相同的角为????=?950°12′+?????
360°(????∈????)，当????=3时，有????=?950°12′+3×
360°=129°48′?，
则129°48′与?950°12′终边相同，是第二象限角.
?
例2：写出终边在????轴上的角的集合.
?
????1={????|????=90°+?????360°，????∈????}
?
所有与270°角终边相同的角构成集合
?
????2={????|????=270°+?????360°，????∈????}
?
解：在0°~360范围内，终边在????轴上的角有两个，即90°，270°角. 因此，
?
所有与90°角终边相同的角构成集合
?
即终边落在????轴非负半轴上的所有角的集合
?
90°
?
????
?
????
?
270°
?
????
?
即终边落在????轴非正半轴上的所有角的集合
?
于是，终边在????轴上的角的集合
?
????=????1∪????2={????|????=90°+?????360°，????∈????}∪{????|????=270°+?????360°，????∈????}
?
={????|????=90°+2?????180°，????∈????}∪{????|????=90°+180°+2?????180°，????∈????}
?
={????|????=90°+2?????180°，????∈????}∪{????|????=90°+(2????+1)?180°，????∈????}
?
={????|????=90°+?????180°，????∈????}
?
90°
?
????
?
????
?
270°
?
????
?
想一想3：终边在????轴上的角的集合又如何表示呢？
?
????1={????|????=0°+?????360°，????∈????}
?
所有与180°角终边相同的角构成集合
?
????2={????|????=180°+?????360°，????∈????}
?
在0°~360范围内，终边在????轴上的角有两个，即0°，180°角. 因此，
?
所有与0°角终边相同的角构成集合
?
即终边落在????轴非负半轴上的所有角的集合
?
0°
?
????
?
????
?
180°
?
????
?
即终边落在????轴非正半轴上的所有角的集合
?
于是，终边在????轴上的角的集合
?
????=????1∪????2={????|????=0°+?????360°，????∈????}∪{????|????=180°+?????360°，????∈????}
?
={????|????=0°+2?????180°，????∈????}∪{????|????=0°+180°+2?????180°，????∈????}
?
={????|????=0°+2?????180°，????∈????}∪{????|????=0°+(2????+1)?180°，????∈????}
?
0°
?
????
?
????
?
180°
?
????
?
={????|????=0°+?????180°，????∈????}
?
={????|????=?????180°，????∈????}
?
想一想4：终边在坐标轴上的角的集合又如何表示呢？
可以看出，相邻的两条终边相差90°的整数倍.
?
????
?
????
?
????
?
比如，角????=0°，它的终边每旋转90°，都落在坐标轴上.
?
故终边落在坐标轴上的角的集合可写成
????={????|????=?????90°，????∈????}
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}角????终边的位置
角????的集合表示
在????轴的非负半轴上
{????|????=?????360°，????∈????}
在????轴的非正半轴上
{????|????=180°+?????360°，????∈????}
在????轴的非负半轴上
{????|????=90°+?????360°，????∈????}
在????轴的非正半轴上
{????|????=270°+?????360°，????∈????}
在????轴上
{????|????=?????180°，????∈????}
在????轴上
{????|????=90°+?????180°，????∈????}
在坐标轴上
{????|????=?????90°，????∈????}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
在坐标轴上
轴线角的集合表示
要点归纳
填一填：类比轴线角的集合的表示方法，完成终边落在某个象限的角的集合的表示.
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α 第二象限角
{α|k·360°＋90°<α 第三象限角
{α|k·360°＋180°<α 第四象限角
{α|k·360°＋270°<α????
?
????
?
????
?
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
例3：已知????与240°角的终边相同，判断????2是第几象限角。
?
解：
由 α = k·360°+240°（k∈Z），可得
????2 = k·180°+120°( k∈ Z )
?
分类讨论！
若 k 为偶数，设 k =2n，n∈Z，则
????2 = k·360°+120°( k∈ Z )
从而 ????2 与120°角的终边相同，是第二象限角；
?
若 k 为奇数，设 k=2n+1，n∈Z，则
????2 = k·360°+300°( k∈ Z )
从而 ????2 与300°角的终边相同，是第四象限角.
?
因此， ????2 是第二象限角或第四象限角
?
变式1：已知????与240°角的终边相同，判断2????是第几象限角.
?
解：由???????= k·360°+240°（k∈Z），可得
2????= k·720°+480°( k∈ Z )
= (2k+1)·360°+120°( k∈ Z )
从而 2????与120°角的终边相同，是第二象限角；
因此， 2????是第二象限角或第四象限角
?
练一练

45°
?
225°
?
????
?
????
?
????
?
∴????2为第一象限角或第三象限角.
?
变式2：
本节课你学到了哪些知识？
1.角的定义.
2.角相关的概念：正角、负角、零角
3.角的运算.
4.终边相同的角的表示.
5.象限角，轴线角，半角，倍角的表示.

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