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安徽省部分学校2026届高三上学期10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的实部为( )
A. B. C. D.
2.设全集，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. B. C. D. 或
5.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心是
A. B. C. D.
6.是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为坐标原点，直线与圆相交于、两点，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在直三棱柱中，为的中点，则( )
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 三棱柱的外接球的表面积为
10.已知抛物线的焦点为是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点，，作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，，，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是( )
A. B. 以为直径的圆与轴相切
C. 为等腰三角形 D.
11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若且时，
C. 若，则函数在上严格单调递增
D. 若，则方程在上有且仅有一个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，向量在方向上的投影向量为，则 ．
13.记为等比数列的前项和．若成等差数列，则的公比为 ．
14.抽屉里有个球，分别标有数字，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球．记为两次取出的不同小球的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究某新型病毒与快速检测试剂结果的关系，研究人员随机调查了名接受过该试剂检测的人群，得到如下列联表：
快速检测结果组别 阳性 阴性 合计
感染该病毒
未感染该病毒
合计
记快速检测结果为阳性者感染该病毒的概率为，求的估计值；
根据小概率值的独立性检验，分析快速检测结果是否与感染该病毒有关．
附：，其中．
16.本小题分
已知在数列中，．
证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
设，求的前项和．
17.本小题分
如图，正方体的棱长为，点为棱的中点．
求证：平面平面；
如图，连接．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数
求曲线在点处的切线方程
求函数在上的最大值和最小值
设，证明：对任意的，有．
19.本小题分
已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为．
求椭圆方程的标准方程；
证明；
求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】由题意可得快速检测结果为阳性者共人，其中为阳性者感染该病毒的人数为人，
所以．
有关，理由如下：
由表中的数据可知，
则，
又小概率时，，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，快速检测结果与感染该病毒有关．

16.【详解】由，则，
故，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即；
，
则，
则，
故
，
故．

17.【详解】在正方体中，平面，平面，
故，又四边形为正方形，故，
平面，故平面，
而平面，故平面平面．
以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则
即，令，则，则．
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
，则点到平面的距离为．

18.解：Ⅰ，则，
又，
则所求切线方程为，即；
Ⅱ令，则，
所以函数在上单调递增，
又，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值；
Ⅲ证明：设，则，
所以函数在上单调递减，
又，则，即，则，即得证．
19.【详解】由已知得，解得
因此椭圆的方程为；；
由，整理得，
设，则，，
因为，
，
所以；
设为点到直线的距离，故，
又因为，
，
所以，
设，则，由于
所以，当，即时，等号成立．
因此，的最大值为．

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