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广西壮族自治区基础教育高质量发展共同体2026届高三上学期10月适应性测试数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.在平行四边形中，是的中点，则
A. B. C. D.
3.已知是椭圆：的一个焦点，则
A. B. C. D.
4.已知三个不同的平面，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在等差数列中，，则它的前项和
A. B. C. D.
6.某次航展中，空中梯队的五架战机进行特技表演，需保持呈“人”字形飞行如图所示已知执飞小组共人，每架战机由一人执飞，其中领头战机只能由甲或乙执飞，其余四个位置每个人都能执飞，则不同的执飞方法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.设，分别是双曲线：的左、右焦点，是它的一条渐近线，过作的平行线交于点，已知的面积等于，则的离心率为
A. B. C. D.
8.不等式的解集为
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.设等比数列的前项和为，已知，则公比可能是
A. B. C. D.
10.已知函数，则
A. 的最大值为 B. 的最小正周期为
C. 是偶函数 D. 曲线关于点对称
11.已知函数的定义域为，且，则必有
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知，则的虚部为 ．
13.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．普森公式：将两个天体的星等，和亮度，联系起来．由此可知，星等越大的天体亮度越 填“大”或“小”；已知牛郎星的星等为，且牛郎星与织女星的亮度之比为，则织女星的星等为 ．
14.设是等腰直角为直角顶点内的一个动点，已知，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.设，，分别是的内角，，所对的边，已知．
求的大小；
求的取值范围．
16.如图，在圆台中，是其轴截面，是下底面内与垂直的直径，，．
证明： 平面；
求二面角的正弦值．
17.已知甲盒中有个红球和个白球，乙盒中有个红球和个白球，球的大小都相同．第一次操作：从甲盒中抽取个球放入乙盒并搅拌均匀；第二次操作：从乙盒中抽取个球放入甲盒．设第次操作后，甲盒中红球的个数为随机变量，．
求的期望；
求“”的概率．
18.已知抛物线的顶点在坐标原点，经过焦点的两条直线分别与交于点，和，设直线与轴交于点，且直线与轴垂直，以，为邻边作平行四边形．
求的方程；
求点的坐标；
设与的面积分别为和，证明：为定值．
19.已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
设在区间内存在唯一的极值点．
求的取值范围；
证明在内存在唯一零点，并比较与的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.小
14.
15.解：由正弦定理，得，
因为，所以，故，
因为，所以；
因为，所以，
因为，所以，故A的大小为；
由余弦定理，得，
因为，所以，
因为当且仅当时取等号，
所以，故，
因为三角形的两边之和大于第三边，
所以，
故的取值范围是．
16.解：如图，
连接， 因为，，，则，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面
如图，以点为原点，以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
圆台的高为，，，，，
，，
设平面的法向量为，
，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
，，
设平面的法向量为，
，得，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
所以，则，
所以二面角的正弦值为．
17.解：，，．
，
，
，
故的期望．
设事件“”“”，则B.
由知，．
又第二次抽取的是红球．
同理，．
又第二次抽取的是白球．
由全概率公式，得
所以，
故．
18.解：设的方程为．
因为的焦点为，所以，解得．
故E的方程为．
设直线的方程为，代入，
整理得恒成立
设，，则，．
设，同理可得，．
易得，由轴，得，故．
所以，．
设，由平行四边形对角线和互相平分，
得，．
因为．
故，且，解得，，
所以．
由抛物线的定义，得．
由点到直线的距离公式，得点到直线的距离．
所以．
由平行四边形的性质可知，点到的距离等于点到的距离．
同理，，所以．
故．
19.解：当时，，．
所以 ．
故曲线在点处的切线方程为即．
求导，得
设函数，则
设函数，则．
所以即在上单调递减．
因，，所以存在唯一的，使．
而且当时，当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
当时，，，则对任意，，故．
所以在上单调递增，故无极值点，不合题意．
当时，，，所以存在唯一的，
使而且当时，，故当时，，故所以
在上单调递减，在上单调递增故是的唯一极值点，满足题意．
当时，，．
若，则对任意，，故所以在上单调递减，
故无极值点，不合题意．
若则存在，使而且当
或时，故当时，，故．
所以在和上单调递减，在上单调递增故有两个极值点
，不合题意．
综上所述，的取值范围是
因为，，所以
有唯一零点
设函数，则
由得故
．
因为所以故在上单调递减所以即．
又，故
因为所以
．故．
又，且在上单调递增，故．
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