资源简介

2025-2026学年沈阳市沈文新高考研究联盟高二上学期 10月质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列命题中，假命题是( )
A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B. | | = | |是向量 = 的必要不充分条件
C. 只有零向量的模等于0
D. 共线的单位向量都相等
2.在四面体 中， = ， = ， = ，且 = 2 ， = ，则 等于( )
2 1 1 2 1 1
A. + B. + +
3 2 2 3 2 2
2 1 1 2 1 1C. + D. +
3 2 2 3 2 2
→ → → → → → →
3.已知向量 = (2,1,1), = (9, , ), 与5 共线，则| | =( )
7√ 6 9√ 6
A. B. 6√ 3 C. D. 8√ 3
2 2
4.已知空间三点 (4,1,3)， (2,5, 3)， (3, , 0)共线，则实数 的值为( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
5.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
C. 若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D. 若 // ， ， ∩ = ，则 与 相交
6.如图，边长为2的正方体的一个顶点 在平面 内，其余顶点在 的同侧，且点 和点 到平面 的距离均
为√ 2，则平面 与平面 的夹角的余弦值为( )
2 1 1
1 √ 2 1 √ 6
A. B. C. D.
2 2 3 6
第 1 页，共 9 页
7.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，
求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在 中，若三个内角均小于120 ，则当
点 满足∠ = ∠ = ∠ = 120 时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称为费马
点．根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个互相垂直的向量，且| | = 2, | | =
3，则| | + | + | + | |的最小值是( )
A. 3 2√ 3 B. 3 + 2√ 3 C. 2√ 3 2 D. 2√ 3 + 2
1
8.在平面直角坐标系中，定义： = (| 1

2| + | 1 2| ) ，其中 ( 1, 1)， ( 2, 2).若 , ∈ ，
且 < ，则下列结论错误的是( )
A. 若 , 关于 轴对称，则 =
B. 若 , 关于直线 = 对称，则 ≥
C. 若 = 2 ，则 = 2
D. 若 = { | ≤ 1}， = { | ≤ 1}，则
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知四面体 ，点 , 分别是 , 的中点，下列说法正确的是( )
A. + + = B. + =
1
C. + ( + ) = D. + =
2
10.已知点 ( 1,1)， (2,1)，且点 ( , )在直线 ： + + 2 = 0上，则( )
2 2 39A. + 2 的最小值为 B. | | + | |的最小值为√ 29
8
C. 存在点 ，使得
1
= D. 存在点 ，使得2| | = | |
4
11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字
“8”对应着数学曲线中的双纽线.在 平面上，把与定点 ( , 0)， ( , 0)距离之积等于 2( > 0)的动
点的轨迹称为双纽线.曲线 是当 = 2时的双纽线， 是曲线 上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 点 的横坐标的取值范围是[ 2,2] B. | |的最大值是2√ 2
C. 面积的最大值为2 D. | | + | |的取值范围是[4,4√ 2]
第 2 页，共 9 页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，则点 到平面 的距离 = ．
13.设点 ( 2,0)和 (0,3)，在直线 ： + 1 = 0上找一点 ，使| | + | |的取值最小，则这个最小值
为 ．
14.△ 是等腰直角三角形，∠ = 90°， = √ 2，点 满足 = ，点 是 所在直线上一点，若

= + ，则 + 2 = ______；向量 在向量 上的投影向量记为 ，则实数 的取值范围
| |
为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 ： = + + 1．
(1)求证：直线 恒过定点 ( 1,1)；
(2)已知两点 ( 4,4)， (0,2).过点 的直线 与线段 有公共点，求直线 的倾斜角 的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，直三棱柱 1 1 1的体积为4， 是 的中点．
(Ⅰ)求证： 1//平面 1 ；
(Ⅱ)若△ 1 的面积为2√ 2，求点 到平面 1 的距离．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥 中， ⊥ ， = = ，点 为 中点， 是 上一点， ⊥底面
， ⊥面 ．
第 3 页，共 9 页
(Ⅰ)求证：点 为 中点；
(Ⅱ)当 取何值时， 在平面 内的射影恰好是 的中点．
18.(本小题17分)
1
如图，在四棱锥 中， // , = = 6, = = 2, = 4, cos∠ = ．
3
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 = 2√ 3，求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常
用测量距离的方式有3种.设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则欧几里得距离 ( , ) = √ ( 1 2 22) + ( 1 2) ；曼
哈顿距离 ( , ) = | 1 2| + | 1 2|，余弦距离 ( , ) = 1 cos( , )，其中cos( , ) =
cos , ；( 为坐标原点)．
3 4
(1)若 ( 1,2)， ( , )，求 ， 之间的曼哈顿距离 ( , )和余弦距离 ( , )；
5 5
(2)若点 (2,1)， ( , ) = 1，求 ( , )的最大值；
(3)已知点 ， 是直线 ： 1 = ( 1)上的两动点，问是否存在直线 使得 ( , ) = ( , ) ，
若存在，求出所有满足条件的直线 的方程，若不存在，请说明理由．
第 4 页，共 9 页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
| |
12.
| |
13.√ 17
√ 2
14.2 ( , 1]
2
15.解：(1)证明：由 = + + 1，可得 ( + 1) = 1，
+ 1 = 0 = 1
令{ ，得{ ，
1 = 0 = 1
∴直线 恒过定点 ( 1,1)；
(2) ∵ ( 1,1)， ( 4,4)， (0,2)，
1 2 1 4
∴ = = 1， = = 1， 1 0 1 ( 4)
又过点 的直线 与线段 有公共点，
3
∴直线 的倾斜角 的取值范围为[ , ].
4 4
16. 解：(Ⅰ)证明：连接 1，交 1 于点 ，连接 ，
因为 ， 分别是 1， 的中点，
所以 是△ 1的中位线，
所以 // 1，
因为 1 平面 1 ， 平面 1 ，
第 5 页，共 9 页
所以 1//平面 1 ；
(Ⅱ)设△ 的面积为 ，棱长 1的长度为 ， 到平面 1 的距离为 ，
因为直三棱柱 1 1 1的体积 = = 4，
因为 是 的中点，
1
所以△ 的面积为 ，
2
1 1 1 2
所以三棱锥 1 的体积 1 = × × = = ， 3 2 6 3
因为△ 1 的面积为2√ 2，
所以由 1 = 1 ，
2 1
得 = × 2√ 2 × ，
3 3
√ 2
解得 = ．
2
√ 2
所以 到平面 1 的距离为 ． 2
(Ⅰ)根据 是△ 1的中位线，得出 // 1，即可得证；
(Ⅱ)利用等体积转换法求解即可．
本题考查线面平行的判定，以及等体积法的应用，属于中档题．
17.解：(Ⅰ)证明：由 ⊥平面 ，得 ⊥ ，
又 ⊥ ，则 // ，
又 为 中点，所以点 为 的中点，
(Ⅱ)如图，
过 作 ⊥ 于点 ，
由 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
又 为 的中点，∴△ 为等腰三角形，
∴ = ，
第 6 页，共 9 页
1 √ 2
不妨设 = ，则 = ， = = ， = ，
2 2
在 △ 中， 2 = 2 + 2，
2√ 3
代入解得 = ．
3
18.解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ，
则 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // 且 = ，
在 中，由余弦定理得，
1
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 36 + 16 2 × 6 × 4 × = 36，
3
所以 = 6 = ，
所以 ⊥ ， = √ 62 22 = 4√ 2，
所以 ⊥ ，所以 ⊥ , = 4√ 2，
则 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 , 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ；
(2)在 中，由余弦定理得，
，所以∠ = 120°，
如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 (4√ 2, 4,0), (0,2,0), (4√ 2, 0,0), (0, 1,√ 3)，
故 = (0,3, √ 3), = (4√ 2, 5, √ 3), = (4√ 2, 1, √ 3)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1),，平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
则有
第 7 页，共 9 页
√ 2 √ 2
令 1 = 1, 2 = 1，则 = ( , 1, √ 3) , = ( , 1, √ 3)， 4 4
则 ，
31
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
33
3 4 8+6 14
19.解：(1) ( , ) = | 1 | + |2 | = = ，
5 5 5 5
3 8
+ √ 5
cos( , ) = cos , = = 5 5 = ，
| || | √ 5×1 5
√ 5 5 √ 5
( , ) = 1 cos( , ) = 1 = ；
5 5
(2)设 ( , )，由题意得： ( , ) = |2 | + |1 | = 1，
即| 2| + | 1| = 1，而| 2| + | 1| = 1表示的图形是正方形 ，
其中 (2,0)、 (3,1)、 (2,2)、 (1,1)，
即点 在正方形 的边上运动，
因为 = (2,1)， = ( , )，
可知：当cos( , ) = cos < , >取到最小值时，即< , >最大，相应的 ( , )有最大值，
因此，点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 = (2,0)，
4 2√ 5
cos( , ) = cos < , >= = ，
2×√ 5 5
②点 在线段 上运动时，
此时 与 = (1,1)同向，取 = (1,1)，
3 3√ 10
则cos( , ) = cos < , >= = ，
√ 5×√ 2 10
因为3√ 10 2√ 5> ，
10 5
所以 ( , )的最大值为 2√ 51 ；
5
第 8 页，共 9 页
|1 |
(3)易知 ( , )min = ，
√ 2 +1
设 ( , + 1)，
则 ( , ) = ( ) = | | + | + 1|，
当 = 0时， ( , ) = ( ) = | | + |1|，
则 ( , ) = 1， ( , ) = 1，满足题意，
此时直线 的方程： = 1，
当 ≠ 0时， ( , ) = ( ) = | | + | + 1|
1
= | | + | | | |，

1
由分段函数性质可知 ( , )min = min { (0), ( )}，
|1 |
又 (0) = |1 | ≥ 2 ， √ +1
1 1 |1 |
且 ( ) = | | ≥ 2 恒成立， √ +1
当且仅当 = 1时等号成立，
此时直线 的方程： = ，
综上，满足条件的直线有且只有两条，
直线 的方程分别为 = 1和 = ．
第 9 页，共 9 页

展开更多......

收起↑