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(共24张PPT)
知识回顾
什么是等腰三角形？等腰三角形的性质是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合
（简称成“三线合一”）
什么是等边三角形？
三边都相等的三角形是等边三角形.
知识回顾
A
B
C
思 考
根据等腰三角形的性质，你能发现∠A与∠B与∠C的数量关系吗？
性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
思 考
如果∠A=∠B=∠C，你能判断出△ABC是什么三角形？为什么？
A
B
C
判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
A
B
C
B
C
图1
图2
如图1，∠A=60°，AB=AC，△ABC是什么三角形？
如图1，∠A=60°，AB=BC，△ABC是什么三角形？
判定：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
思 考
性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
判定：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
归 纳
△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
例 题
证明：因为△ABC是等边三角形，
所以∠A=∠B=∠C=60°。
又因为DE∥BC，根据 “两直线平行，同位角相等”，
可得∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°。
所以∠A=∠ADE=∠AED=60°，
因此△ADE是等边三角形。
在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由.
(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断.
跟踪训练
(1) △ODE是等边三角形
理由：
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。
OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBD=∠OCE=30°。
又因为OD∥AB，OE∥AC，所以∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°。因此∠DOE=60°，
△ODE三个角都是60°，故为等边三角形。
在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由.
(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断.
跟踪训练
(2) BD=DE=EC
理由：由OD∥AB，得∠ABO=∠BOD。
又因为∠ABO=∠OBD，所以∠BOD=∠OBD，
故BD=OD。
同理，EC=OE。因为△ODE是等边三角形，
所以OD=DE=OE，因此BD=DE=EC。
在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，
且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，则△APQ是什么形状的三角形？
证明你的结论.
迁移训练
△APQ是等边三角形
证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAC=60°。在△ABP和△ACQ中，AB=A；BP=CQ ；∠ABP=∠ACQ，所以△ABP △ACQ（SAS）。
因此AP=AQ，∠BAP=∠CAQ。
所以∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°。
故△APQ是等边三角形。
△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？
探 究
过 程
延长BC到D，使CD=BC，连接AD，
∵AC是BD的垂直平分线
∴AB=AD
∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°
∴△ABC为等边三角形
∴BD=AB
∵BD=2BC
∴BC=
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识梳理
在Rt△ABC中，
∵∠A=30°
∴BC=
例 题
如图，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，
∠A=30°.求立柱BC，DE的长.
解：在Rt△ABC中，∠A=30°，
所以BC=AB= ×7.4=3.7（m）。
因为D是AB的中点，DE∥BC（均垂直于AC），所以DE是△ABC的中位线，
故DE=BC=×3.7=1.85（m）。
跟踪训练
在△ABC中，AB=AC，BC=15，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AB，
交BC于点D，则CD=
解：
因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°。
因为AD⊥AB，所以∠BAD=90°，
则∠DAC=120° 90°=30°，故∠DAC=∠C，
所以AD=CD。在Rt△ABD中，∠B=30°，
所以AD=BD，即CD= BD。
设CD=x，则BD=2x，BC=BD+CD=3x=15，
解得x=5，即CD=5。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD=1，则AD的长为
综合应用
解：
因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD，
故∠A=∠ABD=30°。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
所以∠ABC=60°，则∠CBD=∠ABC ∠ABD=30°。在Rt△CBD中，BD=2CD=2×1=2，所以AD=BD=2。
点P,M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，
MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N.
(1)求证△PMN是等边三角形；
(2)若AB=12cm，求CM的长.
能力提升
(1) 证明△PMN是等边三角形
因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。
因为MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
所以∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°。
则∠BMP=180° 90° 60°=30°，
同理∠CNM=30°，∠APN=30°。
所以∠PMN=180° 30° 90°=60°，
∠PNM=60°，∠MPN=60°，
故△PMN是等边三角形。
点P,M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，
MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N.
(1)求证△PMN是等边三角形；
(2)若AB=12cm，求CM的长.
能力提升
(2) 求CM的长
设CM=x，在Rt△CMN中，∠C=60°，
所以CN=2x，则AN=12 2x。在Rt△APN中，∠A=60°，
所以AP=2AN=24 4x，则BP=12 (24 4x)=4x 12。
在Rt△BPM中，∠B=60°，所以BM=2BP=8x 24。
又因为BM+CM=BC=12，即8x 24+x=12，
解得x=4，故CM=4（cm）。
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，F分别为AB，AC的中点，
且DE⊥AB，FG⊥AC，点E，G在BC上，BC=18cm，求线段EG的长.
综合应用
解：
连接AE、AG。因为D是AB的中点，DE⊥AB，所以AE=BE；
同理，AG=CG。因为AB=AC，∠BAC=120°，
所以∠B=∠C=30°。则∠BAE=∠B=30°，∠CAG=∠C=30°，所以∠EAG=120° 30° 30°=60°。
又因为AE=BE，AG=CG，∠B=∠C=30°，
所以△AEG是等边三角形，故AE=EG=AG。
因此BE=EG=CG，所以EG= BC= ×18=6（cm）。
总 结
本节课你学会了什么？
Thanks!
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