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一元一次不等式的项目化题型-浙教版数学八年级上册培优训练
一、方案问题
1．（2025八上·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计采购方案？
素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元．
素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元．
素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件．
问题解决
任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元．
任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件．最多能买几套书签？
任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用．
【答案】解：任务1.设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元，根据题意，得，
解得，
所以1套书签为46元，1个冰箱贴为28元；
任务2.设老师打算购买书签为a件，则冰箱贴为件，根据题意，得
，
解得，
所以老师打算最多购买16套书签；
任务3.设总费用为W，根据题意，得
，
即，且，
∵，
∴一次函数值w随着a的增大而增大，
∴当时，元．
即购买13件书签，12件冰箱贴所需费用最省，最省费用为934元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元 ，由“ 1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元”列出方程x=y+18，由“ 购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元 ”列出方程x+4y=158，联立两方程，求解即可；
（2）设老师打算购买书签为a套，则冰箱贴为（25-a）件，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用不超过1000列出不等式，求出最大整数解即可；
（3）设总费用为W，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用=总费用用含a的式子表示出w，结合“ 购买的书签比冰箱贴多 ”求出a的取值范围，再根据一次函数的性质得出答案．
2．
背景 【缤纷618，优惠送大家】今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618 活动，进入 6 月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车.
素材 如图为购物车叠.放在一起的示意图，若一辆购物 车车 身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m.
问题解决
任务1 若该商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n之间的函数表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车，则直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车
任务3 在任务2的条件下，若该商场的扶手电梯一次性可以运输24 辆购物车，若要运输100 辆购物车，且最多只能使用电梯5 次，共有多少种运输方案
【答案】解：任务1：根据条件得知，当n=1时，车身长1m；当n=2时，车身长（1+0.2）=1.2m，
设车身总长L与购物车辆数n之间的函数表达式L=nx+b，因此有
，解得，
∴L=0.2n+0.8(n≥1且n为整数)
任务2：根据条件列式为0.2n+0.8≤2.6，解得n≤9，即运输一列购物车，则直立电梯一次性最多可以运输9辆购物车，
∵ 一次可以运输两列购物车 ，
∴9×2=18辆
即直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车。
任务3：设使用扶手电梯m次，则使用直立电梯（5-m）次，列式为
24m+18（5-m）≥100，解得m≥
∵m≤5，且m是整数，
∴m=2、3、4、5，共四种运输方案。
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】任务1，首先列出L和n的函数关系式，然后利用待定系数法将当n=1时，车身长1m，当n=2时，车身长1.2m分别代入，计算即可；
任务2，结合任务1的函数关系式，先求出运输一列购物车最多可以运输9辆，因为是两列，因此最多18辆；
任务3，可以假设使用扶手电梯m次，则使用直立电梯（5-m）次，然后列出一元一次不等式，最后求出m的取值范围后，找到对应的整数个数即可。
3．（2024八上·杭州期中）根据以下素材，探索完成任务.
如何确定箭头形指示牌
素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米.
素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元.
问题解决
任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由.
任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值.
【答案】解：任务1：他的说法对，
理由如下：
如图：过点B作于点G，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
，
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务2：该指示牌是轴对称图形， 四边形是长方形，
设，则，的高为(米)，
长方形的面积为：(平方米)，
三角形的面积为：(平方米)，
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：，
解得，
故长度的最大值为米
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】任务1：过点B作于点G，利用矩形的性质可证得∠BGC=∠DEC，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
任务2：利用轴对称图形的性质可知四边形EFHD是矩形；设，可表示出BC的长，再求出的高，根据制作广告牌的总费用不超过元列不等式，然后求出不等式的最大值即可.
4．如表所示为某工厂生产的一种产品信息表． 产品运输件数等于收到的订单数， 多余的生产产品不需要运输．
生产信息表 出厂价每件1.2万元 　 处理方案 每吨废渣处理费 每次设备损耗费
流程 每件成本
生产 0.45万元 直接处理 0.05万元 10万元
运输 0.1万元 集中处理 0.1万元 0
废渣排放 平均原材料每生产1吨产品产生1吨废渣
（1） 求出产品生产件数满足什么条件时， 选择直接处理废渣方案更节省．
（2）工厂计划生产一批产品， 现有资金 110 万元，且全部用完．
①若产品生产件数比订单数多 70 件， 废渣处理方案二选一， 求产品生产的件数．
②为响应 “碳达峰”， 将两种废渣处理方案同时进行， 为了利润最大化， 且市场需求量大，则如何安排废渣处理方案可使得总利润最大？ 最大总利润为多少万元？
【答案】（1）解：产品生产件数满足大于 200
（2）解：①设产品生产y件
则0.45y+0.05y+10+0.1(y-70)=110 或 0.45y+0.1y+0.1(y-70)=110，
∴（舍）或y=180
∴产品生产180件
②设生产产品m件，直接处理n件，集中处理（m-n)件
0.45m+0.1m+0.05n+10+0.1(m-n)=110
∴
∵m、n为正整数且
故利润为1.2m-110
当m取最大值时，利润最大
∴当m=166时，最大利润为89.2万元
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）设产品生产x件
则直接处理花费：（0.45+0.1）x+0.05x+10=（0.6x+10)万元
集中处理花费：（0.45+0.1）x+0.1x=0.65x万元
∴0.6x+10＜0.65x
∴x＞200
【分析】（1）设未知数，根据两种不同处理方式的费用大小可列不等式，求解即可；
（2）①根据两种不同处理方式的费用可列等式，根据实际问题的解可得结果；
②根据利润的代数式可得当生产产品最多时利润最大，再根据资金可得生产产品的最大数量，即可得结果.
5．（2024八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，右图表是近两周的销售情况： 销售时段徽章（个）钥匙扣（个）销售收入（元）第一周43130第二周55200
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
素材2 该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个．
问题解决
任务1 请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价
任务2 该商店至少采购徽章多少个？
任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？
【答案】解：任务1：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元；
任务2：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，
根据题意，得，
解得，
答：该商店至少采购徽章10个；
任务3：根据题意，得，
解得，
∵，且a为正整数，
∴a可以为10，11，12，
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元），
∵，
∴在这些采购方案中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，该商店获利最高．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，由题中的相等关系“4徽章收入+3钥匙扣收入=130，5徽章收入+5钥匙扣收入=200”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
任务2：根据题意，设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，由题中的不等关系"a个徽章的进货费用+(50-a)个钥匙扣的进货费用≤710"列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义即可求解；
任务3：根据题意，由利润＝单件利润×数量列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义可得a的值，分别计算总利润并比较大小即可判断求解．
6．（2025·龙岗模拟）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
7．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
8．（2024九下·西塘开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．
素材二 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二 探究等腰三角形面积 假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式．
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值」
【答案】任务一：解：他的说法对，理由如下：
作于点，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
．
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务二：解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形，且点A到的距离为1.2米，米，
，
等腰三角形的面积为（平方米），
．
任务三：解：米，米．
长方形的面积为（平方米），
甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
又甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形，
，
解得，
长度的最大值为米．
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一，作BH⊥DC于点H，由矩形性质及垂直定义可得∠BHC=∠DGC，从而可由AAS判断出△BHC≌△GDC，进而根据全等三角形的对应边相等可得DG=BH，从而可得结论；
任务二，利用三角形面积公式，即可建立S关于x的函数表达式；
任务三，利用总费用为制作三角形部分所需费用加上制作矩形部分所需费用及总费用不超过180元，建立不等式求解，并求出最大值即可.
9．（2024七下·大同月考）综合与实践：
【问题情境】
2024年3月4日，“定山西 向未来”城市智趣跑活动在山西太原开幕．本次活动，激扬全民运动热情．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品．
素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元．
素材2：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售已知小明在此之前不是该商店的会员；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮．
【解决问题】
(1)该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少元？
【拓展提升】
(2)小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共40个，其中款运动盲盒个()，若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．(均用含的代数式表示)
【综合应用】
(3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购买款运动盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【答案】解：（1）设该商店在无促销活动时，款运动盲盒的销售单价是元，款运动盲盒的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店在无促销活动时，款运动盲盒的销售单价是元，款运动盲盒的销售单价是元；
（2）， ；
（3）根据题意得：，
解得：，
又，
．
答：当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）根据题意得：在线下商店购买，共需要元；
在线上淘宝店购买，共需要元．
故答案为：，；
【分析】（1）设该商店在无促销活动时，款运动盲盒的销售单价是元，款运动盲盒的销售单价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意建立关系式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
二、利润与费用问题
10．（2024·柯桥模拟）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【答案】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，
∴
解得：；
（2）根据题意可列方程得：
，
整理得：，
解得：，，
由（1）得：，
∴x=190不符合题意，应舍去，
，
路面设置的宽度符合要求；
答：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意可列方程得：
整理得：
解得：，
由（1）得：，
∴x=195不符合题意，应舍去，
，
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”可列关于的不等式，解这个不等式即可求得x的取值范围；
（2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解；
（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解．
11．（2024八下·瑞安期中）根据背景材料，探索问题．
清明果销售价格的探究
素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋．
任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示)
②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？
【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，
又设第二周单价为每袋降低元，
第二周的单价为元，销量是袋．
故答案为：；．
任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为：
．
故答案为：．
②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
．
或．
又第二周最低每袋要盈利元，
．
．
．
第二周的单价每袋应是．
答：第二周的单价每袋应是元．
【分析】
任务1：根据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，根据第二周单价等于原单价-第二周单价每袋降低的钱数可将第二周的单价表示出来；根据销量等于降价前的销量+降价后增加的销量可将第二周的销售量用含x的代数式表示出来；
任务2：①根据题意，经两周后还剩余清明果为：，去括号、合并同类项即可求解；
②根据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得关于x的方程，解方程求出的值，再结合第二周最低每袋要盈利元可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
12．（2025·玉林模拟）综合与实践
为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
参数类型 燃油汽车 新能源汽车
能源类型 燃油 电能
能源容量 油箱容积：升 电池电量：千瓦时
能源价格 油价：元/升 电价：元/千瓦时
续航里程 千米 千米
据调查，燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多元，燃油汽车和新能源汽车每年的其它费用分别为元和元．
请按要求完成下列任务：
（1）用含的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用；
（2）分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用；
（3）每年行驶里程满足什么条件时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：（元）.
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元.
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据电池电量：千瓦时，电价：元/千瓦时，续航里程千米，列式计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再解方程计算求解即可；
（3）根据题意找出不等关系求出，再解不等式计算求解即可.
（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：元；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元；
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
13．（2024八下·北仑期中）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万元.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
（2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润=销售利润-承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
【答案】解：（1）5≤x≤12；
（2）根据题意得：(300-2x)(200-2×2x)=44800，
整理得：x2-200x+1900=0，
解得：x1=10，X2=190(不符合题意，舍去)
∵5≤10<≤12，
∴路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(100-y)元，每月可售出5000+×500-(5000+100y)=(5000+100y)平方米草莓，
根据题意得：(100-y)(5000+100y)-20000 =520000，
整理得：y2-50y+400=0，
解得：y1=10，y2=40，
又∵要让利于顾客，∴y=40.
答：每平方米草莓平均利润下调40元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵道路宽度x不超过12米，且不小于5米，
∴纵向道路宽度x的取值范围为：5≤x≤12；
【分析】（1）根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米"，即可得出纵向道路宽度x的取值范围；
（2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为(300-2x)米、宽为(200-2×2x)米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照（1）中x的取值范围，即可得出结论；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(100-y)元，每月可售出(5000+100y)平方米草莓，利用总利润=销售利润一承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论.
三、几何问题
14．（2025·钦州模拟）综合与实践
现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究．
【实践操作】
（1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值；
（2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式；
（3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式；
【知识运用】
（4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？
【答案】（1）解：当x=6时，y=25，
∴，
解得：a=3
（2）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，
当时，，时，，
∴，
解得：，
∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为；
（3）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，
当；，
∴，
解得：，
∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为；
（4）解：由题意得：，
解得：，
∴最多能叠放17只杯子．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查一次函数实际应用和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，准确找出等量关系是解题关键．
（1）根据题意可知：当x=6，时，y=25代入代入函数解析式 ，解得a的值即可得出答案；
（2）设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，根据题中的数据，利用待定系数法求解即可得出函数解析式；
（3）设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 根据题中的数据，利用待定系数法求解即可得出函数解析式；
（4）由题意得，解不等式即可得出答案．
15．（2025·高州模拟）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
四、跨学科实践
16．（2024七下·路桥期末）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计．
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数．
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度．
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
②图4中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
（2）求弹簧的原长．
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是．
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）．
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力．
任务3：
（4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了______N．
【答案】解：（1）①；②；
（2）（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，
∴，，
又，
∴
∴；
（3）（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是
∴，
∴，即，
∴该弹簧测力计的量程为；
（4）0.12.
【知识点】一元一次不等式的应用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
②图4中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
（4）∵，
∴ 1.2×0.1=0.12，即弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，
故答案为：（1）；（2）；（4）0.12．
【分析】（1）①②根据弹簧伸长的长度即可求得；
（2）根据可得，，根据，即可求得L0；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，再根据，即可求得量程；
（4）直接根据即可．
1 / 1一元一次不等式的项目化题型-浙教版数学八年级上册培优训练
一、方案问题
1．（2025八上·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计采购方案？
素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元．
素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元．
素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件．
问题解决
任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元．
任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件．最多能买几套书签？
任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用．
2．
背景 【缤纷618，优惠送大家】今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618 活动，进入 6 月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车.
素材 如图为购物车叠.放在一起的示意图，若一辆购物 车车 身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m.
问题解决
任务1 若该商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n之间的函数表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车，则直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车
任务3 在任务2的条件下，若该商场的扶手电梯一次性可以运输24 辆购物车，若要运输100 辆购物车，且最多只能使用电梯5 次，共有多少种运输方案
3．（2024八上·杭州期中）根据以下素材，探索完成任务.
如何确定箭头形指示牌
素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米.
素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元.
问题解决
任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由.
任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值.
4．如表所示为某工厂生产的一种产品信息表． 产品运输件数等于收到的订单数， 多余的生产产品不需要运输．
生产信息表 出厂价每件1.2万元 　 处理方案 每吨废渣处理费 每次设备损耗费
流程 每件成本
生产 0.45万元 直接处理 0.05万元 10万元
运输 0.1万元 集中处理 0.1万元 0
废渣排放 平均原材料每生产1吨产品产生1吨废渣
（1） 求出产品生产件数满足什么条件时， 选择直接处理废渣方案更节省．
（2）工厂计划生产一批产品， 现有资金 110 万元，且全部用完．
①若产品生产件数比订单数多 70 件， 废渣处理方案二选一， 求产品生产的件数．
②为响应 “碳达峰”， 将两种废渣处理方案同时进行， 为了利润最大化， 且市场需求量大，则如何安排废渣处理方案可使得总利润最大？ 最大总利润为多少万元？
5．（2024八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，右图表是近两周的销售情况： 销售时段徽章（个）钥匙扣（个）销售收入（元）第一周43130第二周55200
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
素材2 该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个．
问题解决
任务1 请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价
任务2 该商店至少采购徽章多少个？
任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？
6．（2025·龙岗模拟）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
7．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
8．（2024九下·西塘开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．
素材二 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二 探究等腰三角形面积 假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式．
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值」
9．（2024七下·大同月考）综合与实践：
【问题情境】
2024年3月4日，“定山西 向未来”城市智趣跑活动在山西太原开幕．本次活动，激扬全民运动热情．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品．
素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元．
素材2：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售已知小明在此之前不是该商店的会员；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮．
【解决问题】
(1)该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少元？
【拓展提升】
(2)小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共40个，其中款运动盲盒个()，若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．(均用含的代数式表示)
【综合应用】
(3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购买款运动盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
二、利润与费用问题
10．（2024·柯桥模拟）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
11．（2024八下·瑞安期中）根据背景材料，探索问题．
清明果销售价格的探究
素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋．
任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示)
②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？
12．（2025·玉林模拟）综合与实践
为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
参数类型 燃油汽车 新能源汽车
能源类型 燃油 电能
能源容量 油箱容积：升 电池电量：千瓦时
能源价格 油价：元/升 电价：元/千瓦时
续航里程 千米 千米
据调查，燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多元，燃油汽车和新能源汽车每年的其它费用分别为元和元．
请按要求完成下列任务：
（1）用含的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用；
（2）分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用；
（3）每年行驶里程满足什么条件时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
13．（2024八下·北仑期中）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万元.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
（2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润=销售利润-承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
三、几何问题
14．（2025·钦州模拟）综合与实践
现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究．
【实践操作】
（1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值；
（2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式；
（3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式；
【知识运用】
（4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？
15．（2025·高州模拟）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
四、跨学科实践
16．（2024七下·路桥期末）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计．
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数．
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度．
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
②图4中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
（2）求弹簧的原长．
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是．
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）．
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力．
任务3：
（4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了______N．
答案解析部分
1．【答案】解：任务1.设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元，根据题意，得，
解得，
所以1套书签为46元，1个冰箱贴为28元；
任务2.设老师打算购买书签为a件，则冰箱贴为件，根据题意，得
，
解得，
所以老师打算最多购买16套书签；
任务3.设总费用为W，根据题意，得
，
即，且，
∵，
∴一次函数值w随着a的增大而增大，
∴当时，元．
即购买13件书签，12件冰箱贴所需费用最省，最省费用为934元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元 ，由“ 1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元”列出方程x=y+18，由“ 购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元 ”列出方程x+4y=158，联立两方程，求解即可；
（2）设老师打算购买书签为a套，则冰箱贴为（25-a）件，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用不超过1000列出不等式，求出最大整数解即可；
（3）设总费用为W，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用=总费用用含a的式子表示出w，结合“ 购买的书签比冰箱贴多 ”求出a的取值范围，再根据一次函数的性质得出答案．
2．【答案】解：任务1：根据条件得知，当n=1时，车身长1m；当n=2时，车身长（1+0.2）=1.2m，
设车身总长L与购物车辆数n之间的函数表达式L=nx+b，因此有
，解得，
∴L=0.2n+0.8(n≥1且n为整数)
任务2：根据条件列式为0.2n+0.8≤2.6，解得n≤9，即运输一列购物车，则直立电梯一次性最多可以运输9辆购物车，
∵ 一次可以运输两列购物车 ，
∴9×2=18辆
即直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车。
任务3：设使用扶手电梯m次，则使用直立电梯（5-m）次，列式为
24m+18（5-m）≥100，解得m≥
∵m≤5，且m是整数，
∴m=2、3、4、5，共四种运输方案。
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】任务1，首先列出L和n的函数关系式，然后利用待定系数法将当n=1时，车身长1m，当n=2时，车身长1.2m分别代入，计算即可；
任务2，结合任务1的函数关系式，先求出运输一列购物车最多可以运输9辆，因为是两列，因此最多18辆；
任务3，可以假设使用扶手电梯m次，则使用直立电梯（5-m）次，然后列出一元一次不等式，最后求出m的取值范围后，找到对应的整数个数即可。
3．【答案】解：任务1：他的说法对，
理由如下：
如图：过点B作于点G，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
，
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务2：该指示牌是轴对称图形， 四边形是长方形，
设，则，的高为(米)，
长方形的面积为：(平方米)，
三角形的面积为：(平方米)，
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：，
解得，
故长度的最大值为米
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】任务1：过点B作于点G，利用矩形的性质可证得∠BGC=∠DEC，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
任务2：利用轴对称图形的性质可知四边形EFHD是矩形；设，可表示出BC的长，再求出的高，根据制作广告牌的总费用不超过元列不等式，然后求出不等式的最大值即可.
4．【答案】（1）解：产品生产件数满足大于 200
（2）解：①设产品生产y件
则0.45y+0.05y+10+0.1(y-70)=110 或 0.45y+0.1y+0.1(y-70)=110，
∴（舍）或y=180
∴产品生产180件
②设生产产品m件，直接处理n件，集中处理（m-n)件
0.45m+0.1m+0.05n+10+0.1(m-n)=110
∴
∵m、n为正整数且
故利润为1.2m-110
当m取最大值时，利润最大
∴当m=166时，最大利润为89.2万元
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）设产品生产x件
则直接处理花费：（0.45+0.1）x+0.05x+10=（0.6x+10)万元
集中处理花费：（0.45+0.1）x+0.1x=0.65x万元
∴0.6x+10＜0.65x
∴x＞200
【分析】（1）设未知数，根据两种不同处理方式的费用大小可列不等式，求解即可；
（2）①根据两种不同处理方式的费用可列等式，根据实际问题的解可得结果；
②根据利润的代数式可得当生产产品最多时利润最大，再根据资金可得生产产品的最大数量，即可得结果.
5．【答案】解：任务1：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元；
任务2：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，
根据题意，得，
解得，
答：该商店至少采购徽章10个；
任务3：根据题意，得，
解得，
∵，且a为正整数，
∴a可以为10，11，12，
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元），
∵，
∴在这些采购方案中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，该商店获利最高．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，由题中的相等关系“4徽章收入+3钥匙扣收入=130，5徽章收入+5钥匙扣收入=200”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
任务2：根据题意，设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，由题中的不等关系"a个徽章的进货费用+(50-a)个钥匙扣的进货费用≤710"列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义即可求解；
任务3：根据题意，由利润＝单件利润×数量列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义可得a的值，分别计算总利润并比较大小即可判断求解．
6．【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
7．【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】任务一：解：他的说法对，理由如下：
作于点，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
．
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务二：解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形，且点A到的距离为1.2米，米，
，
等腰三角形的面积为（平方米），
．
任务三：解：米，米．
长方形的面积为（平方米），
甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
又甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形，
，
解得，
长度的最大值为米．
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一，作BH⊥DC于点H，由矩形性质及垂直定义可得∠BHC=∠DGC，从而可由AAS判断出△BHC≌△GDC，进而根据全等三角形的对应边相等可得DG=BH，从而可得结论；
任务二，利用三角形面积公式，即可建立S关于x的函数表达式；
任务三，利用总费用为制作三角形部分所需费用加上制作矩形部分所需费用及总费用不超过180元，建立不等式求解，并求出最大值即可.
9．【答案】解：（1）设该商店在无促销活动时，款运动盲盒的销售单价是元，款运动盲盒的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店在无促销活动时，款运动盲盒的销售单价是元，款运动盲盒的销售单价是元；
（2）， ；
（3）根据题意得：，
解得：，
又，
．
答：当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）根据题意得：在线下商店购买，共需要元；
在线上淘宝店购买，共需要元．
故答案为：，；
【分析】（1）设该商店在无促销活动时，款运动盲盒的销售单价是元，款运动盲盒的销售单价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意建立关系式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
10．【答案】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，
∴
解得：；
（2）根据题意可列方程得：
，
整理得：，
解得：，，
由（1）得：，
∴x=190不符合题意，应舍去，
，
路面设置的宽度符合要求；
答：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意可列方程得：
整理得：
解得：，
由（1）得：，
∴x=195不符合题意，应舍去，
，
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”可列关于的不等式，解这个不等式即可求得x的取值范围；
（2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解；
（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解．
11．【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，
又设第二周单价为每袋降低元，
第二周的单价为元，销量是袋．
故答案为：；．
任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为：
．
故答案为：．
②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
．
或．
又第二周最低每袋要盈利元，
．
．
．
第二周的单价每袋应是．
答：第二周的单价每袋应是元．
【分析】
任务1：根据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，根据第二周单价等于原单价-第二周单价每袋降低的钱数可将第二周的单价表示出来；根据销量等于降价前的销量+降价后增加的销量可将第二周的销售量用含x的代数式表示出来；
任务2：①根据题意，经两周后还剩余清明果为：，去括号、合并同类项即可求解；
②根据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得关于x的方程，解方程求出的值，再结合第二周最低每袋要盈利元可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
12．【答案】（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：（元）.
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元.
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据电池电量：千瓦时，电价：元/千瓦时，续航里程千米，列式计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再解方程计算求解即可；
（3）根据题意找出不等关系求出，再解不等式计算求解即可.
（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：元；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元；
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
13．【答案】解：（1）5≤x≤12；
（2）根据题意得：(300-2x)(200-2×2x)=44800，
整理得：x2-200x+1900=0，
解得：x1=10，X2=190(不符合题意，舍去)
∵5≤10<≤12，
∴路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(100-y)元，每月可售出5000+×500-(5000+100y)=(5000+100y)平方米草莓，
根据题意得：(100-y)(5000+100y)-20000 =520000，
整理得：y2-50y+400=0，
解得：y1=10，y2=40，
又∵要让利于顾客，∴y=40.
答：每平方米草莓平均利润下调40元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵道路宽度x不超过12米，且不小于5米，
∴纵向道路宽度x的取值范围为：5≤x≤12；
【分析】（1）根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米"，即可得出纵向道路宽度x的取值范围；
（2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为(300-2x)米、宽为(200-2×2x)米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照（1）中x的取值范围，即可得出结论；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(100-y)元，每月可售出(5000+100y)平方米草莓，利用总利润=销售利润一承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论.
14．【答案】（1）解：当x=6时，y=25，
∴，
解得：a=3
（2）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，
当时，，时，，
∴，
解得：，
∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为；
（3）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，
当；，
∴，
解得：，
∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为；
（4）解：由题意得：，
解得：，
∴最多能叠放17只杯子．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查一次函数实际应用和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，准确找出等量关系是解题关键．
（1）根据题意可知：当x=6，时，y=25代入代入函数解析式 ，解得a的值即可得出答案；
（2）设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，根据题中的数据，利用待定系数法求解即可得出函数解析式；
（3）设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 根据题中的数据，利用待定系数法求解即可得出函数解析式；
（4）由题意得，解不等式即可得出答案．
15．【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：（1）①；②；
（2）（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，
∴，，
又，
∴
∴；
（3）（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是
∴，
∴，即，
∴该弹簧测力计的量程为；
（4）0.12.
【知识点】一元一次不等式的应用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
②图4中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
（4）∵，
∴ 1.2×0.1=0.12，即弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，
故答案为：（1）；（2）；（4）0.12．
【分析】（1）①②根据弹簧伸长的长度即可求得；
（2）根据可得，，根据，即可求得L0；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，再根据，即可求得量程；
（4）直接根据即可．
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