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1.2二次函数的图象
【题型1】二次函数y=ax 的图象的相关特征 8
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征 12
【题型3】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移 15
【题型4】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征 18
【题型5】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移 21
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征 23
【题型7】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移 26
【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024 八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解答】解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A． 2.（2024秋 龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（　　） A．1B．2C．3D．4
【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【解答】解：根据二次函数和反比例函数的图象位置如图：
∵二次函数y=x2的图象在一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴，
反比例函数的图象在一、三象限，故两个函数的交点只有一个，在第一象限．
故选：A． 【知识点2】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2025 沿河县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＞3b；
③8a+7b+2c＞0；
④若点A（-3，y1），点，点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
⑤若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确结论的个数是（　　） A．3B．4C．5D．2
【答案】A 【分析】根据抛物线对称轴为直线x=2可得a与b的关系，从而判断①；由x=-3时y＜0可判断②；由抛物线经过点（-1，0）及抛物线对称轴可求出b与a,c与a的关系从而判断③；由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④；将方程的解转化为抛物线与直线y=-3的交点问题，从而判断⑤． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线，
∴b=-4a,即4a+b=0，①正确；
由图象可得x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b,②错误；
∵抛物线经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∵b=-4a,
∴c=-5a,
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴-30a＞0，③正确；
∵点C，点B，点A到抛物线对称轴距离依次增大，
∴y3＞y2＞y1，④错误；
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线经过点（5，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
∴方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为抛物线与直线y=-3的交点的横坐标，
由图象可得x1＜-1＜5＜x2，⑤正确；
故选：A． 2.（2025 荆州模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-2，0），B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2-4ac＞0；②2a+b=0；③当y＜0时，-2＜x＜6；④5a+c＜0．其中正确的是（　　） A．②③④B．①③④C．①③D．①②
【答案】B 【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①；
根据二次函数的对称轴可判断②；
直接观察图象可判断③；
根据x=5时，y的值的正负可判断④． 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴①是正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-2，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为，
∴
∴-b=4a,
∴4a+b=0，
∴②是错误；
观察图象可知当y＜0时，-2＜x＜6，
∴③是正确；
由y=ax2+bx+c得，x=5时，y=25a+5b+c,
由图知，x=5＜6时，y＜0，
∴25a+5b+c＜0，
∵-b=4a
∴25a-20a+c＜0，
∴5a+c＜0，
∴④是正确；
故选：B． 【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）．
①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025 江西模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+c（c＞0）上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．m-n=1B．m+n=1C．m=1D．
【答案】A 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别为点M，N，
∵A（m,-m2+c），C（n,-n2+c），
∴AM=m,MO=-m2+c,CN=n,NO=-n2+c,
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDN=∠DAM，
∴△CDN≌△DAM（AAS），
∴DM=CN=n,DN=AM=m,
∴MN=DM+DN=m+n,
又∵MN=NO-MO=m2-n2，
∴m2-n2=m+n,
∴（m+n）（m-n）=m+n,
∵m＞n＞0，
∴m-n=1．
故选：A． 2.（2025 登封市一模）已知二次函数y=x2-4x图象上有两点A（-4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．无法确定
【答案】A 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：二次函数y=x2-4x图象开口向上，对称轴为直线x=2，
A（-4，y1）距离对称轴6个单位长度，
B（1，y2）距离对称轴1个单位长度，
根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大可得：
y1＞y2．
故选：A． 【知识点4】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2025 兴庆区校级一模）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2+1，将函数图象向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y=3（x-5）2+3B．y=3（x+1）2+3C．y=3（x-5）2-1D．y=3（x+1）2-1
【答案】B 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减进行计算即可． 【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y=3（x-2）2+1，向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的新抛物线表达式为：y=3（x-2+3）2+1+2=3（x+1）2+3；
故选：B．
【题型1】二次函数y=ax 的图象的相关特征
【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴
【答案】B
【解析】，
抛物线开口向上，
，
对称轴为轴．
故选：B．
【举一反三1】如果抛物线的最低点是原点，那么实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵抛物线y=（m＋1）x 有最低点是原点，
∴m＋1＞0，
解得：m＞－1．
故答案为：D．
【举一反三2】二次函数的图象是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
抛物线的对称轴是轴，顶点为，
由可知，抛物线开口向下，
故选：D．
【举一反三3】①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为 ．
【答案】④②③①
【解析】根据题意，∵，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是④②③①，
故答案为：④②③①．
【举一反三4】抛物线的顶点是它的图象的最 点（填“高”或“低”）．
【答案】低
【解析】∵中，二次项系数为正，
∴抛物线开口向上，
∴该抛物线有最低点，
故答案为：低．
【举一反三5】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】解：（1）∵抛物线解析式为,
∴a＝3＞0，
∴抛物线y＝3x 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（2）∵抛物线解析式为：，
∴a＝-3＜0，
∴抛物线y＝-3x 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（3）∵抛物线解析式为：，
∴a＝,
∴抛物线y＝x 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（4）∵抛物线解析式为：，
∴a＝，
∴抛物线y＝x 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）．
【举一反三6】填写下列表格：
【答案】解：①的图象如下：

由图可知：抛物线开口向下，
对称轴为：轴，
顶点坐标为：，
②抛物线图象如下：

由图可知：抛物线开口向上，
对称轴为：轴，
顶点坐标为：.
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征
【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，
故选：C．
【举一反三1】下列抛物线中，顶点坐标为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、顶点坐标是，故符合题意，
B、顶点坐标是，故不符合题意，
C、顶点坐标是，故不符合题意，
D、顶点坐标是，故不符合题意，
故选：A．
【举一反三2】二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】由图象知，抛物线的对称轴为直线，
又点，关于直线对称，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x ，y=(x+2) ，y=(x-2) 的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【答案】解：函数图象如图所示：
抛物线y=x 的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).
抛物线y=(x+2) 的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
抛物线y=(x-2) 的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
【举一反三4】已知抛物线
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
②描点、连线：

【答案】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；
（2）①列表：
② 描点、连线：

【题型3】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】在直角坐标平面内，把二次函数的图象向左平移2个单位，那么图象平移后的函数解析式是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】二次函数y=（x+1）2的图象向左平移2个单位，得：y=（x+1+2）2即y=（x+3）2．
故选：D．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将二次函数的图象向左平移 5 个单位，所得图象的解析式为，
故选：D．
【举一反三2】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为 ．
【答案】
【解析】∵抛物线顶点坐标为，
∴向右平移1个单位后，顶点坐标为，
∴平移后抛物线解析式为：．
故答案为．
【举一反三3】抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线
【答案】右；左
【举一反三4】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象.
【答案】解：（1）如图所示：
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位.
【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．

【答案】解：列表：
描点：
连线，如图．
由图象可知，①向左平移两个单位得到②，
∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）．
【题型4】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征
【典型例题】下列抛物线中开口向上，顶点坐标为的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴符合题意，故B正确．
故选：B．
【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标是．
故选：A．
【举一反三2】已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】①时，二次函数图象开口向上，
，
，
无法确定的正负情况，
，
②时，二次函数图象开口向下，
，
，
无法确定的正负情况，
，
综上所述，表达式正确的是，
故选：D.
【举一反三3】若二次函数有最高点，则“”中可填的数字是 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】设处为a，由题意得二次函数为，
∵二次函数有最高点，
∴二次函数的图象开口向下即，
∵，
∴a可以是，
∴中可填的数是．
故答案为：．
【举一反三4】已知点A在抛物线上，点与点A关于此抛物线的对称轴对称，如果点A的横坐标是，那么点的坐标是 ．
【答案】
【解析】∵点A在抛物线上，点A的横坐标是，
抛物线的对称轴为，当时，，则A的坐标为，
∵点与点A关于此抛物线的对称轴对称，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】．已知抛物线.
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
②描点、连线：

【答案】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；
（2）①列表：
② 描点、连线：

【题型5】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移
【典型例题】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函数的图象平移后的函数为：．
故选：A.
【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得：，
故选：．
【举一反三2】二次函数的图象如何平移就能得到的图象（ ）
A.向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B.向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C.向右平移2个单位，再向上平移5个单位
D.向右平移2个单位，再向下平移5个单位
【答案】D
【解析】∵二次函数的图象向右移动2个单位，再向下移动5个单位得到，
故选：D.
【举一反三3】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是 ．
【答案】
【解析】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是，
故答案为：．
【举一反三4】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为 ．
【答案】
【解析】由题意得：平移后的二次函数解析式为：，
即：，
故答案为：.
【举一反三5】已知函数．
(1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________．
(2)怎样移动抛物线就可以得到抛物线
【答案】解：（1）函数的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标为．
（2）把抛物线向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可得函数.
【举一反三6】将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，求，，的值．
【答案】解：根据题意，将向右平移个单位再向下平移个单位得,
即,
∴,，．
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征
【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故，
所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意．
故选：B．
【举一反三1】若二次函数的图象恰好只经过三个象限，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
∵二次函数的图象只经过三个象限，且开口方向向上，其对称轴为直线，
则,
解得．
【举一反三2】已知二次函数，若，，，那么它的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴图象开口向下；
又∵，
∴对称轴为直线，在轴左侧；
∵，
∴抛物线与轴交于正半轴．
所以A图符合题意．
故选：A．
【举一反三3】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】∵（，）的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【举一反三4】二次函数的图象的对称轴为直线 ．
【答案】
【解析】二次函数，
该函数的对称轴是直线，
故答案为：．
【举一反三5】抛物线经过点，则的值为 ．
【答案】
【解析】把点代入,
得：，
化简得：，
,
故答案为：．
【举一反三6】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】，
二次函数的对称轴为：，
①当时，二次函数的图象经过四个象限，
当时，，
；
②当时，二次函数的图象经过四个象限，
当时，，
（不符合题意）；
综上，，
故答案为：．
【题型7】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移
【典型例题】把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：平移后的解析式为：y=(x+1) -2，
即：,
故选：C.
【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，-2），
∴可设新抛物线的解析式为：，
∴代入得：，
∴所得图象的解析式为：，
则点在平移后的图象上的是，
故选：B．
【举一反三2】把二次函数y＝x +bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为 ．
【答案】﹣2
【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【举一反三3】将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵将二次函数的图象向下平移个单位长度，
∴平移后的解析式为，
∵得到的二次函数图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：.
【举一反三4】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的函数表达式 ．
【答案】解：（1）由表格可知，二次函数经过点，
所以该抛物线的对称轴为，
所以该抛物线的顶点坐标为，
设该二次函数表达式为,
将代入得：；
即,
将代入得：.
（2）将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
依据二次函数图象平移时“左加右减，上加下减”的规则，得，
即．
【举一反三5】已知二次函数，且该函数图象的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)将该二次函数图象向左平移2个单位，求平移后的函数表达式．
【答案】解：（1）由题意得，，
解得．
（2）由（1）知，该二次函数表达式为，
∴将该二次函数图象向左平移2个单位后的函数表达式为或．1.2二次函数的图象
【题型1】二次函数y=ax 的图象的相关特征 4
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征 5
【题型3】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移 7
【题型4】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征 8
【题型5】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移 9
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征 10
【题型7】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移 11
【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024 八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A．B．C．D．
2.（2024秋 龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（　　） A．1B．2C．3D．4
【知识点2】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2025 沿河县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＞3b；
③8a+7b+2c＞0；
④若点A（-3，y1），点，点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
⑤若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确结论的个数是（　　） A．3B．4C．5D．2
2.（2025 荆州模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-2，0），B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2-4ac＞0；②2a+b=0；③当y＜0时，-2＜x＜6；④5a+c＜0．其中正确的是（　　） A．②③④B．①③④C．①③D．①②
【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）．
①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025 江西模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+c（c＞0）上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．m-n=1B．m+n=1C．m=1D．
2.（2025 登封市一模）已知二次函数y=x2-4x图象上有两点A（-4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．无法确定
【知识点4】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2025 兴庆区校级一模）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2+1，将函数图象向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y=3（x-5）2+3B．y=3（x+1）2+3C．y=3（x-5）2-1D．y=3（x+1）2-1
【题型1】二次函数y=ax 的图象的相关特征
【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴
【举一反三1】如果抛物线的最低点是原点，那么实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】二次函数的图象是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为 ．
【举一反三4】抛物线的顶点是它的图象的最 点（填“高”或“低”）．
【举一反三5】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【举一反三6】填写下列表格：
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征
【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】下列抛物线中，顶点坐标为的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”）
【举一反三3】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x ，y=(x+2) ，y=(x-2) 的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【举一反三4】已知抛物线
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
②描点、连线：

【题型3】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】在直角坐标平面内，把二次函数的图象向左平移2个单位，那么图象平移后的函数解析式是（ ）．
A. B. C. D.
【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为 ．
【举一反三3】抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线
【举一反三4】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象.
【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．

【题型4】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征
【典型例题】下列抛物线中开口向上，顶点坐标为的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若二次函数有最高点，则“”中可填的数字是 .
【举一反三4】已知点A在抛物线上，点与点A关于此抛物线的对称轴对称，如果点A的横坐标是，那么点的坐标是 ．
【举一反三5】．已知抛物线.
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
②描点、连线：

【题型5】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移
【典型例题】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】二次函数的图象如何平移就能得到的图象（ ）
A.向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B.向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C.向右平移2个单位，再向上平移5个单位
D.向右平移2个单位，再向下平移5个单位
【举一反三3】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是 ．
【举一反三4】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为 ．
【举一反三5】已知函数．
(1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________．
(2)怎样移动抛物线就可以得到抛物线
【举一反三6】将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，求，，的值．
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征
【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】若二次函数的图象恰好只经过三个象限，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知二次函数，若，，，那么它的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【举一反三4】二次函数的图象的对称轴为直线 ．
【举一反三5】抛物线经过点，则的值为 ．
【举一反三6】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为 ．
【题型7】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移
【典型例题】把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】把二次函数y＝x +bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为 ．
【举一反三3】将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为 ．
【举一反三4】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的函数表达式 ．
【举一反三5】已知二次函数，且该函数图象的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)将该二次函数图象向左平移2个单位，求平移后的函数表达式．

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