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九师联盟2026届高三10月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.函数图象的对称中心的坐标为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则“”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
7.已知，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为奇函数若函数的图象与的图象的公共点为，，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. D. 的最大值为
11.已知函数，若，，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则的取值范围为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数 ．
13.如图，在正方形中，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
14.已知数列的通项公式为，在项和之间插入个，形成一个新数列，若的前项的和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且C.
求角的大小
若，求的周长的最大值．
16.本小题分
在数列中，，．
证明：是等比数列
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在扇形中，，，，分别是，的中点，点为弧上一点，过作与平行的直线交弧于另一点，为线段的中点设．
当为何值时，四边形为矩形
记四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值．
18.本小题分
如图，函数的图象经过点和将图象上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，然后把各点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变，最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
求函数的解析式及其单调递增区间
求函数在上的值域
若函数在区间内恰有个零点，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若有两个零点，
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，以及正弦定理可得：
根据余弦定理，
则
化简得，
因为，故．
又因为，所以．
由余弦定理得，，
则
即．
所以
根据基本不等式当且仅当时取等号，将其代入上式：
因此：
两边同乘得，即当且仅当时取等号．
故周长的最大值为．
16.证明：由及，得，
所以两边同除以，得，
所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列．
解：由得，即．
由题意得，
所以
．
17.解：由题意，得，，，
因为为的中点，所以，又，所以，
在直角中，，，
所以．
设与交于点，在直角中，．
要使四边形为矩形，必有，即，所以．
此时因为，且，所以四边形为平行四边形，
因为，分别为，的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，
又，所以平行四边形为矩形，所以，
所以四边形为矩形．
故当时，四边形为矩形．
由，四边形的面积．
令，则，
由题意，知，所以，所以，
由，得，即，
所以，这里，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，其最大值为．
18.解：由题意，知的最小正周期，所以，
又，得，解得，
结合，得，所以
由题意，得，
令，得，
所以的单调递增区间为
由得
，
由，得，所以，
所以函数在上的值域为，即所求函数的值域为．
，令，即，
所以，或，
所以，或，
所以相邻零点间的距离为或，
要使在区间内恰有个零点，且使得最小，则，必是的零点，
其最小值为．
19.解：的定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增
当时，令，得令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增
解法一：由知，且，
要使有两个零点，必有，所以．
这时，又，，
所以在上有一个零点，
即在上仅有一个零点，
又，令，
则，所以在上单调递减，
所以，，
又，所以，
又，，所以在上仅有一个零点，
即在上仅有一个零点，
所以在上有两个零点，
所以的取值范围为
法二：由，得
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以是的极大值点，且．
又，当时，所以，
故的取值范围为
证明：由知，，
所以，
所以，，
所以，令，则，
所以，
所以．
要证，只需证，
只需证，
即证，
只需证．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，
又，所以，即，
所以．
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