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2025-2026学年四川省成都市成华区列五中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下面四条线段中成比例线段的是( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
3.已知线段m、n、p、q的长度满足等式，则下列比例式中，错误的是( )
A. B. C. D.
4.用配方法解方程时，配方正确的是( )
A. B. C. D.
5.如果一个多边形内角和是它外角和的4倍.那么这个多边形的边数为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
6.已知四边形ABCD为平行四边形，下列说法正确的是( )
A. 若，则该四边形为矩形 B. 若，则该四边形为菱形
C. 若，则该四边形为矩形 D. 若，则该四边形为正方形
7.菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，，则菱形的高AE长度为( )
A.
B.
C. 12
D. 13
8.如图，在平行四边形ABCD中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.已知，则的值是 .
10.若矩形ABCD∽矩形，，，则矩形ABCD与矩形的相似比为 .
11.在比例尺为1：4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为______
12.如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，E，和点B，D，已知，，，则BD的长为 .
13.如图，菱形ABCD的边长为4，，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AB于点E，连接CE，则CE的长为 .
14.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
15.设m、n是方程的两个实数根，则的值为 .
16.如图，已知，两条直线交于点O，且与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，，则的长为 .
17.如图，已知矩形ABCD，，，点E是对角线BD上一动点，点F是线段BC上一动点且满足，则的最小值 .
18.如图，在矩形ABCD中的CD边上取一点E，将沿BE翻折，使得C恰好落在AD边上点F处，在AF上取一点G，使得，连接BG并延长交直线EF于点H，当为等腰三角形时，则的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题16分
解下列方程：
；
；
；
配方法
20.本小题6分
已知关于x的一元二次方程
求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一个根为2，求另一个根和k的值.
21.本小题8分
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得连接过点B作，交AE于点F，连接
求证：四边形AFBO是矩形；
若，，求菱形ABCD的面积.
22.本小题8分
上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同.
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？
23.本小题10分
在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线BC上的动点.
求直线BC的解析式；
如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标；
若点N在平面直角坐标系内，则在直线BC上是否存在点M，使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
24.本小题8分
已知，是一元二次方程的两个实数根．
是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
求使的值为整数的实数k的整数值．
25.本小题10分
如图，在中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作交AB于点M，作交AC于点
若点D是BC的中点，且AP：：1，求AM：AB的值；
若点D是BC的中点，试证明；
若点D是BC上任意一点，试证明
26.本小题12分
如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点与y轴交于点E，连接设点P运动的时间为
的度数为______，点D的坐标为______用t表示；
当t为何值时，为等腰三角形？
探索周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，是一元一次方程，故A选项不符合题意；
B.，当时，是一元二次方程，故B选项不符合题意；
C.，是一元二次方程，故C选项符合题意；
D.，不是一元二次方程，故D选项不符合题意；
故选：
根据一元二次方程定义即可解决问题．
本题考查一元二次方程的一般形式，解决本题的关键是掌握一元二次方程定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：
根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，选出正确答案即可．
本题考查了成比例线段的概念．掌握“在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段”是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：两边同时乘以最简公分母pn得，与原式相等，正确；
B.两边同时乘以最简公分母mq得，与原式相等，正确；
C.两边同时乘以最简公分母mq得，与原式相等，正确；
D.两边同时乘以最简公分母np得，与原式不相等，错误；
故选
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
此题考查比例线段问题，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．
4.【答案】B
【解析】解：，
移项，得，
两边加上，得，
即
故选：
先移项，两边都加上，可得形如即可．
本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由多边形外角和定理可知，这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数为n，
则，
解得，
这个多边形的边数是
故选：
根据多边形的外角和定理以及这个多边形的内角和是它外角和的4倍，可以求出这个多边形的内角和，再设这个多边形的边数为n，然后根据多边形内角和定理，列方程求解出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理、多边形的外角和定理进行求解是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：若，则该四边形为菱形，不符合题意；
B.若，则该四边形为矩形，不符合题意；
C.若，则该四边形为矩形，符合题意；
D.若，则该四边形为菱形，不符合题意，
故选：
根据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在菱形ABCD中，，，
，，，
，
，
，
故选：
根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
故选：
由平行四边形的性质及角平分线的性质得出，进而得出，，，再由，得出∽，进而得出，即可求出
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
可设，则，
故答案为：
由比例的性质可设，则，再代入中，求值即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10.【答案】2：3
【解析】解：矩形ABCD∽矩形，，，
矩形ABCD与矩形的相似比：：：3，
故答案为：2：
根据相似多边形的性质即可得到结论．
本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
11.【答案】120
【解析】解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得：
1：：x，
解得：，
12000000厘米
故答案为：
由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．
本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
即，
解得：，
故答案为：
求出，再由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：延长CB交MN于F点，MN交AD于P点，如图，
四边形ABCD为菱形，
，，
，
由作法得MN垂直平分AD，
，，
，
在中，，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
故答案为：
延长CB交MN于F点，MN交AD于P点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得MN垂直平分AD，所以，，接着计算出，则，然后计算出，最后利用勾股定理计算CE的长．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
14.【答案】且
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且
故答案为：且
利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于k的一元一次不等式，解之可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，列出关于k的一元一次不等式是解题的关键．
15.【答案】2028
【解析】解：是方程的实数根
，
，，
，
，
、n是方程的两个实数根，
，
故答案为：
先根据一元二次方程解的定义得到，则利用等式性质得到，，再利用整体代入的方法得到，然后根据根与系数的关系得到，最后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
16.【答案】
【解析】解：，
∽，
，即，
解得，
，
∽，
，即，
解得，
；
故答案为：
证∽求出AD，证∽求出CF，即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，过E点作于点G，如图，
，，
，，
设F点坐标为，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，F点坐标为，，
，
整理，得，
的最小值可看作是点到点的距离与点到点的距离之和的最小值，
点关于x轴的对称点的坐标为，
，
故答案为：
利用建系法，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，分别表示除点E、F的坐标，进而再利用二次根式求最值．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：分三种情况讨论：
①若为等腰三角形，且时，如图1，
是由折叠得到，
，，
，
，
，
连接CF，
则，，
，
，
又，，，
≌，
，
，
过点G作于点M，
，，
，
又，
设，，
在中，，
，
即，
，
；
②若为等腰三角形，且时，如图2，
，
，
是由折叠得到，
，
，
，
与题意不符，
此种情况不可能；
③若为等腰三角形，且时，如图3，
，
，
是由折叠得到，
，，
，
又，
，
，
连接FC，
由①知，
设，
，
，
，
，
，
，
，
是黄金三角形，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
故答案为：或
根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：
当时，根据折叠的性质，等腰三角形的性质以及，可得出，从而得出，再利用等腰直角三角形的边角关系即可得出比值；
当时，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得出，从而得出，与题意不符；
当时，根据折叠的性质，等腰三角形的性质以及，可得出，得出是黄金三角形，从而得出比值．
本题主要考查翻折变换的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解题时，综合运用所学知识并能够运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
19.【答案】，；
，；
，；
，
【解析】，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
，
所以，
先把方程变形为，再把方程两边开方得到，然后解两个一次方程即可；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了因式分解法．
20.【答案】证明：
，
，
，
即，
不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
方程的另一个根为，k的值为
【解析】证明：
，
，
，
即，
不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
解：将代入原方程得：，
解得：，
原方程为，
方程的另一个根为，
方程的另一个根为，k的值为
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，再利用方程的另一个根给出的方程的根，即可求出结论．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值．
21.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
四边形AEBD是平行四边形，
，
四边形AFBO是平行四边形．
，，
，
，
平行四边形AFBO是矩形．
解：由知四边形AFBO是矩形，
，，
又，，
，
在中，，
，
为等边三角形，

【解析】证四边形ADBE是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
由矩形的性质得，，所以又由，可得，由直角三角形性质得在中，，由直角三角形性质得，得到为等边三角形，即可计算得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意得：，
整理得，，
解得，不合题意，舍去
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；
设该品牌头盔每个售价为y元，依题意得：
，
整理，得，
解得，，
因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去．
所以
答：该品牌头盔每个售价应定为60元．
【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润售价-进价销售量列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
23.【答案】；
点M的坐标为或；
M坐标为或或或
【解析】直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，得：，
解得：；
当时，得：，
，，
设直线BC的解析式为，
将点B的坐标，分别代入得：
解得：
直线BC的解析式为；
，，，
，，，
，
，
点M在直线BC上，
或，
①当时，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
；
②当时，
得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
，
综上所述，点M的坐标为或；
平面内存在一点M，使得以点A、B、M、N四点为顶点形成的四边形是菱形；理由如下：
设AM，BN相交于点E，则，，设，
①当四边形ABMN是菱形，如图1
，即，
，
，
或；
②当四边形AMBN是菱形，如图2，
此时，即，
，
解得：，
；
③当四边形ABNM是菱形时，过点M作轴于点Z，如图3，
此时，即，
，
解得：不合题意，舍去或，
；
综上所述，M坐标为或或或
先求出点A，B的坐标，然后再用待定系数法求直线BC的解析式即可；
先求出由题意可得，那么或，然后解方程即可求出点M的纵坐标，然后利用BC的解析式，求得点M的横坐标即可；
分类讨论，利用两点距离公式求解即可．
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性质，菱形的性质，中点公式，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
24.【答案】解：根据题意，得
解得
又，
由得
，
解得
经检验是方程的解．
，不存在实数
原式，
或，或2，或，或4，或
解得或，1，，3，
，或
【解析】把，即，根据一元二次方程根与系数的关系求得方程两根的和与两根的积代入即可得到关于k的方程，即可求得k的值，然后判断是否满足即可；
根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值．
解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式，注意所求值的取舍．
25.【答案】解：过点D作交AB于E，
点D为BC中点，
点E是AB中点，且，分
；分
延长AD至点Q，使，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．分
，，
，分
；分
注：像第题那样作辅助线也可以．
过点D作交AB于E，
，分
又，
，分
分
同理可得：分
分
注：如果像第题那样添辅助线，也可以证．
【解析】过点D作交AB于E，由点D为BC中点与AP：：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
延长AD至点Q，使，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得，，继而可得；
过点D作交AB于E，即可得，又由，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得
此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
26.【答案】
①若，则舍去，
②若，
则
在和中，
≌
点E与点C重合
点P与点O重合
点，
此时
③若，
在和中，
，
，
延长OA到点F，使得，连接BF，如图2所示．
在和中，
≌
，
，，
在和中，
≌
解得：
当t为4秒或秒时，为等腰三角形．
，
周长是定值，该定值为
【解析】解：如图1，
由题可得：秒
四边形OABC是正方形，
，
，
，，
在和中，
≌
，
，，
，
点D坐标为
故答案为：，
见答案
见答案
易证≌，从而得到，从而可以求出的度数和点D的坐标．
由于，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到由于底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．
由已证的结论很容易得到周长等于，从而解决问题．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为的角组成的基本图形其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交是解决本题的关键．

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