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安徽省部分学校 2026届高三上学期 10月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.(4 i)i的实部为( )
A. 4 B. 4 C. 1 D. 1
2.设全集 = { ∈ ∣ 4 < ≤ 4}, = {0,1,2,3}，则 的子集个数为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
2 2 4
3.已知双曲线 2 2 = 1的渐近线方程为 = ± ，则该双曲线的离心率为( ) 3
3 5 4 4
A. B. C. D.
2 3 5 3
+3
4.不等式 > 1的解集为( )
7
A. { | 3 < < 7 } B. { | < 7 } C. { | > 7 } D. { | < 3 或 > 7}
π
5.将函数 = tan3 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 ( )的图象，则 ( )的图象的一个对称中心是
12
π π π π
A. ( , 0) B. ( , 0) C. ( , 0) D. ( , 0)
36 12 18 9
3 3 11
6. ( )是定义在 上的奇函数，且关于直线 = 对称，当0 ≤ ≤ 时， ( ) = 3 2 ，则 ( ) =( )
4 4 2
5 7 7 5
A. B. C. D.
8 8 8 8
7.已知 为坐标原点，直线 : = + 4与圆 : 2 + 2 8 + 12 = 0相交于 、 两点，则 =( )
A. 8 B. 5 C. 6 D. 12
π
8.已知√ 3sin = sin ( )，则sin2 + √ 3cos2 =( )
6
√ 3 1 √ 3 3
A. B. C. D.
4 2 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在直三棱柱 中， = = = 2, ⊥ , 为 的中点，则( )
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A. ⊥
4
B. 三棱锥 的体积为
3
√ 10
C. 直线 与 所成角的余弦值为
5
D. 三棱柱 的外接球的表面积为2
10.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 , 是经过抛物线焦点 的弦， 是线段 的中点，经过点 ，
， 作抛物线的准线 的垂线 , , ，垂足分别是 ， ， ，其中 交抛物线于点 ，连接
, , , ，则下列说法正确的是( )
1
A. | | = | | B. 以 为直径的圆与 轴相切
2
C. 为等腰三角形 D. ∠ = 2∠
11.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≤ 0时， ( ) = 3 + sin + e ，则下列说法正确的是( )
A. 若 = 1，则 = 0
B. 若 = 0且 > 0时， ( ) = 3
π π
C. 若 = 1，则函数 ( )在( , )上严格单调递增
2 2
D. 若 = 2，则方程 ( ) = 在(1,+∞)上有且仅有一个解
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
112.已知向量 = (1,2)，向量 在 方向上的投影向量为 ，则 = ．
2
13.记 为等比数列{ }的前 项和．若 9, 4 3, 7 6成等差数列，则{ }的公比为 ．
14.抽屉里有4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取2次，每次取1个球．记 为两次取出
的不同小球的个数，则 的数学期望 ( ) = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了研究某新型病毒与快速检测试剂结果的关系，研究人员随机调查了200名接受过该试剂检测的人群，
得到如下列联表：
快速检测结果组别 阳性 阴性 合计
感染该病毒 30 10 40
未感染该病毒 20 140 160
合计 50 150 200
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(1)记快速检测结果为阳性者感染该病毒的概率为 ，求 的估计值；
(2)根据小概率值 = 0.05的独立性检验，分析快速检测结果是否与感染该病毒有关．
2
2 ( )附： = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(本小题15分)
已知在数列{ }中， 1 = 5, =
1
1 + 2 + 2( ≥ 2, ∈ )．
(1)证明：数列{ 2 }是等差数列，并求{ }的通项公式；

(2)设 =

，求 的前 项和 ． 2
17.(本小题15分)
如图1，正方体 1 1 1 1的棱长为2，点 为棱 1的中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 1 1；
(2)如图2，连接 1 , 1 , ．
( )求直线 1与平面 1 所成角的正弦值；
( )求点 到平面 1 的距离．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 + cos .
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程;
(2)求函数 ( )在[ 2 , 2 ]上的最大值和最小值;
(3)设 ( ) = ′( )，证明：对任意的 > ，有 ( ) ( ) < 3 3 ．
19.(本小题17分)
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2 2 √ 2
已知直线 : = 1交椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)于 ， 两点， (0,3)为椭圆上一点，离心率为 ． 2
(1)求椭圆方程 的标准方程；
(2)证明 ⊥ ；
(3)求| | | |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
5
12.
2
13. 2
7
14.
4
15.【详解】(1)由题意可得快速检测结果为阳性者共50人，其中为阳性者感染该病毒的人数为30人，
3
所以 = ．
5
(2)有关，理由如下：
由表中的数据可知 = 30, = 10, = 20, = 140, = 200，
2 2
则 2
( ) 200(30×140 10×20)
= = ≈ 66.667，
( + )( + )( + )( + ) 40×160×50×150
又小概率 = 0.05时， 2 = 3.841，
因为66.667 > 3.481，所以根据小概率值 = 0.05的独立性检验，快速检测结果与感染该病毒有关．
16.【详解】(1)由 1 = 1 + 2 + 2，则 2
= 1 1 1 + 2 + 2 2 = 1 2 + 2，
故( 2 ) ( 1 1 1 2 ) = 2，又 1 2 = 5 2 = 3，
故数列{ 2
}是以3为首项，2为公差的等差数列，
则 2 = 3 + 2( 1)，即

= 2 + 2 + 1；
2 +2 +1 2 +1(2) = = = 1 + ， 2 2 2
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3 5 2 +1 3 5 2 +1
则 = 1 + + 1 + 2 + + 1 +2 2
= + + + + ，
2 2 22 2
1 3 5 2 +1
则 = + 2 + + + ， 2 2 2 23 2 +1
1 1 3 2 2 2 2 +1
故 = = + + + + + 2 2 2 2 2 2 23 2 2 +1
1 1
(1 )
3 2 2 1 2 +1 5 2 +5= + + 1 +1 = + ， 2 2 1 2 2 2 2 +1
2
2 +5
故 = + 5 2
．
17.【详解】(1)在正方体 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
故 1 ⊥ ，又四边形 为正方形，故 ⊥ ，
1 ∩ = , 1 , 平面 1 1，故 ⊥平面 1 1，
而 平面 ，故平面 ⊥平面 1 1．
(2)( )以 为坐标原点，以 , , 1所在直线为 , , 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), 1(2,0,2), (0,2,1), 1(0,0,2), (0,2,0)，
则 = (0,0,2), 1 1 = (2,0,2), = (0,2,1)，
= 0
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则{
1 ,
= 0
2 + 2 = 0
即{ ，令 = 2，则 = 2, = 1，则 = (2,1, 2)．
2 + = 0
设直线 1与平面 1 所成角为 ，
| 1 |
则sin = |cos
|0+0 4| 2
1 , | = = = ，
| 1| | | √ 2 32 22+12+( 2)
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2
即直线 1与平面 1 所成角的正弦值为 ； 3
| | |0+2+0| 2
( ) = (0,2,0)，则点 到平面 1 的距离为 = = = ． | | 3
√ 2 2 2 2 +1 +( 2)
18.解：(Ⅰ) ′( ) = 2 ，则 ′(0) = 0，
又 (0) = 1，
则所求切线方程为 1 = 0，即 = 1；
(Ⅱ)令 ( ) = ′( ) = 2 ，则 ′( ) = 2 > 0，
所以函数 ( )在[ 2 , 2 ]上单调递增，
又 (0) = 0，
则当 ∈ [ 2 , 0]时， ( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ (0,2 ]时， ( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = 0时，函数 ( )取得最小值1，当 = 2 或 = 2 时，函数 ( )取得最大值4 2 + 1；
(Ⅲ)证明：设 ( ) = ( ) 3 ，则 ′( ) = ′( ) 3 = 1 ≤ 0，
所以函数 ( )在 上单调递减，
又 > ，则 ( ) < ( )，即 ( ) 3 < ( ) 3 ，则 ( ) ( ) < 3 3 ，即得证．
9
2 = 1
19. 【详解】(1)由已知得{ ，解得{ = 3√ 2
2 2
,
1
= = 3
2 2
2 2
因此椭圆 的方程为； + = 1；
18 9
2 2
(2)由{ + = 118 9 ，整理得(2 2 + 1) 2 4 16 = 0，
= 1
4 16
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
因为 = 1 2 + ( 1 3)( 2 3) = 1 2 + ( 1 4)( 2 4)，
2
16( +1)
= ( 2
4
+ 1) 1 2 4 ( 1 + 2) + 16 = 2 4 2 + 16 = 0，
2 +1 2 +1
所以 ⊥ ；
(3)设 为点 到直线 的距离，故| | | | = | | ，
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4
又因为 = ，
√ 2 +1
4 2 16
| | = √ (1 + 2)[( 1 + 2)
2 4 21 2] = √ (1 + ) [( ) 4 × ]
2 2 + 1 2 2 + 1
2 2
4√ (1+ )(9 +4)
= 2 ，
2 +1
2
16√ 9 +4
所以| | | | = 2 ，
2 +1
2
设 = 2 2
81 1 1 9 1
+ 1，则| | | | = 16√ ( ) ，由于 ∈ (0,1],
8 2 2
1
所以| | | | ≤ 32，当 = 1，即 = 0时，等号成立．

因此，| | | |的最大值为32．
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