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2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市高二上学期10月质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.过点，，的圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
3.过点，的直线的倾斜角为，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D.
4.已知点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D.
5.若直线：与圆：相交，则点( )
A. 与圆的位置关系不确定 B. 在圆内
C. 在圆上 D. 在圆外
6.四棱柱中，底面为平行四边形，为的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
7.在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若为锐角，则
D. 若在上的投影向量为，则
8.瑞士数学家欧拉年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点，，，则的欧拉线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知表示圆，则下列结论正确的是( )
A. 圆心坐标为 B. 圆心坐标为
C. 半径 D. 半径
10.以下四个命题中正确的是( )
A. 若为空间的一组基底，则构成空间的另一组基底
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则平面
C. 已知，，则在上的投影向量为
D. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
11.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A.
B. 与夹角是
C.
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为 ．
13.直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为 ．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．
求圆的方程；
若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，．
求证：直线平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知直线：与直线：，．
若，求的值；
当时，过点的直线被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，且，求：
直线与直线所成角的余弦值；
直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线：上，且经过点，．
当时，
(ⅰ)求圆的方程；
(ⅱ)若点圆，求的最小值；
若直线上存在点使得，求实数取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.因为圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点，
所以设圆心坐标为，那么，解得，
所以圆心，半径，
因此圆的方程为．
设直线的斜率为存在，
那么方程为，又圆的圆心为，弦长为，半径，
因此弦心距，
故，解得，
所以直线为，
故的方程为或．
16.
证明：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，则，
取，
所以，
所以，
又直线平面，
所以直线平面；
因为平面，
所以平面的法向量可以为，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.
因为直线：与直线：且，
所以，且，
解得；
当时直线：，直线：，
由，解得，即与的交点为；
又，解得，即与的交点为；
可得与的中点为，
可得点在直线上，
又直线过点，
所以直线的方程为．
18.
如图，作交的延长线于点，
因为平面平面，平面平面，
又，平面，
所以平面，
因为，所以，
又，所以≌，
所以，即，
所以以建系如图：
设，
则，，，，，
所以，，
所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为：
，；
由可知，，，
设平面的法向量为，
则，所以，取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
在棱上存在一点，使得平面平面，理由如下：
设，因为在棱上存在一点，所以，
所以，又，
所以，
所以，，，
所以，
又，，
设平面的法向量为，
则，即，取，
因为平面平面，平面的法向量为，
所以，
所以，
所以，又，所以成立，所以假设成立，
所以在棱上存在一点，使得平面平面．
19.解：当时，直线：化为：；
(ⅰ)圆的圆心在直线：上，可设圆心坐标为，半径为，
圆的方程为，
圆经过，两点，
，解得，
圆的方程为．
(ⅱ)由(ⅰ)可知圆心，半径，又，
；
设点，直线上存在点使得，
，即，
整理得，
点轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线上存在点使得，
直线与圆有公共点，
，解得，
即实数取值范围为．
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