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2025-2026学年贵州省遵义市南白中学高三（上）10月质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是，，若这三天中只有一天开车上班的职工人数是，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是( )
A. B. C. D.
3.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，是这个正六边形内部包括边界的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度
病毒数量万个
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为时，病毒数量为( )
参考公式：
A. B. C. D.
7.函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，为的中点，平面过点且与垂直，则( )
A. B. 平面
C. 平面平面 D. 平面截正方体所得的截面面积为
10.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
11.在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A. 曲线关于直线对称
B. 若，则时到轴距离的最大值为
C. 若，如图，则
D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值为______．
13.我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列现有二阶等差数列的前项依次为，，，，则该数列的第项为______．
14.已知直线：与圆相交于，两点，存在点，，使得，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、、分别为的内角、、的对边，为的面积，且满足．
求；
若，且，求的余弦值．
16.本小题分
如图，多面体中，已知面是边长为的正方形，，平面平面中边上的高，求该多面体的体积．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的图象在点处的切线方程；
求函数的极值．
18.本小题分
近年来，一种全新的营销模式开始兴起短视频营销短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．
已知小李月日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为，，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为求月日小李选择“抖音”平台购物的概率；
三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，，三人是否抢购成功互不影响若为三人下单成功的总人数，且，求的值及的分布列．
19.本小题分
已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为，离心率为．
求双曲线的标准方程；
经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，为坐标原点，求的取值范围．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，
可得，
可得，
即，
又因为，
所以，
可得；
若，且，，
可得，
即，整理可得，
又因为代入中，可得，
整理可得，解得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，
，
所以，，三点共线，且，
在中，由余弦定理可得．
即的余弦值为．
16.【答案】解：在多面体中，
，平面，平面，
平面，
延长到，使得，连接、，如图所示：
因为平面面，，，
到平面的距离，
则三棱锥的体积为：，
原几何体的体积为：．
17. 当时，，则，
所以，，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，即；
因为，函数的定义域为，
，
因为，则，分以下几种情况讨论：
当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，
极小值为；
当时，即当时，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，函数无极值；
当时，即当时，
由可得，由可得或．
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，
函数的极大值为，极小值为．
综上所述，当时，函数的极大值为，
极小值为；
当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，极小值为．
当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
分、、时，利用导数分析函数的单调性，利用函数极值与单调性的关系可求出函数的极值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，是中档题．
18.【答案】解：设“第一天选择抖音平台”，“第一天选择快手平台”，“第二天选择抖音平台”，
则，，，，
则 ．
由题意得，的取值为，，，，
且，
，
，
，
所以，解得．
故的分布列为：

19.【答案】解：由题得，所以，即．
又焦点到渐近线的距离为，焦点坐标为，渐近线方程为，
则，整理得，则，
所以双曲线的标准方程为．
显然直线的斜率存在．设其方程为．
联立直线与的方程，得，消去得．
因为直线与的两支分别交于点，，
所以，得．
设，，
则，
所以
；
综上，的取值范围是．
第8页，共8页

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