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2025-2026学年广东省湛江市雷州市新南方学校八年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下列各组线段为三角形的边长，能组成三角形的是( )
A. 2，6，5 B. 3，3，6 C. 2，7，4 D. 12，4，7
2.2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥——丹江小三峡特大桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是( )
A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于
3.图中能表示的BC边上的高的是( )
A. B.
C. D.
4.按图中所给的条件，的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路AB上，且到河岸，的距离相等.依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点如图2所示，则能找到宝藏的是( )
A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙
6.如图，≌，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且的面积是12，则的面积是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.已知AD是的一条高，，，则的度数为( )
A. B. C. D. 或
9.如图，在中，，的平分线BP，AP交于点下列结论：①CP平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是( )
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①③
10.如图，在平面直角坐标系中，，点B、C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且，若是以BC为底的等腰三角形，则的长为( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长为 .
12.如图，已知，要根据ASA判定≌，则需要补充的一个条件为______.
13.在中，三个内角，，满足，则______.
14.如图，在中，MP，NQ分别垂直平分边AB，AC，交BC于点P，Q，如果，那么的周长为______.
15.如图，，，，如果点P在线段BC上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题7分
如图，三条线段的长度分别为a、b、c，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形.
、b、c只需要满足条件______即可只填一个序号
①；②；③
若，，b为整数，求构成的三角形的周长.
17.本小题7分
如图，在中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点，，求和的度数.
18.本小题7分
如图，点E、F在BC上，，，，求证：
19.本小题9分
如图，在四边形ABCD中，，E为对角线BD上一点，，且
求证：≌
若，，求AD的长.
20.本小题9分
如图，在四边形ABCD中，，于点E，且
试证明点D在的平分线上；
试判断AB、BC和BE三条线段的数量关系并说明理由.
21.本小题9分
在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法，
【举例】如图1，在中，，AD是中线，延长AD至点E，使，可得≌请你说明理由.
【应用】如图2，，，，，M为BC中点，求证：
22.本小题13分
【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为D，E，若，，求BE的长.”请写出此题的解答过程；
【类比探究】如图2，点B，C在的边AM、AN上，点E，F在内部的射线AD上，、分别是、的外角，已知：，猜想：线段CF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由.
23.本小题14分
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动.
如图1所示，当点D的坐标为时，求点E的坐标；
如图2所示，点D在线段OB上运动时，连接AC、BC，连接AE并延长与y轴交于点P，求点P的坐标；
如图3，设的边ED与y轴交于点G，CE与x轴交于点F，当点D在线段OB上运动，且满足时，在线段DE上取点H，连接HF交y轴于点且，证明：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、，
以线段2，6，5为三角形的边长，能组成三角形，符合题意；
B、，
以线段3，3，6为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意；
C、，
以线段2，7，4为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意；
D、，
以线段12，4，7为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意；
故选：
根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：
由三角形的稳定性，即可得到答案．
本题考查了三角形的稳定性，掌握其性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：图D是过点A作BC的垂线，
故选：
根据三角形高线的定义对各选项进行判断．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、高和中线的定义．
4.【答案】C
【解析】解：，，
，
，
，
故选：
根据三角形外角的性质得到，，根据三角形内角和得到，进而计算即可．
本题考查了三角形的内角和定理及其外角的性质．
5.【答案】B
【解析】解：由题意知：甲作的是AB的垂线，乙作的是的平分线，丙作的是线段AB的垂直平分线，
到河岸，的距离相等，
点P一定是在的角平分线与AB的交点处，
能找到宝藏的是乙．
故选
由P到河岸，的距离相等，得到点P一定是在的角平分线与AB的交点处，由此即可判断．
本题考查角平分线的性质，尺规作图，关键是掌握基本作图，角平分线性质定理的逆定理．
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据全等三角形对应角相等，，再根据角的和差关系代入数据计算即可．本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，难度适中．
【解答】
解：≌，
，
故选
7.【答案】C
【解析】解：点D是BC的中点，
，
点E是AD的中点，
，，
，
点F是CE的中点，
故答案为：
根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可．
本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，特别注意涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．
此题要分情况考虑：当AD在三角形的内部时，；当AD在三角形的外部时，
【解答】解：当AD在三角形的内部时，；
当AD在三角形的外部时，
故选
9.【答案】B
【解析】解：如图，BP平分，AP平分，，，过点P作于点
，，
，
平分，
故结论①正确，符合题意；
在和中，
，
，
同理，，
，
，
故结论③正确，符合题意；
平分，CP平分，
，
，，
，
，
故结论④正确，符合题意；
假设，
，，
，
，
若，则，
解得，不符合三角形的性质，
故结论②错误，不符合题意，
综上所述，正确的结论是①③④，
故选：
过点P作于点根据角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，，所以再根据角平分线的判定到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知CP平分，故①正确．假设由 ，，得若，则，解得，这与三角形内角和为矛盾，故②错误．根据“HL”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得，所以同理，，所以因此，故③正确．因为AP平分，CP平分，所以，又因为，，且，所以，故④正确．从而即可得解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，，作轴交y轴于E，作轴交x轴于D，则，
，
是以BC为底的等腰三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：
作轴交y轴于E，作轴交x轴于D，则，根据得到，根据等腰三角形的定义得到，进而证明，得到，即可求出的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
11.【答案】22
【解析】解：当腰长为4，底边长为9时，，不能组成三角形，不符合题意；
当腰长为9，底边长为4时，，能组成三角形，符合题意，此时周长为，
故答案为：
分两种情况：当腰长为4，底边长为9时；当腰长为9，底边长为4时，根据三角形三边关系看是否能构成三角形，再由三角形的周长进行计算即可．
本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分类讨论是关键．
12.【答案】
【解析】解：添加，
在和中，
≌，
故答案为：
添加，再加上和公共边可利用ASA可判定≌
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，
故答案为：
先整理得到，再利用三角形的内角和等于列出方程求解即可．
本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：和NQ分别为AB、AC的垂直平分线，
，，
的周长，
故答案为：
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】1或
【解析】解：设P、Q两点的运动时间为t秒，点Q的运动速度为秒，
则，，
，
①当≌时，，
，
；
②当≌时，，
，
综上，当t的值是1或时，能够使与全等．
故答案为：1或
利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当≌和②当≌时，设运动时间为t秒，点Q的运动速度为秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．
本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键．
16.【答案】①；

【解析】解：根据构成三角形的条件得a、b、c只需要满足条件即可，所以①正确，
故答案为：①；
由题意得，
，
解得，
又为整数，
，
所以围成的三角形周长，
答：构成的三角形的周长为
根据构成三角形的条件求解即可；
根据构成三角形的条件得出，得出，即可求解．
本题主要考查三角形的三边关系，列代数式，理解题意，熟练掌握这些基础知识是解题关键．
17.【答案】，
【解析】解：，，
又，BF分别是，的平分线，
，，
，
是的角平分线，
，
因为AD是高，所以，又因为，所以度数可求；因为，，所以，，BF是的角平分线，则，故的度数可求．
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和问题，三角形的高，掌握角平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：点E、F在BC上，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，

【解析】先证明，再利用SAS证明≌，进而可证明
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
19.【答案】，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
6
【解析】证明：，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：由知：≌，且，，
，，
，
由补角的性质得到，由平行得，由ASA即可证明三角形全等；
由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键．
20.【答案】过点D作，交BA的延长线于点F，如图所示：
在四边形ABCD中，，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
点D在的平分线上；
AB、BC和BE三条线段的数量关系：，理由如下：
由 可知：点D在的平分线上，≌，
是的平分线，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
又，
，

【解析】证明：过点D作，交BA的延长线于点F，如图所示：
在四边形ABCD中，，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
点D在的平分线上；
解：AB、BC和BE三条线段的数量关系：，理由如下：
由可知：点D在的平分线上，≌，
是的平分线，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
过点D作，交BA的延长线于点F，先证明，，继而依据“AAS”判定和全等得，然后再根据角平分线的性质即可得出结论；
由可知点：D在的平分线上，≌，则BD是的平分线，，进而得，由此得，，进而依据“AAS”判定和全等得，则，由此得，据此即可得出AB、BC和BE三条线段的数量关系．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
21.【答案】【举例】在中，，AD是中线，
在和中，
，
≌；
【应用】如图2，M为BC中点，延长AM到N，使，连接
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，
，

【解析】证明：【举例】在中，，AD是中线，
在和中，
，
≌；
【应用】如图2，M为BC中点，延长AM到N，使，连接
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，
，
【举例】要说明≌，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用SAS判定全等．
【应用】通过倍长中线法，延长AM到N使，先证≌，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明≌，从而得出
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握全等三角形的判定定理等是解题的关键．
22.【答案】；
，
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，

【解析】，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
；
，证明如下：
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
利用同角的余角相等证明，再利用AAS证明≌，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23.【答案】；
；
如图3，在x轴上截取，连接EK，
，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，

【解析】解：如图1，点C的坐标为，点D的坐标为，过点E作轴于点F，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点E在第三象限，
点E的坐标为：；
解：如图2，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，过点E作轴于点F，
，
由可知，≌，
，，
，
，即，
，
，，
，
，
，
点P的坐标为：；
证明：如图3，在x轴上截取，连接EK，
，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
过点E作轴于点F，证明≌，得出，，即可得出答案；
过点E作轴于点F，根据得出≌，得出，，证明，得出，证明，得出，即可得出答案；
在x轴上截取，连接EK，根据已知条件得出，证明≌，，，再证明，从而证明≌，得出，由进行线段之间的等量代换即可证明结论．
本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的综合应用，掌握坐标与图形，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，余角的性质是解题的关键．

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