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18.5 分式方程
第十八章 分式
18.5 分式方程
课时1 分式方程及其解法
第十八章 分式
了解分式方程的概念；掌握解分式方程的基本思路和解法；掌握分式方程验根的方法.（重点）
理解分式方程可能无解的原因.（难点）
引言：为了探寻古迹，小明早上坐轮船从白帝城到江陵，晚上再坐轮船返回到白帝城. 已知轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km，与最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？
设江水的流速为 v 千米/时，根据题意可列方程为
.
知识点1：分式方程的概念
问题1：为了解决引言中的问题，我们得到了方程
分母中含有未知数．
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
①
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
动手写几个分式方程吧！
追问1：方程 与上面的方程有什么共同特征？
分式方程与整式方程的区别是什么？
未知数不在分母中
1. 下列式子中，属于分式方程的是________；属于整式方程的是_______.
想一想
练一练
②③
①
知识点2：分式方程的解法
类比解整式方程
如何转化？
动手解一解！
去分母
探究1：如何解分式方程
方程的最简公分母是：(30 + v)(30 - v).
解：方程两边同乘 (30 + v)(30 - v)，得
90(30 - v) = 60(30 + v)，
解得 v = 6.
x = 6 是原分式方程的解吗？
检验：将 v = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 v = 6 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：
整式方程
去分母
分式方程
(方程两边同乘最简公分母)
探究2：下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程
x + 5 = 10.
解得 x = 5.
x = 5 是原分式方程的解吗？
检验：
x = 5
代入
分式无意义
x - 5 = 0
x2 - 25 = 0
分母
分式方程无解
x = 5 是整式方程的解
不是分式方程的解
上面两个分式方程中，为什么 ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
想一想
x + 5 = 10
两边同乘(x + 5)(x - 5)
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时，(30+x)(30-x)≠0
当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0
区别
？
①
②
分析
整式方程的解是否使最简公分母为0
用图框的方式总结为：
当 x = a 时
最简公分母是
否为零
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
否
x = a 不是
分式方程的解
是
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验.
例1 解方程：
解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得
2x = 3x - 9.
解得
x = 9.
检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
①将分式方程转化为整式方程
②求整式方程的解
③把解代入到最简公分母中，看是否为零
例2 解方程：
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得
x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得
4(x + 1) = 2x + 6.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
1.解方程： .
2.如果关于 x 的方程 的解是无解，则 a 的值为_______.
解：将方程两边同乘 (x－2) 得
ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2.
因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2，
所以 a＝1 或 2.
1 或 2
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
整式方程
x = a
解整式方程
x = a 是分式
方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
x = a 不是分式方程的解
检验
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( )
D
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　)
A. B.
C. D.
D
解：去分母，得
解得
所以原方程的解为
3. 解方程：
检验：把 代入最简公分母，得
4. 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
∵ 关于 x 的方程 的解是正数，
∴ x＞0 且 x≠1.
∴ -a -1＞0 且 -a -1≠1，解得 a＜-1 且 a≠-2.
∴ a 的取值范围是 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2
18.5 分式方程
课时2 分式方程的实际应用
第十八章 分式
会列分式方程解决实际问题.（重点）
能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理.（难点）
1. 应用整式方程解实际问题的步骤：
实际问题
审题
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
那么如何运用分式方程解决实际问题呢？
找等量关系
探究一 ：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
知识点1：列分式方程解决工程问题
分析：审题 → 找等量关系
两队合作完成的工作量
甲队单独完成的工作量
方法一：
方法二：
＝“1”
＋
＝“1”
＋
甲队完成的工作总量
乙队完成的工作总量
请同学们列出分式方程解决这个问题吧！
设乙单独完成这项工程需要 x 月.
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
工作时间(月) 工作效率之和 工作总量
甲单独
两队合作
1
方法一：
解得 x = 1.
解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得
检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解.
由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
设乙单独完成这项工程需要 x 月.
列表分析
方法二：
工作时间(月) 工作效率之和 工作总量
甲队
乙队
同学们，动手算一算！
审
设
列
解
验
答
设：_______
未知数
解：_______
列：_________
检验:1.____________________；
2.______________.
分式方程解决实际问题的基本过程：
分式方程
分式方程
是否是分式方程的解
是否符合题意
解得 x = 4.
经检验 x = 4 是原方程的解.
答：李强单独清点完这批图书需要 4 个小时.
1. 张明 3 小时清点完一批图书的一半，李强清点另一半图书的工作，两人合作 小时清点完另一半图书. 如果李强单独清点这批图书需要几个小时？
解：设李强单独清点完这批图书需要 x 个小时，张明的工作效率是 .
根据题意，得
知识点2：列分式方程解决行程问题
探究二 ：某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
行程问题：路程 = 速度×时间
类比探究一方法分析下这道题
路程(km) 速度(km/h) 时间(h)
提速后
提速前
s
x
s + 50
x + v
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
提速后的行驶时间 = 提速前的行驶时间
等量关系：
设提速前列车的平均速度为 x km/h，其中s，v是已知值.
解：提速前列车的平均速度为 x km/h，
依题意得
方程两边乘 x(x + v)，得
s(x + v)＝x(s + 50).
检验：由 v，s 都是正数，得 时，x(x + v)≠0.
所以，原分式方程的解是
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
解得
2. 已知从 A 地到某市的高铁行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的 1.3 倍，若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求普通列车和高铁的平均速度.
解：设普通列车平均速度是 x 千米/小时，则高铁平均速度是 2.5x 千米/小时，根据题意，得
解得 x = 120.
经检验 x = 120 是原方程的根，且符合题意，
答：普通列车的平均速度是 120 千米/小时，高铁的平均速度为 300 千米/小时.
2.5x = 120×2.5 = 300 千米/小时
知识点3：列分式方程解决利润问题
探究三 ： “四书五经”是一部被中国人读了几千年的教科书，是我们了解中国古代社会的一把钥匙.
某学校计划分阶段引导学生读这些书，决定先购买《论语》和《孟子》供学生阅读，已知用 1000 元购买《孟子》的数量是用 800 元购买《论语》的数量的 2 倍，《孟子》的单价比《论语》的单价少 15 元.则《论语》和《孟子》的单价各是多少元
解：设《孟子》的单价为 x 元，则《论语》的单价为 (x+15)元.
解得 x = 25.
经检验 x = 25 是原方程的解，且符合题意，
∴ x + 15 = 25 + 15 = 40 .
答：《论语》和《孟子》的单价分别是 40 元和 25 元.
根据题意，得
分式方程
整式方程
整式方程的解
分式方程的解
实际问题的解
实际问题
列方程
去分母
解整式方程
检验
目标
目标
1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 (　　)
A
2. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达.已知 A、B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米/时，求轮船在静水中的速度.
解：设船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得
解得 x = ±18.
检验：当 x = －18 时，不符合题意，舍去；
而 x = 18 是原方程的根，且符合题意. 所以 x = 18.
答：轮船在静水中的速度为 18 千米/时.
3. 农机厂工人到距工厂 15 千米的某村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为 x km/h，汽车的速度是 3x km/h，依题意得
解得 x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的解且符合题意.
因此，3x＝45.
答：自行车的速度是 15 km/h，汽车的速度是 45 km/h.

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