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2025-2026学年沈阳市沈文新高考研究联盟高二上学期10月质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，假命题是( )
A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B. 是向量的必要不充分条件
C. 只有零向量的模等于
D. 共线的单位向量都相等
2.在四面体中，，，，且，，则等于( )
A. B.
C. D.
3.已知向量与共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知空间三点，，共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则与相交
6.如图，边长为的正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，且点和点到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，定义：，其中，若，且，则下列结论错误的是( )
A. 若关于轴对称，则
B. 若关于直线对称，则
C. 若，则
D. 若，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知点，，且点在直线：上，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 存在点，使得 D. 存在点，使得
11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“”对应着数学曲线中的双纽线在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的最大值是
C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离 ．
13.设点和，在直线：上找一点，使的取值最小，则这个最小值为 ．
14.是等腰直角三角形，，，点满足，点是所在直线上一点，若，则 ______；向量在向量上的投影向量记为，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：．
求证：直线恒过定点；
已知两点，过点的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围．
16.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若的面积为，求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，点为中点，是上一点，底面，面．
Ⅰ求证：点为中点；
Ⅱ当取何值时，在平面内的射影恰好是的中点．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，．
求证：；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中；为坐标原点．
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
若点，，求的最大值；
已知点，是直线：上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：证明：由，可得，
令，得，
直线恒过定点；
，，，
，，
又过点的直线与线段有公共点，
直线的倾斜角的取值范围为
16. 解：Ⅰ证明：连接，交于点，连接，
因为，分别是，的中点，
所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
Ⅱ设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为，
因为直三棱柱的体积，
因为是的中点，
所以的面积为，
所以三棱锥的体积，
因为的面积为，
所以由，
得，
解得．
所以到平面的距离为．
Ⅰ根据是的中位线，得出，即可得证；
Ⅱ利用等体积转换法求解即可．
本题考查线面平行的判定，以及等体积法的应用，属于中档题．
17.解：Ⅰ证明：由平面，得，
又，则，
又为中点，所以点为的中点，
Ⅱ如图，
过作于点，
由，，，
平面，
又为的中点，为等腰三角形，
，
不妨设，则，，，
在中，，
代入解得．
18.解：证明：取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
所以，，
所以，所以，
则，所以，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以；
在中，由余弦定理得，
，所以，
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则有
令，则，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：，
，
；
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、，
即点在正方形的边上运动，
因为，，
可知：当取到最小值时，即最大，相应的有最大值，
因此，点有如下两种可能：
点为点，则，
，
点在线段上运动时，
此时与同向，取，
则，
因为，
所以的最大值为；
易知，
设，
则，
当时，，
则，，满足题意，
此时直线的方程：，
当时，
，
由分段函数性质可知，
又，
且恒成立，
当且仅当时等号成立，
此时直线的方程：，
综上，满足条件的直线有且只有两条，
直线的方程分别为和．
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