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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学九年级上册期中试卷
1．如图，长方形的一边长为8，另一边长为x．
（1）长方形的面积y与另一边长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从6变化到12时（每次增加1），y的相应值；
（3）当x每增加1时，y如何变化？
（4）当x＝8时，y等于多少？此时它表示的是什么图形？
2． 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
3．某景区为吸引游客，推出系列活动，其中一项活动是赢玩偶游戏
游戏准备：取一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1，2，3，4．每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中．
游戏流程：第一步，参与者掷一次硬币，若该硬币正面向上，则记为数字1；若该硬币反面向上，则记为数字0．第二步，参与者从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字．
获奖规则：若以上两步所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况不能赢得玩偶．
乐乐想知道参加一次游戏就能获得玩偶的概率，请你用列表法或画树状图法中的一种方法，帮他求出这个概率．
4．请你设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，转盘停止后，指针落在1号区域的概率为 ，落在2号区域的概率为 ，落在3号区域的概率 ．
5．初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°；
（2）求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
（3）类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
6．在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，请用画树状图的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
7．如图，已知长方形ABCD中，如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当E点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，当△DEG和△BFG全等时，求t的值和此时G点对应的速度.
8．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
9．如图所示，在矩形ABCD中，，，过点A，C的两条直线相交于点E．若，，求图中阴影部分的面积．
10．电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．
11．亮亮和爸爸搭乘飞机外出游玩.若航班售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排.如下图所示的是飞机内同一排座位，，，的排列示意图.
窗 过道 窗
（1）亮亮被分配到座位是　 　事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
（2）求亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位不算相邻）.
12．一个正方形的面积是13，若它的边长的整数部分是a，小数部分是b，求的值．
13．已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形的两边和上，与相交于点G，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
14．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．
16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）.将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD=CE=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度.
17．如图，四边形的对角线于点，点为四边形外一点，且，平分，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
18．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000
发芽的粒数m 471 946 1425 1898 2853 3812
发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953
（1）求表中，的值；
（2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．
19．某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组 频数 频率
50≤x＜60 8 0.16
60≤x＜70 12 a
70≤x＜80 ■ 0.5
80≤x＜90 3 0.06
90≤x≤100 b c
合计 ■ 1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
20．2023年11月26日，丽江至香格里拉铁路正式建成通车，现昆明至香格里拉仅需5小时，为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了自动检票口，某车站有四个自动检票口，如图所示，分别记为A、B、C、D．
当小官、小渡两名乘客通过该站检票口时，请回答下列问题：
（1）小官通过A检票口的概率是：______；
（2）用树状图或列表法求小官、小渡两名乘客选择相同检票口通过的概率．
21．如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长度．
22．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：
每批粒数 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数 65 111 345 560 700
发芽的频率
（1）填空：　 　，　 　；
（2）根据表格中的数据，估计这种油菜籽发芽的概率；（精确到）
（3）如果重新再用1000粒同品种的油菜籽在相同条件下做发芽试验，对比上表记录数据，两表的结果会相同吗？为什么？
23．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．
24．下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
（1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
（2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
（3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率.
25．小雅家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小雅按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小雅任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
26．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为，.
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗 请你用概率知识解释.
27．如图，在矩形中，，点是线段上一个动点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
28．深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为等级的学生数，并补全条形图；
（3）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
29．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
30．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘甲、乙，分别被分成4等份、3等份，且每份内均标有数字.小洋和小倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘甲与乙；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指的数字相加(若指针恰好停在分隔线上，则重转一次)；③若和为0，则小洋获胜，否则小倩获胜.
（1）用列表或画树状图的方法求小洋获胜的概率.
（2）你认为这个游戏对双方公平吗 若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则使游戏变得公平.
31．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是　 　；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
32．如图，在正方形 ABCD 中，AE 平分∠BAC 交 BC 于点E，F 是边 AB 上一点，连结 DF.若 BE=AF，求∠CDF 的度数.
33．新高考“3+1+2”是指：3，语数外三科是必考科目；1，物理、历史两科中任选一科；2，化学、生物、地理、政治四科中任选两科．某同学确定选择“物理”，但他不确定其它两科选什么，于是他做了一个游戏：他拿来四张不透明的卡片，正面分别写着“化学、生物、地理、政治”，再将这四张卡片背面朝上并打乱顺序，然后从这四张卡片中随机抽取两张，请你用画树状图（或列表）的方法，求该同学抽出的两张卡片是“化学、政治”的概率．
34．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．
35．为了维护每个学生平等接受教育的权利，我区小学多年来遵照“就近划片入学”原则实行阳光招生，电脑随机分班，分班时对所有学生一视同仁．小红和小兰两个女孩是邻居，今年夏天被划分到城区的同一所小学，这所学校一年级有1班、2班、3班、4班共四个班．下面是分班前两个女孩家长的一段对话：
小红妈妈说：“真希望她俩能分到同一个班．”
小兰妈妈说：“她俩可能分到同一个班，也可能分不到同一个班，所以她俩分到同一个班的可能性是50%．”
请你用所学的知识分析小兰妈妈的说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误请用列表或画树状图的方法求出小红和小兰分到同一个班的概率．
36．[例3]有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片，上的数字是奇数的概率为　 　
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
37．有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，请用树状图法或列表法求一次就能打开锁的概率．
38．孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：“如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大？”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答。小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大。你认为他们俩的回答正确吗？请用列表或画树状图等方法加以说明。
（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体。）
39．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
40．甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍．
（1）求乙盒中蓝球的个数．
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，利用列表或画树状图法求这两球均为蓝球的概率．
41．如图，的对角线相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
42．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，平分，则　 　，　 　．
43．如图，在中，，．点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P，Q同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，过点P作于点N，连接，以为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①的长为 ；
②的长用含t的代数式表示为 ．
（2）用代数式表示S．
44．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
45．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当　 　 时，四边形是矩形．
46． 如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
47．如图，在中，，过点的直线，为上一点，过点作，交直线于点，垂足为，连接，．
（1）求证：；
（2）当点是的中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）请直接写出在的条件下，当　 　时，四边形是正方形．
48．如图，在 ABCD中，AB=6 cm，BC=10 cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线相交于点 F，连结 CE，DF.
（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形.
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF 是菱形，请说明理由.
②当 AE= cm时，四边形 CEDF 是矩形，请说明理由.
49．如图①，已知AD//BC，AB//DC，∠B.
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图②，M为AD的中点，为AB的中点，.若，求BC的长.
50．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F．
（1）求证：点F为AC中点；
（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．
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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学九年级上册期中试卷
1．如图，长方形的一边长为8，另一边长为x．
（1）长方形的面积y与另一边长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从6变化到12时（每次增加1），y的相应值；
（3）当x每增加1时，y如何变化？
（4）当x＝8时，y等于多少？此时它表示的是什么图形？
【答案】（1）由长方形的面积公式得：y＝8x，
∴长方形的面积y与另一边长x之间的关系式是：y＝8x；
（2）列表如下：
x 6 7 8 9 10 11 12
y＝8x 48 56 64 72 80 88 96
（3）由上表可以看出：当x每增加1时，y增加8，
（4）由上表可知：当x＝8时，y＝64，此时表示的图形是正方形．
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式，即可求得；
（2）将x的值代入（1）所求的关系式，列出表格即可；
（3）根据数据的变化量，易求得；
（4）将x=8代入关系式求得y的值，再根据正方形的判定即可求得.
2． 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）50；
（2）解：A类别人数：（人），补全条形统计图如图所示；
（3）解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
　 （，） （，） （，）
（，） 　 （，） （，）
（，） （，） 　 （，）
（，） （，） （，） 　
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为.
【解析】【解答】（1）总人数为（人）；B所对应的扇形的圆心角的度数为
【分析】（1）根据条形统计图中C人数除以扇形统计图中C所占的百分比即可求得总人数，再利用B的百分比乘以360°即可求得B所对应的扇形的圆心角的度数；
（2）先求得A的人数，并补全条形统计图即可求解；
（3）先列出表格，得到共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，利用概率公式计算即可求解.
3．某景区为吸引游客，推出系列活动，其中一项活动是赢玩偶游戏
游戏准备：取一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1，2，3，4．每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中．
游戏流程：第一步，参与者掷一次硬币，若该硬币正面向上，则记为数字1；若该硬币反面向上，则记为数字0．第二步，参与者从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字．
获奖规则：若以上两步所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况不能赢得玩偶．
乐乐想知道参加一次游戏就能获得玩偶的概率，请你用列表法或画树状图法中的一种方法，帮他求出这个概率．
【答案】解：列表如下：
　 1 0
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 5 4
由表知，共有8种等可能结果，其中两次所得的数字之和大于3的有3种结果，
所以他获得玩偶的概率为．
【解析】【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出其中两次所得的数字之和大于3的结果，再根据概率公式即可求出答案.
4．请你设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，转盘停止后，指针落在1号区域的概率为 ，落在2号区域的概率为 ，落在3号区域的概率 ．
【答案】解：如图，
【解析】【分析】根据指针落在1号区域的概率为 ，落在2号区域的概率为 ，落在3号区域的概率 ，设计转盘即可。
5．初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°；
（2）求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
（3）类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
【答案】（1）40；144
（2）解：B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），
补全条形图如下：
；
（3）解：列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为＝．
【解析】【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数， 用 乘以C类别人数所占比例即可得；
(2)根据各类别人数之和等于总人数求出B类别人数即可得出答案；
(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可.
6．在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，请用画树状图的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中和为正数的结果有6种，
∴两次摸出的小球上数字之和是正数的概率为

【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小明两次摸出小球上的数字的和为正数的结果数，然后根据概率公式求解.
7．如图，已知长方形ABCD中，如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当E点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，当△DEG和△BFG全等时，求t的值和此时G点对应的速度.
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
有两种情形：①DE=BF，BG=DG=5，
∴2t=8-t，
∴ ，
∴点G的速度= ；
②当DE=BG，DG=BF时，设BG=y，
则有 ，
解得 ，
∴点G的速度= ，
综上所述：t的值为 或2时，点G的速度为 或2.
【解析】【分析】利用矩形的性质可得到AD∥BC，利用平行线的性质可知∠ADB=∠DBC；再利用全等三角形的性质，分情况讨论：①DE=BF，BG=DG=5；②当DE=BG，DG=BF时，设BG=y，利用点的运动速度和方向，分别可得到关于t，y的方程或方程组，解方程组求出t的值即可.
8．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即（8﹣x）2＝x2+42，
∴64﹣16x+x2＝x2+16，
∴x＝3（cm），
即CE＝3cm．
【解析】【分析】 根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE， 得出 ∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2， 代入数值求解即可。
9．如图所示，在矩形ABCD中，，，过点A，C的两条直线相交于点E．若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴在中，，
在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴
．
∴图中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】由矩形的性质可得CD=AB=3，∠D=90°，利用勾股定理求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理可求∠ACE=90°，根据，利用三角形的面积公式即可求解.
10．电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．
【答案】（1）
（2）解：如图：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为．
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，
∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为．
故答案为：
【分析】
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式P=，即可解答；
（2）列表可得出所有等可能的结果数为12；取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果数为2，再利用概率公式P=，即可解答．
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，
∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为．
故答案为：
（2）解：如图：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为．
11．亮亮和爸爸搭乘飞机外出游玩.若航班售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排.如下图所示的是飞机内同一排座位，，，的排列示意图.
窗 过道 窗
（1）亮亮被分配到座位是　 　事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
（2）求亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位不算相邻）.
【答案】（1）随机
（2）解：根据题意，画树状图如图.
共有12种等可能的结果，其中亮亮和爸爸邻座的结果有4种，
亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率为.
【解析】【解答】解：（1）亮亮被分配到座位是随机事件.
故答案为：随机
【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可.
（2）用树状图或列表法把 亮亮和爸爸分配座位的 事件总结果列举出来，再计算出相邻座位的结果，最后利用概率公式计算即可.
12．一个正方形的面积是13，若它的边长的整数部分是a，小数部分是b，求的值．
【答案】解：一个正方形的面积是13，
这个正方形的边长为，
，即，
的整数部分，小数部分，
则．
【解析】【分析】先求出正方形的边长，再估算无理数的大小，即可得到a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
13．已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形的两边和上，与相交于点G，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
在中，由勾股定理得，
又
∴
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先结合题意运用勾股定理求出DF的长，进而运用三角形的面积即可求解。
14．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴BE＝CF＝DG＝AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点．
∵BE=ΠDG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．
∴BO＝OD.
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，再根据三角形全等的判定与性质证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG得到EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2，进而根据菱形的判定与性质得到∠2＋∠3＝90°，即∠HEF＝90°，再根据正方形的判定即可求解；
（2）连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点，根据平行四边形的判定与性质得到BD，EG互相平分，则BO＝OD，再根据正方形的性质即可求解。
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO= BD，又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴BO=AB=3，∴BD=2BO=6．
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可知AO=BO，∠AOB=60°，则△AOB为等边三角形，则BO=AB=3，可得BD=2BO=6。
16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）.将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD=CE=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度.
【答案】解：设OB=OA=x（尺），
∵四边形BECD是矩形，
∴BD=EC=5（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x= .
∴OA的长度为 （尺）.
【解析】【分析】 设OB=OA=x（尺）利用矩形的性质可得BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中 ，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，求出x值即可.
17．如图，四边形的对角线于点，点为四边形外一点，且，平分，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，，．
，，
四边形是平行四边形；
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
作于，如图：
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用已知易证BD∥CF，CD∥BF，可推出四边形DBFC是平行四边形，利用角平分线的定义可证得∠CBF=∠CBD，可推出∠CBD=∠DCB，利用等角对等边可证得CD=BD，由此可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得CF=BD=2，利用等腰三角形的性质可证得AE=CE，利用角平分线的性质可证得CE=CM，易证△CFM是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CM的长，可得到AE的长，即可求出AC的长.
18．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000
发芽的粒数m 471 946 1425 1898 2853 3812
发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953
（1）求表中，的值；
（2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【答案】（1）解：；；
（2）解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
（3）解：若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，
需要准备（粒种子进行发芽培育．
【解析】【分析】（1）根据发芽频率，代入相应值即可求出答案.
（2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率.
（3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树幼苗棵树概率即可求出答案.
（1）解：；；
（2）解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
（3）解：若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，
需要准备（粒种子进行发芽培育．
19．某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组 频数 频率
50≤x＜60 8 0.16
60≤x＜70 12 a
70≤x＜80 ■ 0.5
80≤x＜90 3 0.06
90≤x≤100 b c
合计 ■ 1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
【答案】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名），所以a=12÷50=0.24，
其中0≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名），所以b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，
根据样本估计总体的思想，有：1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P==
【解析】【分析】（1）利根据题意，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数，得到答案；
（3）根据题意，列树形图或列出表格，得到要求的所有情况的种数，以及2名同学来自一组的情况的种数，利用求概率公式计算出概率.
20．2023年11月26日，丽江至香格里拉铁路正式建成通车，现昆明至香格里拉仅需5小时，为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了自动检票口，某车站有四个自动检票口，如图所示，分别记为A、B、C、D．
当小官、小渡两名乘客通过该站检票口时，请回答下列问题：
（1）小官通过A检票口的概率是：______；
（2）用树状图或列表法求小官、小渡两名乘客选择相同检票口通过的概率．
【答案】（1）．
（2）解：由题意可画树状图如下：
由图知，总共有16种等可能结果，其中小官、小渡两名乘客选择相同检票口的情况数有4种，
小官、小渡两名乘客选择相同检票口通过的概率是．
【解析】【解答】(1)解：车站有四个自动检票口，
小官通过A检票口的概率是，
故答案为：．
【分析】本题考查简单事件的概率，利用画树状图法求概率.
（1）根据题意可得：车站有四个自动检票口，利用概率公式进行计算可求出答案．
（2）根据题意画出树状图，据此可得事件的所有情况数，找出小官、小渡两名乘客选择相同检票口情况数，利用概率公式进行计算可求出答案．
21．如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：因为旋转，所以
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴平分
（2）解：作于点G，设与交于点M，
又∵，
∴，
∵平分．
∴，又，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴．
【解析】【分析】(1)根据旋转性质得出，推出，由四边形是矩形可得，得出，从而得到，由角平分线判定定理即可求出答案.
(2) 作于点G，设与交于点M，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理可得MC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：因为旋转，所以
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴平分
（2）作于点G，设与交于点M，
又∵，
∴，
∵平分．
∴，又，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴．
22．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：
每批粒数 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数 65 111 345 560 700
发芽的频率
（1）填空：　 　，　 　；
（2）根据表格中的数据，估计这种油菜籽发芽的概率；（精确到）
（3）如果重新再用1000粒同品种的油菜籽在相同条件下做发芽试验，对比上表记录数据，两表的结果会相同吗？为什么？
【答案】（1）136；0.70
（2）解：这种油菜籽发芽的概率估计值是0.7，因为：在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率；
（3）解：如果重新再用1000粒同品种的油菜籽在相同条件下做发芽试验，对比上表记录数据，两表的结果会不同，但是频率将接近0.7.
【解析】【解答】解：（1）；.
故答案为：136；0.70；
【分析】（1）根据表格中所给数据利用发芽的频率的计算公式求得a、b的值；
（2）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；
（3）频率是每一组数据频数与数据总数的比，故重新再用1000粒同品种的油菜籽在相同条件下做发芽试验，两表的结果会不同，但是频率将接近0.7.
23．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴ ，
∵CD=12，AD=13，
∴AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE= ．
【解析】【分析】
在Rt△ABC中 ，用勾股定理可求得AC的长，再用勾股定理的逆定理可证
△ACD是直角三角形， 然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解。
24．下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
（1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
（2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
（3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率.
【答案】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在0.4上下波动，逐渐稳定在0.4，
∴估计钉尖朝上的概率=0.4
（2）解：指针落在丁区域的概率
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D.
根据题意可列表如下：
甲乙 A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴他们选中同一名著的概率
【解析】【分析】(1)利用频率估计概率，当试验次数足够多时频率会趋近于概率；
(2)根据几何概型，指针落在某区域的概率等于该区域圆心角占周角的比例；
(3)通过列表法列出所有等可能结果再找出符合条件的结果，进而计算概率.
25．小雅家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小雅按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小雅任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
【答案】（1）解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出正好客厅灯和走廊灯同时亮的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
26．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为，.
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗 请你用概率知识解释.
【答案】（1）解：画树状图得：
的可能结果有、、、、、、、及，
取值结果共有9种
（2）解：这样的游戏规则不公平.
将（1）中结果分别代入中得
，7，2，0，8，3，-3，5或0
（甲获胜）（乙获胜），
（甲获胜）（乙获胜），
这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求解；
（2）将（1）中结果分别代入根的判别式中求得相对应的值，从而求出甲获胜的概率与乙获胜的概率，从而求解.
27．如图，在矩形中，，点是线段上一个动点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
．
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得∠A=∠B=90°，由同角的余角相等得出∠DEF=∠ABE，再根据AAS证明；
（2）根据全等三角形的性质的对应边相等，结合，计算即可得出答案．
28．深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为等级的学生数，并补全条形图；
（3）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【答案】（1）解：本次抽样调查抽查的人数为人，
（2）解：C等级人数为50 (10+20+4)=16（人），
补全图形如下：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率。
【解析】【分析】(1)根据条形统计图中A等级的人数和扇形图中A等级所占的百分比可以求得本次抽取的学生数即10÷20%=50(名)；
(2)根据(1)中的结果即为总人数，可以求得C等级的人数，从而将条形统计图补充完整即可；
(3)抽取第一次有4种情况，而第二次只能在剩下的3人中抽取，再画树状图即可，如答案所示.
29．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
30．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘甲、乙，分别被分成4等份、3等份，且每份内均标有数字.小洋和小倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘甲与乙；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指的数字相加(若指针恰好停在分隔线上，则重转一次)；③若和为0，则小洋获胜，否则小倩获胜.
（1）用列表或画树状图的方法求小洋获胜的概率.
（2）你认为这个游戏对双方公平吗 若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则使游戏变得公平.
【答案】（1）解：根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能的结果数，其中和为0的等可能的情况数有3种，
∴小洋获胜的概率为：；
（2）解：不公平，理由如下：
(小倩胜)小倩获胜的可能性大；
修改游戏规则如下：若和大于0，则小洋获胜，否则小倩获胜(答案不唯一).
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，其中和为0的等可能的情况数有3种，从而根据概率公式可算出答案；
（2）不公平，理由如下：分别算出小倩获胜的概率，再与小洋获胜的概率比大小，即可判断得出答案；进而根据使两人获胜的概率相等修改方案即可.
31．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是　 　；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为
【解析】【解答】解：∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，
∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可.
32．如图，在正方形 ABCD 中，AE 平分∠BAC 交 BC 于点E，F 是边 AB 上一点，连结 DF.若 BE=AF，求∠CDF 的度数.
【答案】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠BAC=45°，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=∠BAC=22.5°，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠B=∠DAF=∠ADC=90°，AB=DA，
∵ BE=AF，
∴ △ABE≌△DAF（SAS），
∴ ∠BAE=∠ADF=22.5°，
∴ ∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-22.5°=67.5°.
【解析】【分析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角得∠BAC=45°，根据角平分线的定义得∠BAE=∠BAC，再根据正方形的性质得∠B=∠DAF=∠ADC=90°，AB=DA，依据SAS判定△ABE≌△DAF推出∠BAE=∠ADF，最后根据∠CDF=∠ADC-∠ADF即可求得.
33．新高考“3+1+2”是指：3，语数外三科是必考科目；1，物理、历史两科中任选一科；2，化学、生物、地理、政治四科中任选两科．某同学确定选择“物理”，但他不确定其它两科选什么，于是他做了一个游戏：他拿来四张不透明的卡片，正面分别写着“化学、生物、地理、政治”，再将这四张卡片背面朝上并打乱顺序，然后从这四张卡片中随机抽取两张，请你用画树状图（或列表）的方法，求该同学抽出的两张卡片是“化学、政治”的概率．
【答案】解：用A、B、C、D分别表示化学、生物、地理、政治，画树状图如下，
，
由树状图可知，共有12种等可能发生的情况，其中符合条件的情况有2种，所以该同学抽出的两张卡片是“化学、政治”的概率=．
【解析】【分析】 由树状图列举出共有12种等可能发生的情况，其中符合条件的情况有2种，然后利用概率公式计算即可.
34．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．
【答案】解：∵△BEF是直角三角形，
理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，
∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，
∴BE2+EF2＝BF2，
∴∠BEF＝90°，
即△BEF是直角三角形．
【解析】【分析】利用正方形的性质和勾股定理先分别求出
BE2、
EF2、
BF2的值，然后利用勾股定理得逆定理判定△BEF的形状即可 .
35．为了维护每个学生平等接受教育的权利，我区小学多年来遵照“就近划片入学”原则实行阳光招生，电脑随机分班，分班时对所有学生一视同仁．小红和小兰两个女孩是邻居，今年夏天被划分到城区的同一所小学，这所学校一年级有1班、2班、3班、4班共四个班．下面是分班前两个女孩家长的一段对话：
小红妈妈说：“真希望她俩能分到同一个班．”
小兰妈妈说：“她俩可能分到同一个班，也可能分不到同一个班，所以她俩分到同一个班的可能性是50%．”
请你用所学的知识分析小兰妈妈的说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误请用列表或画树状图的方法求出小红和小兰分到同一个班的概率．
【答案】解：小兰的妈妈的说法错误．
列表如下：
小红 1班 2班 3班 4班
小兰
1班 （1班，1班） （1班，2班） （1班，3班） （1班，4班）
2班 （2班，1班） （2班，2班） （2班，3班） （2班，4班）
3班 （3班，1班） （3班，2班） （3班，3班） （3班，4班）
4班 （4班，1班） （4班，2班） （4班，3班） （4班，4班）
或画树状图（略）：
由列表（或画树状图）可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中小红和小兰分到同一个班的结果有4种，
所以， ．
【解析】【分析】根据题意列表或画树状图，再根据列表或树状图进行求解即可。
36．[例3]有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片，上的数字是奇数的概率为　 　
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字和等于6的结果有3种，
∴两次抽取的卡片，上的数字和等于6的概率为
【解析】【解答】解：（1）∵共有4种等可能的情况数，其中数字是奇数的情况数有2种，
∴P（奇数）==，
故答案为：.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
37．有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，请用树状图法或列表法求一次就能打开锁的概率．
【答案】解：列表如下．
钥匙锁 a b c d
A (A，a) (A，b) (A，c） (A，d)
B (B，a (B，b） (B，c） (B，d)
由上表可知，共有8种等可能的结果，一次就能打开锁的结果有2种．
所以一次就能打开锁的概率是．
【解析】【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
38．孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：“如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大？”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答。小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大。你认为他们俩的回答正确吗？请用列表或画树状图等方法加以说明。
（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体。）
【答案】解：列表如下
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
（1，4） （2.4） （3，4） （4，4） （5.4） （6，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2 （5，2） （6，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4.1） （5，1） （6，1）
共有36种等可能的结果数，其中点数之和等于6占5种，点数之和等于7的占6种，
∴点数之和为6的概率为 ，点数之和为7的概率为
故小超的回答正确
【解析】【分析】根据题意列表，再根据表中的数据可求出所有等可能的结果数及点数之和等于6和点数之和等于7的情况数，然后分别求出点数之和等于6和点数之和等于7的概率，由此可作出判断。
39．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC
四边形OCED是平行四边形，
又四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∴∠COD=90°
四边形OCED是矩形.
（2）解： 四边形ABCD是菱形 ，
∴AB=BC=CD=4
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
，
∴在Rt△OCD中，，
∵四边形OCED是矩形 ，
∴CE=OD=.
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟知矩形的判定方法及菱形的性质是解题的关键．（1）根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知：四边形OCED是平行四边形；再由菱形的性质：对角线互相垂直可得：AC⊥BD，即∠COD=90°，最后根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形可得：四边形OCED为矩形，即可证得结论；
（2）根据菱形的性质：四条边相等可知：AB=BC=CD=4，再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得：△ABC是等边三角形；从而得到AC=4， 再由菱形的性质：对角线互相垂直平分可得：，再根据勾股定理：在Rt△OCD中，，最后根据矩形的性质：对边相等可知：CE=OD=，由此即可得到答案．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
在矩形中，．
40．甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍．
（1）求乙盒中蓝球的个数．
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，利用列表或画树状图法求这两球均为蓝球的概率．
【答案】（1）解：∵从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率为，
∴从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率为．
设乙盒中蓝球的个数为个，则，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：乙盒中蓝球的个数为3个．
（2）解：从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，这两球均为蓝球的概率为．
【解析】【解答】解：（2）列表法可得：
乙
甲 白 黄1 黄2 蓝1 蓝2 蓝3
白1 白1，白 白1，黄1 白1，黄2 白1，蓝1 白1，蓝2 白1，蓝3
白2 白2，白 白2，黄1 白2，黄2 白2，蓝1 白2，蓝2 白2，蓝3
黄 黄，白 黄，黄1 黄，黄2 黄，蓝1 黄，蓝2 黄，蓝3
蓝 蓝，白 蓝，黄1 蓝，黄2 蓝，蓝1 蓝，蓝2 蓝，蓝3
∴共有24种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有3种，
∴P（ 两球均为蓝球 ）=，
故答案为：.
【分析】（1）设乙盒中蓝球的个数为个，再根据“从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率为”列出方程，再求出即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
41．如图，的对角线相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：四边形为矩形，理由如下：
如图，由（1）知，，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ，， 根据已知条件得出，进而根据SAS即可得证；
（2）由（1）可得 四边形为平行四边形， 根据对角线相等，即可得证四边形为矩形.
42．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，平分，则　 　，　 　．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，即，
，，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形是矩形．
（2）6；9
【解析】【解答】解：（2）∵平行四边形是矩形，
∴∠AEB=∠FCB=90°，
∵，
∴∠BAE=180°-∠AEB-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=6，
∴BE=AB=3，
∵AD//BC，平分，
∴∠CBF=∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
∵矩形AECF，
∴EC=AF=6，
∴BC=BE+EC=3+6=9，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC=9，
故答案为：6；9.
【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可得到平行四边形是矩形；
（2）先利用三角形的内角和求出∠BAE=180°-∠AEB-∠ABC=180°-90°-60°=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BE=AB=3，再利用角平分线的定义及平行线的性质可得∠CBF=∠ABF=∠AFB，再利用等角对等边的性质可得AF=AB=6，再利用线段的和差求出BC=BE+EC=3+6=9，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC=9，从而得解.
43．如图，在中，，．点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P，Q同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，过点P作于点N，连接，以为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①的长为 ；
②的长用含t的代数式表示为 ．
（2）用代数式表示S．
【答案】（1）①8；②t
（2）解：如图，当为矩形时，，
由题意可知，，
∵，
∴，，
∵为矩形，
∴，
∴，
∴，
即当为矩形时．与重叠部分图形有两种情况，
①当时，在三角形内部．
延长QM交AB于G点，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∴与重叠部分图形的面积为；
②当时，与重叠部分图形为梯形，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∴与重叠部分图形的面积为 ；
综上，．
【解析】【解答】
(1)解：①∵，，
∴，；
②由题意得：，
∵PN⊥AB，∠A=45°，
∴∠APN=45°
∴∠A=∠APN
∴；
故答案为：①8；②t；
【分析】
(1)①根据勾股定理可求出的长，即在Rt△ABC中，，即可得出的答案；②根据点P的运动情况可知：，根据垂直定义可知：∠ANP=90°，结合∠A=45°，由三角形内角和定理可知：∠APN=45°，即可得：∠A=∠APN，由等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：AN=PN，最后根据勾股定理可得出PN的长，由此可得出答案；
（2） 先确定点的运动情况和图形重叠的临界条件，再分阶段讨论重叠部分形状，结合相应图形面积公式计算，当0＜t＜2时，完全在△ABC的内部，重叠部分就是，然后计算线段长度，利用平行四边形、三角形的性质及面积公式求解即可；当2≤t＜4时，此时点M落在△ABC的外部，重叠部分为梯形PQGN，再计算线段长度，利用平行四边形、三角形的性质及面积公式求解即可得出答案．
（1）解：①∵，，
∴，；
②由题意，得：，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）如图，当为矩形时，，
由题意可知，，
∵，
∴，，
∵为矩形，
∴，
∴，
∴，
即当为矩形时．与重叠部分图形有两种情况，
①当时，在三角形内部．
延长交于G点，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∴与重叠部分图形的面积为；
②当时，与重叠部分图形为梯形，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∴与重叠部分图形的面积为 ；
综上，．
44．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
【答案】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
图3结论：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ = ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ = = ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
【解析】【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；
图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB= OA，OD= OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′= AC′，于是得到结论．
45．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当　 　 时，四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，，
点是中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形
（2）3
【解析】【解答】解：ABCD是菱形，
AD=AB=BC=CD=6
又
AD=AB=BD=6
三角形ABD和三角形BDC是等边三角形
四边形DECF是矩形，
E是底边BC上的中点(等腰三角形三线合一)
故填：3
【分析】（1）根据菱形的性质得到一组边平行，再由平行得到两组角相等，结合已知的一组相等的边，可证得三角形全等，进而证得对应边相等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理可证得；
（2）在（1）的结论下，四边形DECF是平行四边形，如果DEBC，则平行四边形是矩形；故在这垂直的条件下，由菱形和60°角可以找到等边三角形，进一步根据三线合一定理得到BE的长。
46． 如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）∵四边形和四边形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）延长到M，使得，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质准备条件，根据AAS证明，根据全等三角形的性质求证即可；
（2）延长EB到M，使得BM=DN，连接AM，先根据SAS证明，再根据SAS证明，根据全等三角形的性质即可求证．
47．如图，在中，，过点的直线，为上一点，过点作，交直线于点，垂足为，连接，．
（1）求证：；
（2）当点是的中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）请直接写出在的条件下，当　 　时，四边形是正方形．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）45
【解析】【解答】解：（3）若为中点，当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴CD=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形；
故答案为：45°.
【分析】（1）由垂直的定义可得=90°，可得AC∥DE，由CE∥AD，根据两组对边分别平行可证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论；
（2） 四边形是菱形，理由：先证四边形是平行四边形， 由直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD，根据菱形的判定即证结论；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，根据正方形的判定定理证明即可.
48．如图，在 ABCD中，AB=6 cm，BC=10 cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线相交于点 F，连结 CE，DF.
（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形.
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF 是菱形，请说明理由.
②当 AE= cm时，四边形 CEDF 是矩形，请说明理由.
【答案】（1）证明：在 ABCD中 ，BC∥AD，
∴∠FCG=∠EDG，
∵ G是CD的中点 ，
∴CG=DG，
∵∠CGF=∠DGE，
∴△CGF≌△DGE（AAS），
∴GE=GF，
∴ 四边形CEDF 是平行四边形.
（2）解：① 当AE=4 cm时，四边形CEDF 是菱形，
理由：在 ABCD中， CD=AB=6 cm，AD=BC=10 cm ， ∠ADC=∠B=60° ，
∴DE=AD-AE=10-4=6cm，
∴DE=CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=ED，
由（1）知：四边形CEDF 是平行四边形.
∴ 四边形CEDF 是菱形 .
故答案为：4.
②当 AE=7cm时，四边形 CEDF 是矩形，
理由：过点A作AH⊥BC，
∵ ∠B=60° ， AB=6 cm ，
∴BH=AB=3cm，
∴DE=AD-AE=10-7=3cm，即BH=DE，
∴△HBA≌△EDC（SAS）
∴ ∠DEC=∠BHA=90° ，
由（1）知：四边形CEDF 是平行四边形.
∴ 四边形CEDF 是矩形 .
故答案为：7.
【解析】【分析】（1）证△CGF≌△DGE（AAS），可得GE=GF，结合CG=DG，根据平行四边形的判定即证结论；
（2）①证明△CDE为等边三角形，可得CE=ED，根据菱形的判定定理即证；
②过点A作AH⊥BC，证明△HBA≌△EDC（SAS），可得∠DEC=∠BHA=90° ，根据矩形的判定定理即证.
49．如图①，已知AD//BC，AB//DC，∠B.
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图②，M为AD的中点，为AB的中点，.若，求BC的长.
【答案】（1）证明：，
四边形ABCD是平行四边形，
.
，
，
是矩形；
（2）解：延长BA、CM交于点E，
∵四边形ABCD为矩形 ，
∴AB∥CD，
∴∠EAM=∠CDM，∠E=∠DCM
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，
∵N为AB的中点，
∴AB=2BN=4，
∴EN=AE+AN=6，
∵=∠E+∠NCE=∠DCM+∠NCE，
∴∠E=∠NCM，
∴CN=EN=6，
在△CBN中，由勾股定理得
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形，再由平行线的性质及∠B，可得∠B=90°，根据有一个角为90°的平行四边形是矩形即可证明结论；
（2）延长BA、CM交于点E，结合矩形的性质，根据AAS证明△AEM≌△DCM，得AE=CD，从而推出EN=6，再根据三角形外角性质及∠BNC=2∠DCM可推出∠E=∠NCM，由等角对等边得出CN=EN=6，在△CBN中，由勾股定理得，即可得解.
50．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F．
（1）求证：点F为AC中点；
（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵ 四边形BCED为平行四边形，
∴DE∥BC。
又∵ D为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线。
∴点F是AC中点。
（2）解：解：四边形ADCE是菱形。
理由：由（1）可知DF=BC，DF∥BC，
又∵ 四边形BCED为平行四边形，∠ACB=90°，
∴DE=BC，DE⊥AC。
∴DF=DE=EF。
由（1）知AF=CF，
∴四边形ADCE是平行四边形。
又 ∵DE⊥AC，
∴平行四边形ADCE是菱形。
（3）解：当△ABC满足AC=BC时，四边形ADCE是正方形。
证明：∵AB=AC，D为AB中点，
∴CD⊥AB。
∴ 由（2）得菱形ADCE是正方形。
【解析】【分析】（1）根据中点和平行易得DF是△ABC的中位线，据此即可证明；
（2）由（1）的证明可知F也是DE的中点，故四边形ADCE是平行四边形，又由（1）可知AC⊥DE，据此根据菱形的判定即可；
（3）由（2）的判定可知，当∠ADC是直角时四边形ADCE就是正方形，据此即可添加条件。
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