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四川省乐山市第一中学校2026届高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次，且没有出现并列的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好”从这两个回答分析，人的名次排列情况的种数为( )
A. B. C. D.
6.求的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数其中，，的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组数据的第百分位数为
B. 若随机变量服从正态分布，且，则
C. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强
D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
10.已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，且有两解，则的取值范围是
D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为
11.已知定义在上的函数，满足，，且，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数
C. 在上单调递增 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项等比数列的前项和为，公比为，则 ．
13.某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间小时满足函数关系式其中为非零常数，若经过小时该药物的分解率为，经过小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过 小时参考数据：
14.已知函数，函数若有四个不同的零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的对称轴；
将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
16.本小题分
已知数列，为的前项和，，，．
证明：是等比数列；
设，求数列的前项和为．
17.本小题分
如图甲所示，四边形为正方形，，为的中点将沿直线翻折使得平面，如图乙所示．
求证：平面平面；
求平面与平面所成二面角的余弦值．
18.本小题分
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励元；共两只球都是绿色，则奖励元；若两只球颜色不同，则不奖励．
求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率；
记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
当时，，求的取值范围；
若，证明：．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】因为
当时，即对称轴为．
由得，
将的图象向右平移个单位得，
由，得，
即函数的单调增区间为．

16.【详解】当时，，
当时，由，可得，
两式相减可得，，
即有，
即为数列为第二项起为等比数列，
又
数列为以为首项，等比数列为的等比数列．
由得，，可得，
则，，
即有前项和为，
，，
两式相减可得，，
化简可得．

17.【详解】证明：因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
取的中点为，的中点为，为等边三角形，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，
则，，
设平面的法向量为，则
令，则，所以，显然平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角为，从图中可以看出为锐角，
则．

18.【详解】记一名顾客摸球中奖元为事件
从袋中摸出两只球共有：种取法；摸出的两只球均是红球共有：种取法
记一名顾客摸球中奖元为事件，不中奖为事件
则：，
由题意可知，所有可能的取值为：，，，，
则；；
；；
随机变量的分布列为：

19.【详解】当时，．
所以，．
所以，当时，，单调递增．
当时，，单调递减．
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．
当，成立，等价于当时，成立．
因为，设，则．
所以，单调递减，即单调递减．
当时，所以，单调递减，，符合题意．
当时，，所以存在，使得当时，．
此时单调递增，，不符合题意．
综上．
由知，当时，对任意，都有，
即成立，令，，
则．
当时，．
所以，．
当时，．
综上，．

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