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山东省德州市2025年中考数学试卷
1．（2025·德州）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．（2025·德州）下列实数为无理数的是（　　）
A．﹣3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A不是无理数，不符合题意；
B是无理数，符合题意；
C不是无理数，不符合题意；
D不是无理数，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·德州）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
与它对应的物体是
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．（2025·德州）已知m，n是正整数，且满足3m 3m 3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　）
A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：3m 3m 3m＝33m=3n
∴3m=n
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
5．（2025·德州）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A＝42°，则∠CBD的度数为（　　）
A．21° B．27° C．30° D．34.5°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=42°
∴2∠ABC+42°=180°
∴∠ABC=69°
由尺规作图可知：MN是线段AB的垂直平分线
∴DA=DB
∴∠DBA=∠A=42°
∴∠CBD=∠ABC-∠DBA=27°
故答案为：B
【分析】根据等边对等角可得∠ABC=∠C，再根据三角形内角和定理可得∠ABC=69°，由尺规作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得DA=DB，根据等边对等角可得∠DBA=∠A=42°，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2025·德州）在平面直角坐标系中，函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；化简含绝对值有理数；分类讨论
【解析】【解答】解：当x>0时，|x|=x
∴，图象在第四象限
当x<0时，|x|=-x
∴，图象在第三象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值性质分类讨论，结合反比例函数图象即可求出答案.
7．（2025·德州）如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　）
A． B． C．（5，1） D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°
即△AFD是直角三角形
∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）
∴OA=BC=3，AB=OC=2
∴矩形OABC的周长为2(OA+AB)=10，面积为
∵四边形OADE是平行四边形
∴AD=DE，DE=OA=3
∴平行四边形OADE的周长为2(OA+AD)=2(3+AD)，面积为
∵ OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，
∴2(3+AD)=10，
∴AD=2，DF=1
∴
∴
∴点D的坐标为
故答案为：A
【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°，即△AFD是直角三角形，根据两点间距离可得OA=BC=3，AB=OC=2，求出矩形OABC的周长与面积，根据平行四边形性质可得AD=DE，DE=OA=3，再求出平行四边形OADE的周长与面积，根据题意建立等式，可得AD=2，DF=1，再根据勾股定理可得AF，再根据边之间的关系可得OF，再根据点的坐标即可求出答案.
8．（2025·德州）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5cm，则剩余部分的面积是（　　）
A．25πcm2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：平移小圆，使小圆的圆心与点O重合，小圆与AB相切与点C，连接OC，OA
∴OC⊥AB
∴
∴
∴剩余部分的面积为：
故答案为：D
【分析】平移小圆，使小圆的圆心与点O重合，小圆与AB相切与点C，连接OC，OA，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得，再根据剩余面积=大的半圆面积-小的半圆面积即可求出答案.
9．（2025·德州）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
10．（2025·德州）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组
x+2y＝5的正整数解有2组
x+2y＝7的正整数解有3组
......
∴对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组
∵x+2y+2z＝15
∴x+2(y+z)=15
设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k
∵x，k为正整数
∴15-2k>0，解得：k<7.5
∴k的取值为：2，3，4，5，6，7
当k=2时，y+z=2，正整数解有1组
当k=3时，y+z=3，正整数解有2组
当k=4时，y+z=4，正整数解有3组
当k=5时，y+z=5，正整数解有4组
当k=6时，y+z=6，正整数解有5组
当k=7时，y+z=7，正整数解有6组
∴x+2y+2z＝15的正整数解：1+2+3+4+5+6=21组
故答案为：B
【分析】根据题意，总结规律可得对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组，设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k，根据x，k为正整数，可得k的取值为：2，3，4，5，6，7，再根据规律判断即可求出答案.
11．（2025·德州） 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．（2025·德州）如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 　 　 ，使得AE∥BC．（写出一种情况即可）
【答案】∠DAE=∠B（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：要使AE∥BC，添加∠DAE=∠B
∵同位角相等，两直线平行
故答案为：∠DAE=∠B（答案不唯一）
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
13．（2025·德州）把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是 　 　 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
共有30种等可能的结果，其中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的有4种结果
∴从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是
故答案为：
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的结果，再根据概率公式即可求出答案.
14．（2025·德州）已知点P（a，b）在双曲线上，点M（6a，b），N（a，c）在双曲线上，若|b﹣c|＝2，则N的坐标为 　 　 ．
【答案】（，）或（－，－）
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵点P（a，b）在双曲线上，
∴ab=1
∵点M（6a，b），N（a，c）在双曲线上，
∴6ab=ac=k
∴c=6b
∵|b﹣c|＝2
∴|b-6b|=2
解得：或
当时，
当时，
∴点N的坐标为（，）或（－，－）
故答案为：（，）或（－，－）
【分析】将点F坐标代入双曲线可得ab=1，将点M，N坐标代入双曲线可得6ab=ac=k，则c=6b，再代入方程可得|b-6b|=2，解方程可得或，再求出a，c值即可.
15．（2025·德州）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若，则MN的长度为 　 　 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P
∵AB＝3，，∠ABD=90°
∴
∵M，N分别时AD，CE的中点，∠ABD=∠CBE=90°
∴
∴∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN
∵∠DAB=∠E，∠CBE=∠E+∠BCE=90°
∴∠CBN+∠ABM=90°
∵∠ABC=30°
∴∠MBN=30°+90°=120°
∴∠PBN=60°
∵∠P=90°
∴∠PMB=30°
∴
∴
∵∠ABD=∠CBE=90°，∠DAB=∠E
∴△ABD∽△EBC
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P，根据勾股定理可得BD，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等边对等角可得∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN，再根据角之间的关系可得∠PMB=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得PB，根据勾股定理可得PM，再根据相似三角形判定定理可得△ABD∽△EBC，则，代值计算可得CE，再根据边之间的关系可得NP，再根据勾股定理即可求出答案.
16．（2025·德州）
（1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）解：原式＝222
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据二次根式，绝对值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简即可求出答案.
17．（2025·德州）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内．
（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
（2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）．
（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75）
【答案】（1）解：如图，过点B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米，
则BE＝AB sinA≈200×0.28＝56（m），
答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m；
（2）解：如图，过点B作BF⊥CD于F，
则四边形BEDF为矩形，
∴DF＝BE＝56m，
∵CD＝296m，
∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m），
在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°，
则BC400（m），
答：车的行驶路线BC的长约为400m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥AD于E，根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点B作BF⊥CD于F，则四边形BEDF为矩形，根据矩形性质可得DF＝BE＝56m，根据边之间的关系可得CF，再根据正弦定义即可求出答案.
18．（2025·德州）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：x≥30；良好：25≤x＜30；合格：20≤x＜25；不合格：x＜20．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 2718 27 28 29 31 32
信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
月份 平均数/个 众数/个 优秀率
3月 25.6 a b
6月 27.7 29 c
请根据以上信息，完成下面问题：
（1）补全条形图；
（2）表中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ；
（3）已知该校七年级共400人，请估算七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？
【答案】（1）解：由题意得，总人数为20人，
∴合格人数：20×30%＝6人；优秀人数：20﹣5﹣6﹣2＝7人．
∴补全后条形图：优秀对应人数7，合格对应人数6．
（2）27；20%；35%
（3）解：由题意，∵3月优秀率20%，6月优秀率35%，
∴七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加的人数为400×（35%﹣20%）＝400×15%＝60（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由题意，分析3月成绩，∵27出现次数最多（4次），
∴a＝27．
又∵3月优秀人数为4人，
∴优秀率．
∵6月优秀人数为7人，
∴优秀率．
故答案为：27；20%；35%．
【分析】（1）由题意可得总人数为20人，分别求出合格，优秀人数，再补全图形即可.
（2）根据众数定义可得a值，根据优秀人数÷总人数可得b，c值.
（3）根据总人数乘以优秀增长率即可求出答案.
19．（2025·德州）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
【答案】解：【方案一】由题意，设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为6m，
∴3x+2y＝6．
∵长宽之比为5：3，
∴长为横向边y，宽为纵向边x，黄金分割比中长＞宽，故y：x＝5：3，即：．
将代入3x+2y＝6得，3x+2x＝6．
∴x．
答：窗户框架的宽AB为m．
【方案二】由题意，设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，
∴，即，
∴要使窗架的面积最大，则，于是宽为．
∴当x＝1.5时，S最大值为1.5．
∴要使做成的窗架的面积最大，故该窗的AB，AD分别为1米，1.5米时，窗架的面积最大，最大值为1.5m2．
【知识点】黄金分割；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】【方案一】设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，由题意可得3x+2y＝6，再根据黄金分割可得，再代入方程，解方程即可求出答案.
【方案二】设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，根据矩形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
20．（2025·德州）如图，A（﹣6，0），B（0，8），点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B'（a，0）处．
（1）求a的值；
（2）求直线AM的解析式；
（3）若直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝a的左侧，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
在Rt△OAB中，AB2＝OA2+OB2，
∴AB＝10，
由题意得△ABM≌△AB'M，
∴AB＝AB'＝OA+OB'＝10，
∴a＝4；
（2）解：设M（0，m），
由题意得△ABM≌△AB'M，
∴BM＝B'M＝8﹣m，
由（1）得OB'＝4，
在Rt△OB'M中，MB'2＝OM2+OB'2，
∴（8﹣m）2＝m2+16，
解得m＝3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣6，0），M（0，3）代入得，
，
解得，
∴直线AM的解析式为；
（3）解：t＜9．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（3）直线y＝﹣x+t与直线AM相交，
当x＝4时，交点坐标为（4，5），
此时﹣4+t＝5，则t＝9，
∵直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝4的左侧，
∴由图象得t＜9．
【分析】（1）根据两点间距离可得OA＝6，OB＝8，根据勾股定理可得AB，再根据折叠性质可得△ABM≌△AB'M，则AB＝AB'，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设M（0，m），根据折叠性质可得△ABM≌△AB'M，则BM＝B'M＝8﹣m，根据勾股定理建立方程，解方程可得M（0，3），设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式即可求出答案.
（3）将x=4代入直线AM解析式可得交点坐标为（4，5），再代入直线y＝﹣x+t，可得t＝9，再根据题意即可求出答案.
21．（2025·德州）如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE．
（1）设∠ABC＝α，则∠EAC＝ 　 　 ；（用含α的式子表示）
（2）求证：AE＝DE；
（3）若DE＝2，BD＝1，求EF的长．
【答案】（1）
（2）证明：连接AD，
∵点D是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EAC+∠CAD，∠EDA＝∠BAD+∠ABD，
又∵∠EAC＝∠EBC＝∠EBA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE；
（3）解：由题可知AE＝DE＝2，BE＝DE+BD＝3，
∵∠EBA＝∠EAF，∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EBA，
∴，
∴EF
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵点D是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC∠ABC，
∵，
∴∠CAE＝∠CBE；
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形内心性质可得BE平分∠ABC，则∠ABE＝∠EBC∠ABC，再根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）连接AD，根据三角形内心性质可得AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，再根据三角形外角性质可得∠EDA＝∠BAD+∠ABD，根据角之间的关系可得∠EAD＝∠EDA，再根据等角对等边即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得AE＝DE＝2，BE＝DE+BD＝3，再根据相似三角形判定定理可得△EAF∽△EBA，则，代值计算即可求出答案.
22．（2025·德州）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）．
（1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）．
①求该抛物线的解析式；
②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围；
（2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长．
【答案】（1）解：①∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5）和（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1；
②抛物线y＝x2+5x﹣1的对称轴为x，
B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2），
∵对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，
∴由图象性质得3t+2≤﹣7或3t﹣1≥2，
解得t≤﹣3或t≥1；
（2）解：∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5），
∴1+2m+3+n＝5，
则n＝1﹣2m，
∵对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，
∴x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立，
∴Δ＝4m2﹣4（﹣1﹣2m）≤0，
（m+1）2≤0，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+3，
联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4，
得x2+x+3＝4，
解得，
∴交点M，N的横坐标分别为和，
∴MN．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点（1，5）和（0，﹣1）代入抛物线解析式即可求出答案.
②根据抛物线对称性质可得B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2），再根据二次函数性质即可求出答案.
（2）将点（1，5）代入抛物线可得n＝1﹣2m，由题意可得x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立，可得对应方程有一个解或者无解，则判别式，解不等式可得m＝﹣1，则抛物线解析式为y＝x2+x+3，再联立联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4，可得得x2+x+3＝4，解方程可得交点M，N的横坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
23．（2025·德州）已知点O是正方形ABCD的中心，点P，E分别是对角线AC，边BC上的动点（均不与端点重合），作射线PE．
（1）将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE＝PF；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（2）如图3，连接BP，当∠BPE＝45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F．若，PE＝a，求四边形PEBF的面积（用含a，k的式子表示）．
【答案】（1）解：①证明：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
则∠PGE＝∠PHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∵∠PCH＝45°，
在Rt△PCH中，∠CPH＝90°﹣45°＝45°，
∴PH＝CH，
∴四边形PGCH是正方形，
∴PG＝PH，∠HPF+∠GPF＝90°，
∵∠EPG+∠GPF＝90°，
∴∠EPG＝∠FPH，
∴△PEG≌△PFH（ASA），
∴PE＝PF；
②解：是定值，
过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
由①可知四边形PGCH是正方形，
∴PG＝PH，∠PGC＝∠PHC＝∠BCD＝90°，△PEG≌△PFH，
∴S△PEG＝S△PFH，
∴S四边形PECF＝S△PEG+S四边形PGCF
＝S△PFH+S四边形PGCF
＝S正方形PGCH，
∵，
∴，
∵PH∥AD，
∴△CPH∽△CAD，且，
∴，
∴，
∴是定值．该定值为；
（2）解：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
∴∠PGE＝∠PHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，
由旋转可知∠EPF＝90°，
∴∠EPG＝∠FPH，
∴△PFH∽△PEG，
∴，
∵PE＝a，
∴PF＝ka，
∵∠BPE＝45°，∠BCP＝45°，
∴∠BPF＝∠BCP＝45°，
∵∠PBE＝∠CBP，
∴△PBE∽△CBP，
∴PB2＝BE BC，
同理可得PB2＝BF AB，
∵AB＝BC，
∴BE＝BF，
连接EF，则△BEF是等腰直角三角形，
在Rt△PEF中，S△PEFPE PF，
EF2＝PE2+PF2＝a2+（ka）2＝（1+k2）a2，
∴S△BEFBE BF，
∴S四边形PEBF＝S△PEF+S△BEF．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，则∠PGE＝∠PHF＝90°，根据正方形性质可得∠BCD＝90°，再根据矩形判定定理可得四边形PGCH是矩形，根据直角三角形两锐角互余可得∠CPH=45°，则PH＝CH，根据正方形判定定理可得四边形PGCH是正方形，则PG＝PH，∠HPF+∠GPF＝90°，再根据角之间的关系可得∠EPG＝∠FPH，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，由①可知四边形PGCH是正方形，则PG＝PH，∠PGC＝∠PHC＝∠BCD＝90°，△PEG≌△PFH，根据全等三角形性质可得S△PEG＝S△PFH，则S四边形PECF＝S△PEG+S四边形PGC=＝S正方形PGCH，根据相似三角形判定定理可得△CPH∽△CAD，且，则，再根据面积之间的关系即可求出答案.
（2）过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，则∠PGE＝∠PHF＝90°，根据正方形性质可得∠BCD＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，根据旋转性质可得∠EPF＝90°，则∠EPG＝∠FPH，再根据相似三角形判定定理可得△PFH∽△PEG，则，再根据角之间的关系可得∠BPF＝∠BCP＝45°，再根据相似三角形判定定理可得△PBE∽△CBP，则PB2＝BE BC，同理可得PB2＝BF AB，则BE＝BF，连接EF，则△BEF是等腰直角三角形，根据勾股定理可得EF2＝（1+k2）a2，再根据S四边形PEBF＝S△PEF+S△BEF，结合三角形面积即可求出答案.
1 / 1山东省德州市2025年中考数学试卷
1．（2025·德州）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·德州）下列实数为无理数的是（　　）
A．﹣3 B． C． D．
3．（2025·德州）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·德州）已知m，n是正整数，且满足3m 3m 3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　）
A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n
5．（2025·德州）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A＝42°，则∠CBD的度数为（　　）
A．21° B．27° C．30° D．34.5°
6．（2025·德州）在平面直角坐标系中，函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·德州）如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　）
A． B． C．（5，1） D．
8．（2025·德州）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5cm，则剩余部分的面积是（　　）
A．25πcm2 B． C． D．
9．（2025·德州）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
10．（2025·德州）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
11．（2025·德州） 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　 　．
12．（2025·德州）如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 　 　 ，使得AE∥BC．（写出一种情况即可）
13．（2025·德州）把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是 　 　 ．
14．（2025·德州）已知点P（a，b）在双曲线上，点M（6a，b），N（a，c）在双曲线上，若|b﹣c|＝2，则N的坐标为 　 　 ．
15．（2025·德州）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若，则MN的长度为 　 　 ．
16．（2025·德州）
（1）计算：；
（2）化简：
17．（2025·德州）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内．
（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
（2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）．
（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75）
18．（2025·德州）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：x≥30；良好：25≤x＜30；合格：20≤x＜25；不合格：x＜20．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 2718 27 28 29 31 32
信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
月份 平均数/个 众数/个 优秀率
3月 25.6 a b
6月 27.7 29 c
请根据以上信息，完成下面问题：
（1）补全条形图；
（2）表中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ；
（3）已知该校七年级共400人，请估算七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？
19．（2025·德州）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
20．（2025·德州）如图，A（﹣6，0），B（0，8），点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B'（a，0）处．
（1）求a的值；
（2）求直线AM的解析式；
（3）若直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝a的左侧，请直接写出t的取值范围．
21．（2025·德州）如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE．
（1）设∠ABC＝α，则∠EAC＝ 　 　 ；（用含α的式子表示）
（2）求证：AE＝DE；
（3）若DE＝2，BD＝1，求EF的长．
22．（2025·德州）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）．
（1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）．
①求该抛物线的解析式；
②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围；
（2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长．
23．（2025·德州）已知点O是正方形ABCD的中心，点P，E分别是对角线AC，边BC上的动点（均不与端点重合），作射线PE．
（1）将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE＝PF；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（2）如图3，连接BP，当∠BPE＝45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F．若，PE＝a，求四边形PEBF的面积（用含a，k的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A不是无理数，不符合题意；
B是无理数，符合题意；
C不是无理数，不符合题意；
D不是无理数，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
与它对应的物体是
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：3m 3m 3m＝33m=3n
∴3m=n
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=42°
∴2∠ABC+42°=180°
∴∠ABC=69°
由尺规作图可知：MN是线段AB的垂直平分线
∴DA=DB
∴∠DBA=∠A=42°
∴∠CBD=∠ABC-∠DBA=27°
故答案为：B
【分析】根据等边对等角可得∠ABC=∠C，再根据三角形内角和定理可得∠ABC=69°，由尺规作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得DA=DB，根据等边对等角可得∠DBA=∠A=42°，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；化简含绝对值有理数；分类讨论
【解析】【解答】解：当x>0时，|x|=x
∴，图象在第四象限
当x<0时，|x|=-x
∴，图象在第三象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值性质分类讨论，结合反比例函数图象即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°
即△AFD是直角三角形
∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）
∴OA=BC=3，AB=OC=2
∴矩形OABC的周长为2(OA+AB)=10，面积为
∵四边形OADE是平行四边形
∴AD=DE，DE=OA=3
∴平行四边形OADE的周长为2(OA+AD)=2(3+AD)，面积为
∵ OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，
∴2(3+AD)=10，
∴AD=2，DF=1
∴
∴
∴点D的坐标为
故答案为：A
【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°，即△AFD是直角三角形，根据两点间距离可得OA=BC=3，AB=OC=2，求出矩形OABC的周长与面积，根据平行四边形性质可得AD=DE，DE=OA=3，再求出平行四边形OADE的周长与面积，根据题意建立等式，可得AD=2，DF=1，再根据勾股定理可得AF，再根据边之间的关系可得OF，再根据点的坐标即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：平移小圆，使小圆的圆心与点O重合，小圆与AB相切与点C，连接OC，OA
∴OC⊥AB
∴
∴
∴剩余部分的面积为：
故答案为：D
【分析】平移小圆，使小圆的圆心与点O重合，小圆与AB相切与点C，连接OC，OA，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得，再根据剩余面积=大的半圆面积-小的半圆面积即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组
x+2y＝5的正整数解有2组
x+2y＝7的正整数解有3组
......
∴对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组
∵x+2y+2z＝15
∴x+2(y+z)=15
设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k
∵x，k为正整数
∴15-2k>0，解得：k<7.5
∴k的取值为：2，3，4，5，6，7
当k=2时，y+z=2，正整数解有1组
当k=3时，y+z=3，正整数解有2组
当k=4时，y+z=4，正整数解有3组
当k=5时，y+z=5，正整数解有4组
当k=6时，y+z=6，正整数解有5组
当k=7时，y+z=7，正整数解有6组
∴x+2y+2z＝15的正整数解：1+2+3+4+5+6=21组
故答案为：B
【分析】根据题意，总结规律可得对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组，设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k，根据x，k为正整数，可得k的取值为：2，3，4，5，6，7，再根据规律判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】∠DAE=∠B（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：要使AE∥BC，添加∠DAE=∠B
∵同位角相等，两直线平行
故答案为：∠DAE=∠B（答案不唯一）
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
共有30种等可能的结果，其中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的有4种结果
∴从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是
故答案为：
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的结果，再根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】（，）或（－，－）
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵点P（a，b）在双曲线上，
∴ab=1
∵点M（6a，b），N（a，c）在双曲线上，
∴6ab=ac=k
∴c=6b
∵|b﹣c|＝2
∴|b-6b|=2
解得：或
当时，
当时，
∴点N的坐标为（，）或（－，－）
故答案为：（，）或（－，－）
【分析】将点F坐标代入双曲线可得ab=1，将点M，N坐标代入双曲线可得6ab=ac=k，则c=6b，再代入方程可得|b-6b|=2，解方程可得或，再求出a，c值即可.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P
∵AB＝3，，∠ABD=90°
∴
∵M，N分别时AD，CE的中点，∠ABD=∠CBE=90°
∴
∴∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN
∵∠DAB=∠E，∠CBE=∠E+∠BCE=90°
∴∠CBN+∠ABM=90°
∵∠ABC=30°
∴∠MBN=30°+90°=120°
∴∠PBN=60°
∵∠P=90°
∴∠PMB=30°
∴
∴
∵∠ABD=∠CBE=90°，∠DAB=∠E
∴△ABD∽△EBC
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P，根据勾股定理可得BD，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等边对等角可得∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN，再根据角之间的关系可得∠PMB=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得PB，根据勾股定理可得PM，再根据相似三角形判定定理可得△ABD∽△EBC，则，代值计算可得CE，再根据边之间的关系可得NP，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式＝222
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据二次根式，绝对值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，过点B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米，
则BE＝AB sinA≈200×0.28＝56（m），
答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m；
（2）解：如图，过点B作BF⊥CD于F，
则四边形BEDF为矩形，
∴DF＝BE＝56m，
∵CD＝296m，
∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m），
在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°，
则BC400（m），
答：车的行驶路线BC的长约为400m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥AD于E，根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点B作BF⊥CD于F，则四边形BEDF为矩形，根据矩形性质可得DF＝BE＝56m，根据边之间的关系可得CF，再根据正弦定义即可求出答案.
18．【答案】（1）解：由题意得，总人数为20人，
∴合格人数：20×30%＝6人；优秀人数：20﹣5﹣6﹣2＝7人．
∴补全后条形图：优秀对应人数7，合格对应人数6．
（2）27；20%；35%
（3）解：由题意，∵3月优秀率20%，6月优秀率35%，
∴七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加的人数为400×（35%﹣20%）＝400×15%＝60（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由题意，分析3月成绩，∵27出现次数最多（4次），
∴a＝27．
又∵3月优秀人数为4人，
∴优秀率．
∵6月优秀人数为7人，
∴优秀率．
故答案为：27；20%；35%．
【分析】（1）由题意可得总人数为20人，分别求出合格，优秀人数，再补全图形即可.
（2）根据众数定义可得a值，根据优秀人数÷总人数可得b，c值.
（3）根据总人数乘以优秀增长率即可求出答案.
19．【答案】解：【方案一】由题意，设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为6m，
∴3x+2y＝6．
∵长宽之比为5：3，
∴长为横向边y，宽为纵向边x，黄金分割比中长＞宽，故y：x＝5：3，即：．
将代入3x+2y＝6得，3x+2x＝6．
∴x．
答：窗户框架的宽AB为m．
【方案二】由题意，设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，
∴，即，
∴要使窗架的面积最大，则，于是宽为．
∴当x＝1.5时，S最大值为1.5．
∴要使做成的窗架的面积最大，故该窗的AB，AD分别为1米，1.5米时，窗架的面积最大，最大值为1.5m2．
【知识点】黄金分割；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】【方案一】设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，由题意可得3x+2y＝6，再根据黄金分割可得，再代入方程，解方程即可求出答案.
【方案二】设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，根据矩形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
在Rt△OAB中，AB2＝OA2+OB2，
∴AB＝10，
由题意得△ABM≌△AB'M，
∴AB＝AB'＝OA+OB'＝10，
∴a＝4；
（2）解：设M（0，m），
由题意得△ABM≌△AB'M，
∴BM＝B'M＝8﹣m，
由（1）得OB'＝4，
在Rt△OB'M中，MB'2＝OM2+OB'2，
∴（8﹣m）2＝m2+16，
解得m＝3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣6，0），M（0，3）代入得，
，
解得，
∴直线AM的解析式为；
（3）解：t＜9．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（3）直线y＝﹣x+t与直线AM相交，
当x＝4时，交点坐标为（4，5），
此时﹣4+t＝5，则t＝9，
∵直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝4的左侧，
∴由图象得t＜9．
【分析】（1）根据两点间距离可得OA＝6，OB＝8，根据勾股定理可得AB，再根据折叠性质可得△ABM≌△AB'M，则AB＝AB'，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设M（0，m），根据折叠性质可得△ABM≌△AB'M，则BM＝B'M＝8﹣m，根据勾股定理建立方程，解方程可得M（0，3），设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式即可求出答案.
（3）将x=4代入直线AM解析式可得交点坐标为（4，5），再代入直线y＝﹣x+t，可得t＝9，再根据题意即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）证明：连接AD，
∵点D是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EAC+∠CAD，∠EDA＝∠BAD+∠ABD，
又∵∠EAC＝∠EBC＝∠EBA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE；
（3）解：由题可知AE＝DE＝2，BE＝DE+BD＝3，
∵∠EBA＝∠EAF，∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EBA，
∴，
∴EF
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵点D是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC∠ABC，
∵，
∴∠CAE＝∠CBE；
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形内心性质可得BE平分∠ABC，则∠ABE＝∠EBC∠ABC，再根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）连接AD，根据三角形内心性质可得AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，再根据三角形外角性质可得∠EDA＝∠BAD+∠ABD，根据角之间的关系可得∠EAD＝∠EDA，再根据等角对等边即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得AE＝DE＝2，BE＝DE+BD＝3，再根据相似三角形判定定理可得△EAF∽△EBA，则，代值计算即可求出答案.
22．【答案】（1）解：①∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5）和（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1；
②抛物线y＝x2+5x﹣1的对称轴为x，
B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2），
∵对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，
∴由图象性质得3t+2≤﹣7或3t﹣1≥2，
解得t≤﹣3或t≥1；
（2）解：∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5），
∴1+2m+3+n＝5，
则n＝1﹣2m，
∵对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，
∴x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立，
∴Δ＝4m2﹣4（﹣1﹣2m）≤0，
（m+1）2≤0，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+3，
联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4，
得x2+x+3＝4，
解得，
∴交点M，N的横坐标分别为和，
∴MN．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点（1，5）和（0，﹣1）代入抛物线解析式即可求出答案.
②根据抛物线对称性质可得B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2），再根据二次函数性质即可求出答案.
（2）将点（1，5）代入抛物线可得n＝1﹣2m，由题意可得x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立，可得对应方程有一个解或者无解，则判别式，解不等式可得m＝﹣1，则抛物线解析式为y＝x2+x+3，再联立联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4，可得得x2+x+3＝4，解方程可得交点M，N的横坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
23．【答案】（1）解：①证明：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
则∠PGE＝∠PHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∵∠PCH＝45°，
在Rt△PCH中，∠CPH＝90°﹣45°＝45°，
∴PH＝CH，
∴四边形PGCH是正方形，
∴PG＝PH，∠HPF+∠GPF＝90°，
∵∠EPG+∠GPF＝90°，
∴∠EPG＝∠FPH，
∴△PEG≌△PFH（ASA），
∴PE＝PF；
②解：是定值，
过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
由①可知四边形PGCH是正方形，
∴PG＝PH，∠PGC＝∠PHC＝∠BCD＝90°，△PEG≌△PFH，
∴S△PEG＝S△PFH，
∴S四边形PECF＝S△PEG+S四边形PGCF
＝S△PFH+S四边形PGCF
＝S正方形PGCH，
∵，
∴，
∵PH∥AD，
∴△CPH∽△CAD，且，
∴，
∴，
∴是定值．该定值为；
（2）解：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
∴∠PGE＝∠PHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，
由旋转可知∠EPF＝90°，
∴∠EPG＝∠FPH，
∴△PFH∽△PEG，
∴，
∵PE＝a，
∴PF＝ka，
∵∠BPE＝45°，∠BCP＝45°，
∴∠BPF＝∠BCP＝45°，
∵∠PBE＝∠CBP，
∴△PBE∽△CBP，
∴PB2＝BE BC，
同理可得PB2＝BF AB，
∵AB＝BC，
∴BE＝BF，
连接EF，则△BEF是等腰直角三角形，
在Rt△PEF中，S△PEFPE PF，
EF2＝PE2+PF2＝a2+（ka）2＝（1+k2）a2，
∴S△BEFBE BF，
∴S四边形PEBF＝S△PEF+S△BEF．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，则∠PGE＝∠PHF＝90°，根据正方形性质可得∠BCD＝90°，再根据矩形判定定理可得四边形PGCH是矩形，根据直角三角形两锐角互余可得∠CPH=45°，则PH＝CH，根据正方形判定定理可得四边形PGCH是正方形，则PG＝PH，∠HPF+∠GPF＝90°，再根据角之间的关系可得∠EPG＝∠FPH，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，由①可知四边形PGCH是正方形，则PG＝PH，∠PGC＝∠PHC＝∠BCD＝90°，△PEG≌△PFH，根据全等三角形性质可得S△PEG＝S△PFH，则S四边形PECF＝S△PEG+S四边形PGC=＝S正方形PGCH，根据相似三角形判定定理可得△CPH∽△CAD，且，则，再根据面积之间的关系即可求出答案.
（2）过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，则∠PGE＝∠PHF＝90°，根据正方形性质可得∠BCD＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，根据旋转性质可得∠EPF＝90°，则∠EPG＝∠FPH，再根据相似三角形判定定理可得△PFH∽△PEG，则，再根据角之间的关系可得∠BPF＝∠BCP＝45°，再根据相似三角形判定定理可得△PBE∽△CBP，则PB2＝BE BC，同理可得PB2＝BF AB，则BE＝BF，连接EF，则△BEF是等腰直角三角形，根据勾股定理可得EF2＝（1+k2）a2，再根据S四边形PEBF＝S△PEF+S△BEF，结合三角形面积即可求出答案.
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