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5.4一次函数的图象与性质
【题型1】一次函数图象与系数的关系 3
【题型2】判断点是否在一次函数图象上 4
【题型3】用图象信息求一次函数表达式 4
【题型4】一次函数与几何变换 6
【题型5】一次函数的增减性 8
【题型6】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围 9
【题型7】利用一次函数的性质识别一次函数的图象 10
【题型8】利用一次函数的图象和性质比较大小 11
【知识点1】一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1.（2024秋 雁塔区校级期中）已知点P（k,b）在第四象限，则直线y=kx+b的图象大致是（　　） A．B．C．D．
2.（2025春 临泽县校级期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y＞0时，x的值是（　　） A．x＜-2B．x＞-2C．x＞2D．x＜2
【知识点2】一次函数的性质 一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1.（2025春 呼兰区期末）已知直线y=-3x+1过点A（-1，y1）和点（-3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定
【知识点3】一次函数图象与系数的关系 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限． 1.（2025春 北京校级期中）如果一次函数y=kx+b的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（　　） A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
2.（2025春 渝中区期末）正比例函数图象y=（m-1）x的图象经过第二，四象限，则m的取值范围是（　　） A．m=1B．m＞1C．m＜1D．m≥1
【题型1】一次函数图象与系数的关系
【典型例题】正比例函数y＝（k﹣3）x的图象如图，则k的取值范围为（　　）
A. k＞3 B. k≤3 C. k＜3 D. k≥3
【举一反三1】在平面直角坐标系中，一次函数y＝，当x＜2时，对于x的每一个值，正比例函数y＝mx（m≠0）的值都小于一次函数y＝的值，则m的取值范围为（　　）
A. m＜ B. m＜2 C.≤m≤2 D. 0＜m≤2
【举一反三2】若一次函数y＝（m﹣1）x+m的函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　 　．
【举一反三3】已知一次函数y＝（2﹣m）x﹣3m+9的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为 　 　．
【举一反三4】已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求：
（1）m为何值时，y随着x的增大而减小？
（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？
【题型2】判断点是否在一次函数图象上
【典型例题】已知y是x的一次函数．下表列出了x、y的几组对应值：
根据表格判断下列四个点中，在此一次函数图象上的是（　　）
A.（﹣2，3） B.（﹣3，0） C.（2，10） D.（5，15）
【举一反三1】在平面直角坐标系中，有四个点A（2，5），B（1，3），C（3，1），D（﹣2，﹣3），其中不在同一个一次函数图象上的是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【举一反三2】已知（1，﹣3）在正比例函数y＝kx的图象上，判断点（﹣3，9）是否在该函数的图象上？　　（填是或否）
【举一反三3】已知一次函数y＝kx+1的图象经过点（3，﹣3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点（﹣3，3）是否在该一次函数的图象上，说明理由．
【题型3】用图象信息求一次函数表达式
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，则k.b的符号是（　　）
A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0
【举一反三1】一次函数y＝kx+b的图象如图，那么下列说法正确的是（　　）
A. x＞0时，y＞0 B. x＜0时，y＞0 C. x＞2时，y＞0 D. x＜2时，y＞0
【举一反三2】如图．直线AB值对应的函数解析式是（　　）
A. y＝﹣x+3 B. y＝x+3 C. y＝﹣x+3 D. y＝x+3
【举一反三3】一次函数y＝kx+b的图象如图，则其表达式为 　 　．
【举一反三4】如图，已知点A（3，0），B（0，2）．
（1）求直线AB所对应的函数解析式；
（2）若C为直线AB上一点，当△OBC的面积为6时，求点C的坐标．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A（6，﹣3）和点B（﹣2，5）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）判断点C（﹣1，4）是否在该函数图象上．
【题型4】一次函数与几何变换
【典型例题】在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣x+3沿y轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（　　）
A.（﹣2，0） B.（6，0） C.（ 4，0） D.（ 0，﹣3）
【举一反三1】关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　）
A. 图象不经过第二象限
B. 图象与x轴的交点是（0，3）
C. 将一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y＝﹣2x+6
D. 点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2
【举一反三2】如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD的面积为（　　）
A. B. 4 C. D. 8
【举一反三3】一次函数y＝kx+3的图象向下平移两个单位后经过点（2，3），则平移后的一次函数表达式是 　 　．
【举一反三4】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD＝2，则a的值为 　 　．
【举一反三5】因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．
（1）请直接写出函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：　 　；
（2）如果一对“镜子”函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B.C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴.y轴分别交于点A.点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型5】一次函数的增减性
【典型例题】下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A.y＝﹣x+1 B.y＝2x+1 C.y＝2x﹣4 D.y＝3x
【举一反三1】下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（　　）
A.y＝x B.y＝﹣x C.y＝x+1 D.y＝x﹣1
【举一反三2】在函数y＝2x﹣1中，y随x的值的增大而　 　．
【举一反三3】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＞0？
【举一反三4】请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数y＝﹣2x+4的图象，并指出当x增大时，y如何变化．
【题型6】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围
【典型例题】当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为18，则b＝（　　）
A. 48 B. 15 C. 21 D. 25
【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当0＜y＜3时，x的取值范围是（　　）
A. ﹣2＜x＜0 B. ﹣2＜x＜2 C. x＞﹣2 D. x≤0
【举一反三2】已知函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A. m＜2 B. m＞2 C. m＜0 D. m＞0
【举一反三3】当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为18，则b＝（　　）
A. 48 B. 15 C. 21 D. 25
【举一反三4】已知函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A. m＜2 B. m＞2 C. m＜0 D. m＞0
【举一反三5】已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（4）若这个一次函数的图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【举一反三6】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）．
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？
【题型7】利用一次函数的性质识别一次函数的图象
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，以下选项所给的一次函数图象满足这个条件的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】若直线y＝kx+b经过一、二、三象限，则直线y＝﹣bx﹣k的图象是（　　）
A. B. C. D.
【题型8】利用一次函数的图象和性质比较大小
【典型例题】若一次函数y＝x+4的图象上有两点，B（1，y2），则下列说法正确的是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＝y2 C.y1＜y2 D.无法比较y1与y2的大小
【举一反三1】一次函数y＝﹣3x+b图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.无法比较y1，y2的大小
【举一反三2】一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象和性质：
（1）函数的图象是一条 　 　；
（2）当k＞0时，y随x的增大而 　 　；当 k＜0 时，y 随x的增大而 　 　．
【举一反三3】已知函数y＝kx+b的图象经过点（1，﹣3）和（﹣1，1）
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点M（a，y1）和N（a+1，y2）都在这个函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1与y2的大小关系．5.4一次函数的图象与性质
【题型1】一次函数图象与系数的关系 4
【题型2】判断点是否在一次函数图象上 6
【题型3】用图象信息求一次函数表达式 8
【题型4】一次函数与几何变换 11
【题型5】一次函数的增减性 17
【题型6】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围 19
【题型7】利用一次函数的性质识别一次函数的图象 22
【题型8】利用一次函数的图象和性质比较大小 25
【知识点1】一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1.（2024秋 雁塔区校级期中）已知点P（k,b）在第四象限，则直线y=kx+b的图象大致是（　　） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据点P（k,b）在第四象限，可知k＞0，b＜0，然后即可得到直线y=kx+b的图象经过哪几个象限． 【解答】解：∵点P（k,b）在第四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴直线y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
故选：B． 2.（2025春 临泽县校级期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y＞0时，x的值是（　　） A．x＜-2B．x＞-2C．x＞2D．x＜2
【答案】B 【分析】直接根据函数y=x+2的图象进行解答即可． 【解答】解：由函数y=x+2的图象可知，当x＞-2时，函数图象在x轴上方，
故当y＞0时，x的值是x＞-2．
故选：B． 【知识点2】一次函数的性质 一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1.（2025春 呼兰区期末）已知直线y=-3x+1过点A（-1，y1）和点（-3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定
【答案】B 【分析】由k=-3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-1＞-3，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵直线y=-3x+1过点A（-1，y1）和点（-3，y2），且-1＞-3，
∴y1＜y2．
故选：B． 【知识点3】一次函数图象与系数的关系 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限． 1.（2025春 北京校级期中）如果一次函数y=kx+b的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（　　） A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
【答案】A 【分析】根据题意得，一次函数图象经过一、二、三象限，进而可求解． 【解答】解：由条件可知k＞0，b＞0，
故选：A． 2.（2025春 渝中区期末）正比例函数图象y=（m-1）x的图象经过第二，四象限，则m的取值范围是（　　） A．m=1B．m＞1C．m＜1D．m≥1
【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵正比例函数图象y=（m-1）x的图象经过第二，四象限，
∴m-1＜0，
∴m＜1．
故选：C．
【题型1】一次函数图象与系数的关系
【典型例题】正比例函数y＝（k﹣3）x的图象如图，则k的取值范围为（　　）
A. k＞3 B. k≤3 C. k＜3 D. k≥3
【答案】A
【解析】∵正比例函数的图象过第一和第三象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3．
故选：A．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，一次函数y＝，当x＜2时，对于x的每一个值，正比例函数y＝mx（m≠0）的值都小于一次函数y＝的值，则m的取值范围为（　　）
A. m＜ B. m＜2 C.≤m≤2 D. 0＜m≤2
【答案】C
【解析】当x＝2时，正比例函数y＝mx的函数值为y＝2m，一次函数y＝的函数值为y＝4，
∵x＜2时，对于x的每一个值，正比例函数y＝mx（m≠0）的值都小于一次函数y＝的值，
∴2m≤4，
∴m≤2，
①当m＝时，正比例函数y＝mx和一次函数y＝的图象平行，且符合题意；
②m≠时，正比例函数y＝mx和一次函数y＝的图象交点横坐标为，
由题意可得≥2
∴＜m≤2
综上所述，≤m≤2．
故选：C．
【举一反三2】若一次函数y＝（m﹣1）x+m的函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　 　．
【答案】m＜1
【解析】∵一次函数y＝（m﹣1）x+m的函数值y随x的增大而减小，
∴m﹣1＜0，解得m＜1．
故答案为：m＜1．
【举一反三3】已知一次函数y＝（2﹣m）x﹣3m+9的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为 　 　．
【答案】2＜m＜3
【解析】根据题意得2﹣m＜0且﹣3m+9＞0，
解得2＜m＜3．
故答案为：2＜m＜3．
【举一反三4】已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求：
（1）m为何值时，y随着x的增大而减小？
（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？
【答案】解 （1）依题意得：4+2m＜0，
解得m＜﹣2；
（2）依题意得：m﹣4＜0，4+2m≠0，
解得m＜4且m≠﹣2；
（3）依题意得： ，
解得﹣2＜m＜4．
【题型2】判断点是否在一次函数图象上
【典型例题】已知y是x的一次函数．下表列出了x、y的几组对应值：
根据表格判断下列四个点中，在此一次函数图象上的是（　　）
A.（﹣2，3） B.（﹣3，0） C.（2，10） D.（5，15）
【答案】A
【解析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵由图可知，当x＝﹣1时，y＝5；当x＝0时，y＝7，
∴，解得，
∴此函数的解析式为y＝2x+7．
A、∵当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）+7＝3，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
B、∵当x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）+7＝1≠0，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵当x＝2时，y＝2×2+7＝11≠10，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
D、∵当x＝5时，y＝2×5+7＝17≠15，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：A．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，有四个点A（2，5），B（1，3），C（3，1），D（﹣2，﹣3），其中不在同一个一次函数图象上的是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】C
【解析】如图：
由图得，不在同一个一次函数图象上的是点C，
故选：C．
【举一反三2】已知（1，﹣3）在正比例函数y＝kx的图象上，判断点（﹣3，9）是否在该函数的图象上？　　（填是或否）
【答案】是
【解析】∵点（1，﹣3）在正比例函数y＝kx的图象上，
∴k＝﹣3，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣3x，
∴当x＝﹣3时，y＝9，
∴点（﹣3，9）在该函数的图象上．
故答案为：是．
【举一反三3】已知一次函数y＝kx+1的图象经过点（3，﹣3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点（﹣3，3）是否在该一次函数的图象上，说明理由．
【答案】解：（1）∵一次函数y＝kx+1的图象经过点（3，﹣3），
∴﹣3＝3k+1，
解得k，
∴一次函数的解析式为：yx+1；
（2）点（﹣3，3）不在该一次函数的图象上，理由：
由（1）知，一次函数的解析式为yx+1，
∴当x＝﹣3时，y（﹣3）+1＝4+1＝5≠3，
∴点（﹣3，3）不在该一次函数的图象上．
【题型3】用图象信息求一次函数表达式
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，则k.b的符号是（　　）
A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0
【答案】D
【解析】由一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，
又有k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k＜0，
再由图象过三.四象限，即直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．
故选：D．
【举一反三1】一次函数y＝kx+b的图象如图，那么下列说法正确的是（　　）
A. x＞0时，y＞0 B. x＜0时，y＞0 C. x＞2时，y＞0 D. x＜2时，y＞0
【答案】D
【解析】A.如图所示，当x＞0时，y＜4，故本选项错误；
B.如图所示，当x＜0时，y＞4，故本选项错误；
C.如图所示，当x＞2时，y＜0，故本选项错误；
D.如图所示，当x＜2时，y＞0，故本选项正确；
故选：D．
【举一反三2】如图．直线AB值对应的函数解析式是（　　）
A. y＝﹣x+3 B. y＝x+3 C. y＝﹣x+3 D. y＝x+3
【答案】B
【解析】设函数解析式为y＝kx+b，
∵图象经过A（0，3），B（﹣2，0），
∴，
解得：．
∴直线AB所对应的函数解析式是：y＝x+3，
故选：B．
【举一反三3】一次函数y＝kx+b的图象如图，则其表达式为 　 　．
【答案】y＝﹣2x+4
【解析】根据函数图象得，一次函数经过点（0，4），（2，0），
把（0，4），（2，0）分别代入y＝kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+4．
故答案为：y＝﹣2x+4．
【举一反三4】如图，已知点A（3，0），B（0，2）．
（1）求直线AB所对应的函数解析式；
（2）若C为直线AB上一点，当△OBC的面积为6时，求点C的坐标．
【答案】解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．
由题意得：，
解得，k＝﹣，b＝2，
∴直线AB所对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
（2）由题意得OB＝2．
又∵△OBC的面积为6，
∴△OBC中OB边上的高为6．
当x＝﹣6时，y＝﹣×（﹣6）+2＝6；
当x＝6时，y＝﹣×6+2＝﹣2．
∴点C的坐标为（﹣6，6）或（6，﹣2）．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A（6，﹣3）和点B（﹣2，5）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）判断点C（﹣1，4）是否在该函数图象上．
【答案】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把A（6，﹣3）与B（﹣2，5）代入得：，
解得：，
则一次函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）把x＝﹣1代入一次函数解析式得：y＝1+3＝4，
则点C在该函数图象上．
【题型4】一次函数与几何变换
【典型例题】在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣x+3沿y轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（　　）
A.（﹣2，0） B.（6，0） C.（ 4，0） D.（ 0，﹣3）
【答案】A
【解析】将直线y＝-沿y轴向下平移6个单位后，得到：y＝﹣x+3﹣6＝﹣x﹣3，
把y＝0代入y＝﹣x﹣3得，0＝﹣x﹣3，
解得x＝﹣2，
所以该直线与x轴的交点坐标是（﹣2，0），
故选：A．
【举一反三1】关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　）
A. 图象不经过第二象限
B. 图象与x轴的交点是（0，3）
C. 将一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y＝﹣2x+6
D. 点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2
【答案】C
【解析】A．﹣2＜0，3＞0，一次函数图象经过第一.二.四象限，故本项原说法错误；
B．图象与y轴的交点是（0，3），故本项原说法错误；
C．将一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y＝﹣2x+6，故本项说法正确；
D．点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2，故本项原说法错误；
故选：C．
【举一反三2】如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD的面积为（　　）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】D
【解析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，
则AB＝8﹣4＝4，
如图1，
当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．
∵y＝﹣x与x轴形成的角是45°，
又∵AB∥x轴，
∴∠DNM＝45°，
∴DM＝MN,
∴DM＝＝2，
则平行四边形的面积是：AB DM＝4×2＝8．
故选：D．
【举一反三3】一次函数y＝kx+3的图象向下平移两个单位后经过点（2，3），则平移后的一次函数表达式是 　 　．
【答案】y＝x+1
【解析】∵一次函数y＝kx+3的图象向下平移两个单位后得到：y＝kx+3﹣2，且经过点（2，3），
∴把点（2，3）代入y＝kx+3﹣2中得，3＝2k+3﹣2，
∴k＝1．
∴平移后的一次函数表达式是y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
【举一反三4】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD＝2，则a的值为 　 　．
【答案】4
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝ +3，
将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l为y＝，
将点D（2，0）代入得，0＝，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【举一反三5】因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．
（1）请直接写出函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：　 　；
（2）如果一对“镜子”函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B.C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．
【答案】解：（1）根据题意可得：函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：y＝﹣3x﹣2；
故答案为：y＝﹣3x﹣2；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO，
∴设AO＝BO＝CO＝x，根据题意可得：x×2x＝16，
解得：x＝4，
则B（﹣4，0），C（4，0），A（0，4），
将B，A分别代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故其函数解析式为：y＝x+4，
故其“镜子”函数为：y＝﹣x+4．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴.y轴分别交于点A.点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB＝＝5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PAB＝S△OCD，
∴S△PAB＝××6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【题型5】一次函数的增减性
【典型例题】下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A.y＝﹣x+1 B.y＝2x+1 C.y＝2x﹣4 D.y＝3x
【答案】A
【解析】A、∵一次函数y＝﹣x+1中，k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，符合题意；
B、∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
C、∵一次函数y＝2x﹣4中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
D、一次函数y＝3x中，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意，
故选：A．
【举一反三1】下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（　　）
A.y＝x B.y＝﹣x C.y＝x+1 D.y＝x﹣1
【答案】B
【解析】A、∵函数y＝x中k＝1＞0，∴y的值随着x值的增大而增大，故本选项错误；
B、∵函数y＝﹣x中k＝﹣1＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，故本选项正确；
C、∵函数y＝x+1中k＝1＞0，∴y的值随着x值的增大而增大，故本选项错误；
D、∵函数y＝x﹣1中k＝1＞0，∴y的值随着x值的增大而增大，故本选项错误．
故选：B．
【举一反三2】在函数y＝2x﹣1中，y随x的值的增大而　 　．
【答案】增大
【解析】∵k＝2＞0，
∴y随x的值的增大而增大．
故填空答案：增大．
【举一反三3】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＞0？
【答案】解：函数y＝﹣2x+2的图象如图，
（1）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降．
（2）由图象知：当x＝1时，y＝0．
（3）由图象知：当x＞1时，y＜0．
【举一反三4】请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数y＝﹣2x+4的图象，并指出当x增大时，y如何变化．
【答案】解：一次函数y＝﹣2x+4与两个坐标轴的交点为（2，0），（0，4）．一次函数y＝﹣2x+4的图象如图所示：y随x的增大而减小．
【题型6】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围
【典型例题】当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为18，则b＝（　　）
A. 48 B. 15 C. 21 D. 25
【答案】C
【解析】一次函数y＝﹣3x+b，
∵﹣3＜0，
∴当x＝1时，函数值最大，
由题意可知：﹣3×1+b＝18，
解得：B＝21．
故选：C．
【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当0＜y＜3时，x的取值范围是（　　）
A. ﹣2＜x＜0 B. ﹣2＜x＜2 C. x＞﹣2 D. x≤0
【答案】A
【解析】由一次函数y＝kx+b的图象可知，
当0＜y＜3时，﹣2＜x＜0，
故选：A．
【举一反三2】已知函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A. m＜2 B. m＞2 C. m＜0 D. m＞0
【答案】B
【解析】∵当x1＞x2时，有y1＞y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＝m﹣2＞0，
解得：m＞2，
∴m的取值范围为m＞2．
故选：B．
【举一反三3】当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为18，则b＝（　　）
A. 48 B. 15 C. 21 D. 25
【答案】C
【解析】一次函数y＝﹣3x+b，
∵﹣3＜0，
∴当x＝1时，函数值最大，
由题意可知：﹣3×1+b＝18，
解得：B＝21．
故选：C．
【举一反三4】已知函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A. m＜2 B. m＞2 C. m＜0 D. m＞0
【答案】B
【解析】∵当x1＞x2时，有y1＞y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＝m﹣2＞0，
解得：m＞2，
∴m的取值范围为m＞2．
故选：B．
【举一反三5】已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（4）若这个一次函数的图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【答案】解：（1）∵图象经过原点，
∴当x＝0时y＝0，
即：m﹣3＝0，
∴m＝3；
（2）∵图象在y轴上截距为﹣2，
∴m﹣3＝﹣2，
即m＝1；
（3）∵函数y随x的增大而减小，
∴2m+1＜0，
即m＜﹣；
（4）∵图象不经过第二象限，
2m+1＞0，
M﹣3≤0，
∴解得m＞﹣，m≤3，
即m的取值范围：﹣＜m≤3.
【举一反三6】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）．
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？
【答案】解：（1）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1），
∵y随x的增大而减小，
∴4m+1＜0，
解得：m＜﹣，
答：当m＜﹣时，y随x的增大而减小．
（2）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1），
∵直线与y轴的交点在x轴下方，
∴﹣（m+1）＜0，
解得：m＞﹣1，且m≠﹣，
答：当m＞﹣1且m≠﹣时，直线与y轴的交点在x轴下方．
（3）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1），
∵直线位于第二.三.四象限，
∴4m+1＜0且﹣（m+1）＜0，
解得：﹣1＜m＜﹣，
答：当：﹣1＜m＜﹣时，直线位于第二、三、四象限．
【题型7】利用一次函数的性质识别一次函数的图象
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＞0，
∴b＜0，
∴图象与y轴的交点在x轴下方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
故选：B．
【举一反三1】一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
故选：A．
【举一反三2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，以下选项所给的一次函数图象满足这个条件的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，
∴y随x的增大而增大，
故选：B．
【举一反三3】一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
故选：A．
【举一反三4】若直线y＝kx+b经过一、二、三象限，则直线y＝﹣bx﹣k的图象是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵直线y＝kx+b经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴﹣b＜0，﹣k＜0，
∴直线y＝﹣bx﹣k的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
【题型8】利用一次函数的图象和性质比较大小
【典型例题】若一次函数y＝x+4的图象上有两点，B（1，y2），则下列说法正确的是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＝y2 C.y1＜y2 D.无法比较y1与y2的大小
【答案】C
【解析】把A（，y1）、B（1，y2）分别代入y＝x+4得y14，y2＝1+4＝5，
所以y1＜y2．
故选：C．
【举一反三1】一次函数y＝﹣3x+b图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.无法比较y1，y2的大小
【答案】A
【解析】∵一次函数y＝﹣3x+b，k＝﹣3，
∴该函数y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（3，y2）在该函数图象上，﹣2＜3，
∴y1＞y2，
故选：A．
【举一反三2】一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象和性质：
（1）函数的图象是一条 　 　；
（2）当k＞0时，y随x的增大而 　 　；当 k＜0 时，y 随x的增大而 　 　．
【答案】（1）直线；
（2）增大；减小．
【解析】（1）一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象是一条直线；
故答案为：直线；
（2）对于次函数 y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：增大；减小．
【举一反三3】已知函数y＝kx+b的图象经过点（1，﹣3）和（﹣1，1）
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点M（a，y1）和N（a+1，y2）都在这个函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1与y2的大小关系．
【答案】解：（1）根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是y＝﹣2x﹣1；
（2）∵k＝﹣2＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．

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