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2025-2026学年广东省东莞市四校高二上学期第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，，则向量的坐标是( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.过点，，的圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
5.若直线与直线平行，则( )
A. B. 或 C. D. 或
6.经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
7.如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10.已知表示圆，则下列结论正确的是( )
A. 圆心坐标为 B. 当时，半径
C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为
11.如图，已知正方体的棱长为，分别为的中点，而是线段可与端点重合上的动点，以下说法正确的是( )
A. 平面
B. 当是的中点时，平面
C. 当是的中点时，点到平面的距离为
D. 当点与点重合时，直线与平面所成角最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.已知直线的一个方向向量为且过点，则直线的一般式方程为 ．
14.已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若，求；
求．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，．
若，求过点且与直线平行的直线方程；
求证：直线经过一个定点，并写出原点到直线距离最大时直线的方程．
17.本小题分
已知圆经过点，，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，，设，，．

用基底表示向量，并求；
求异面直线与所成的夹角；
证明：平面．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足．
证明：；
若，求的值；
若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为向量，，且，
所以，解得，．
由向量，，
得．

16.当时，直线的方程为，斜率为，
则过点且与直线平行的直线方程为，
即；
由，
可得：，
由，可得，
即直线经过一个定点；
由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，
因为，所以，
所以直线的方程为，
即．

17.因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，，
所以圆心坐标为，所以圆的半径，
则圆的方程为：；
设，，，
则有，，．
由，可得，解之得
由点在圆上，得，所以，
即，
故点的轨迹方程为．

18.，
因为，，
所以，
所以
．
因为，
所以
，
所以，所以异面直线与所成的夹角为．
因为，
所以
，
所以，所以直线，
由可知，，又，平面，
所以平面．

19.证明：平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，．
由可知，又，，平面，
平面，平面，，
由可知，在中，，．
则与相似，则，
在中，，，，
，．
以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，
不妨设，，，，，
即，由知，
于是，，，，
设，则，，
由可得，
，，，，
设平面的一个法向量为，
于是，所以
令，得，，故可取，
因，
，结合化简得，
设，，
要存在，使与平面所成角为，在上有零点．
结合知函数图象的对称轴，故，
又，
只需满足，解得，
的取值范围．

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