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黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026届高三上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.“，”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是( )
A. 为的一个周期 B. 关于点对称
C. 是偶函数 D.
8.已知圆锥底面半径为，母线长为，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 当且仅当时，最大 D. 满足的最大整数为
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象可由向右平移个单位长度得到
11.椭圆：左右焦点分别为，，双曲线：与椭圆的焦点相同，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则双曲线的方程为
C. 若的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率取值范围是
D. 若与轴交于点，平分，则双曲线的离心率大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是等比数列的前项和，若，则 ．
13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
14.如图，中，，，是线段上的两个点，为等边三角形，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
若函数的最小正周期为，求函数在上的值域；
若，在中，角，，所对的边为，，，其中满足，，求的最小值．
16.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点．
求抛物线的方程；
求的最小值．
17.本小题分
如图，在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面．
证明：平面平面；
设为线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
18.本小题分
已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，数列的前项和．
求数列和的通项公式；
设，为数列的前项和．
求；
若对于，恒成立，求实数的最小值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
设的极大值为，求的最小值；
当时，若方程恰有两个不同的实数解，，求证：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，则，
，
当时，，则
则函数在上的值域为；
由，则，，则，
，则，
则，
当且仅当时，等号成立，
故最小值为．

16.解：，，．
由于直线与抛物线交于，两点，则直线不与轴平行，设直线：，设，，
则，，
所以
，
联立得，
，则，，
代入可得，
所以最小值为，此时．

17.解：翻折前，连接，如下图所示：
在矩形中，，，
因为为的中点，则，
因为，由勾股定理可得，
同理可得，所以，故，
翻折后，仍有，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，故平面平面．
取线段的中点，连接、，
因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的一个法向量为，
，，
则，取，可得，
故平面的一个法向量为，
设，其中，
则
，
设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角正弦值的最大值为．

18.解：设等差数列的公差为，
由于，且，，成等比数列，
所以，解得：，或舍去，
所以数列的通项公式为：，
由于数列的前项和，
当时，，解得：；
当时，，
，
可得：，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列
则数列的通项公式为：；
由于
所以
则
(ⅱ)由于
则，
随着增大而增大，由于，，
当时，，当时，，
即，则
所以最小值为．

19.解：，
当时，，则的单调递增区间为；
当时，若，，
则的单调递增区间为，；
当时，若，，
则的单调递增区间为，；
由分析，当时，，无极大值，
当时，因当时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减；
故有极大值；
当时，若，，若，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
故有极大值，
记，则，
当，，当，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故；
又当时，，
故；
不妨令，设，
则，
令，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，
，，
故，使得，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
设在处的切线为，由，，
则，在上单调递减，
设，
则，
故在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
设在处的切线为，由，，
故，在上单调递增，
设，
则，
故在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
设的根为，则，由上可知，
设的根为，则，由上可知，
故．

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