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北师大版 数学 八年级 上册
第六章 数据的分析
2 中位数与箱线图
第2课时 四分位数与箱线图
情境导入
某班级数学考试成绩：
50, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95······
问题引导：
提问1：如何描述这组数据的分布情况？
提问2：除了平均数和中位数，还有哪些统计量可以帮助我们分析数据？
新课导入
我们上节课知道中位数也称为第 50 百分位数或 50% 分位数，记为m50.
仅有中位数，能完整地反映数据的分布情况吗？
仅有中位数，不能完整地反映数据的分布. 还要找出其他 p% 分位数（记为mp），制作百分位数值表来反映数据的分布情况.
新知探索
在百分位数中，25% 分位数、50% 分位数、75% 分位数是三个常用的百分位数.
实际上，把一组数据从小到大排列，m50 把这组数据分成前、后两部分，m25 是前半部分数据的中位数，m75 是后半部分数据的中位数.
探究一：四分位数
m25，m50，m75 就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。
四分位数
25%分位数
50%分位数
75%分位数
记为m25，称为下四分位数
记为m50，称为中位数
记为m75，称为上四分位数
前半部分数据的中位数
后半部分数据的中位数
典例精析
例 某市12月16—31日每日的最高气温(单位：℃)依次如下：
5, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, - 2, - 2, - 5, - 1, - 1, - 1。求这组数据的四分位数m25, m50, m75。
1. 有一组数据：3, 5, 7, 9, 11, 13, 15，求这组数据的下四分位数（Q1）、中位数（Q2）和上四分位数（Q3）
随堂练习
2.在一次体育测试中，10 名学生的跳远成绩（单位：米）分别为：4.5, 4.8, 5.0, 5.2, 5.5, 5.8, 6.0, 6.2, 6.5, 6.8。请根据这些数据，确定成绩处于下四分位数以下的学生人数。
Q1=5
Q2=9
Q3=13
2人
求 n 个数据的四分位数的方法：
（1）先将这组数据从小到大排列；
（2）计算中位数即 50% 分位数m50：
①当n为偶数时，m50为第 个数和第( +1)个数的平均数；②当n为奇数时，m50为第 个数.
n + 1
2
n
2
n
2
归纳总结
求 n 个数据的四分位数的方法：
（3）计算下四分位数m25、上四分位数m75：①当n为偶数时，中位数将这组数据分为数量相等的两组数据，每组有 个数，m25为前 个数据的中位数，m75为后 个数据的中位数；②当n为奇数时，中位数将这组数据分为数量相等的两组数据，每组有 个数，m25为前 个数据的中位数，m75为后 个数据的中位数.
归纳总结
n
2
n
2
n
2
n-1
2
n-1
2
n-1
2
n 个数据的四分位数其他计算方法：
（1）先将这组数据从小到大排列；
（2）计算 i=n×p%（p=25，50，75 分别对应下四分位数、中位数、上四分位数）：
①若 i 是整数，第 i 个数和第(i+1)个数的平均数为 p% 分位数；②若 i 不是整数，设 i0 为大于 i 的最小整数，第 i0 个数为 p%分位数.
知识拓展
1. 某校 18 个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得 8 个班的比赛得分如下：91,90,94,87,93,96,91, 85,则这组数据的 75% 分位数为________.
93.5
对应训练
解析：把这组数据按从小到大排列：
85，87，90，91，91，93，94，96
2. 已知 20 名同学的身高（单位：cm）分别为：
165，154，162，144，158，155，148，163，157，171，165，161，161，165，162，165，170，178，173，181.
求这组数据的四分位数 m25，m50，m75.
尝试·思考
（1）求全班学生 1 min 跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值.
老师记录了全班40名学生1 min 跳绳的次数：
132 136 144 162 144 115 132 136 123 144
136 136 132 159 136 144 129 136 139 153
123 133 144 137 152 138 136 129 129 134
138 149 125 128 128 133 138 134 148
探究二：箱线图
解：把这 40 个数据从小到大排列：
115 123 123 125 128 128 129 129 129 132 132 132 132 133 133 134 134 136 136 136
136 136 136 137 138 138 138 139 144 144
144 144 144 146 148 149 152 153 159 162
最小值为115，最大值为162.
尝试·思考
（2）老师绘制了如下图所示的统计图。你能读懂这个统计图吗？图中出现了 5 条横线，分别对应 5 个数据，它们是怎样的数据？你认为这个统计图是如何画出的？
最大值
最小值
中位数(m50)
上四分位数(m75)
下四分位数(m25)
尝试·思考
（3）根据下图，中间的“箱子”被 136 分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？
估计一下，全班学生 1 min 跳绳次数的平均数和中位数哪个大？
数据集中分布在132~136之间.
平均数比中位数大
尝试·思考
（3）根据下图，中间的“箱子”被 136 分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？
“下半截箱子” 比较短，说明下四分位数与中位数之间的距离相对较小。即班级中有 25% 的数据集中在相对较小的范围内，且靠近中位数 136。这意味着跳绳次数在 132（下四分位数）到 136（中位数）之间的学生人数相对较少。
在全班学生1分钟跳绳次数的数据中，存在159、162等较大的极端值，这些较大的值会对平均数产生向上的拉动作用，而中位数不受这些极端值的影响。所以可以估计全班学生1分钟跳绳次数的平均数大于中位数。
(4)请你估计一下，全班学生1min跳绳次数的平均数和中位数哪个大
这种统计图叫作箱线图. 以上是它的两种常见形式.
知识要点
观察·思考
为了反映全班学生 1 min 跳绳次数的整体情况，小颖和小亮分别画出了下面两幅图.
（1）在左图的频数直方图中，数据的分布有什么特点？右图的箱线图是否也反映了数据的这种特征？
（2）从箱线图中你能获得哪些信息？
思考·交流
（1）下图是同一班级学生两次 1 min 跳绳成绩的箱线图.该班学生第二次跳绳成绩有什么变化？你是如何得出结论的？
（2）你认为箱线图在表示数据方面有什么特点？与同伴进行交流.
1.第一次跳绳成绩的中位数是 136，第二次跳绳成绩的中位数是 153，中位数增大，说明第二次跳绳成绩的中间水平比第一次高。
2.第一次跳绳成绩的四分位距（上四分位数 144 减去下四分位数 132 ）为 12；第二次跳绳成绩的四分位距（上四分位数 160 减去下四分位数 146 ）为 14，且第二次跳绳成绩的最大值 181 与最小值 130 的差值也比第一次（最大值 162 与最小值 115 的差值 ）大，说明第二次跳绳成绩的数据分布更分散。
3.从箱线图看，第二次跳绳成绩的上半部分（大于中位数部分）相对第一次更长，说明第二次跳绳成绩在高分段的人数比第一次多。
变 化 如 下
1.能直观展示数据分布特征：通过箱线图的箱子，可以直观地看出数据的集中趋势（中位数）、离散程度（四分位距和全距）以及数据的偏态性（箱子上下部分的长短）。
2.能识别异常值：箱线图能清晰地标记出异常值，超出须的范围的点即为异常值，便于分析数据中是否存在特殊情况。
3.数据信息简洁明了：相比于大量原始数据，箱线图用几个关键数值（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值 ）就能概括数据的主要特征，便于不同数据集之间的比较。
(2)你认为箱线图在表示数据方面有什么特点 与同伴进行交流。
归纳总结
1. 箱线图：箱线图是一种用来反映一组数据的整体分布情况的统计图，特别适用于多组数据的分布情况的比较，其中包含了最小值、最大值和四分位数信息。
2. 箱线图的两种常见形式：
（1）画数轴：画一条数轴，度量单位大小和数据的单位一致，起点比最小值稍小，终点比最大值稍大.
（2）画箱体：画一个长方形盒，两端边的位置分别对应数据的上、下四分位数. 在长方形盒内部的中位数位置画一条线段，表示中位数.
（3）画须线：从长方形盒两端边向外各画一条须线延伸至数据的最大值和最小值，分别在最大值和最小值处画一条线段.
3. 画箱线图的一般步骤：
（1）直观展示数据分布：箱体的长度直观呈现数据的离散程度，箱体短说明数据集中在中位数附近，离散程度小；箱体长说明数据较为分散. 观察中位数在箱体中的位置及须的长度可以判断数据分布的对称性. 若中位数大致在箱体正中间且上下须长度相近，说明数据分布较为对称；若中位数偏向箱体某一端，或某一侧须较长，说明数据分布不对称。
4. 箱线图的特点：
（2）便于多组数据比较：在同一图表中绘制多个箱线图时，可以很方便地比较不同组数据的分布特征，包括中位数的差异（反映中心位置的不同）、四分位数间距的大小（体现数据的离散程度），从而快速发现组间的差异和规律.
4. 箱线图的特点：
随堂练习
8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7.
【选自教材P166 随堂练习 第1题】
1. 求下列数据的四分位数：
随堂练习
2. 在某场女排决赛中，A 队战胜 B 队获得冠军. 下图反映了两队队员拦网高度情况，请比较两队拦网高度情况.
解：A 队最大值、最小值和四分位数全部大于 B 队相应值，所以 A 队拦网高度更高.
【选自教材P166 随堂练习 第1题】
箱线图
四分位数
箱线图的定义
箱线图的应用
箱线图图的特征
（m25、 m50、 m75 ）
课堂小结
下 课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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