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平面直角坐标系中的轴对称问题——浙教版八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·柳州期中）点关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的两点之间的特征，即可得出答案。
2．已知点A(4，-3)和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=2对称，则平面内点B的坐标为(　　)
A．(0，-3) B．(4，-9) C．(4，0 ) D．(-10，3)
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：A (4，-3) 到直线x=2的水平距离为2，
∵A和B关于直线x=2对称，
∴B的横坐标为2-2=0，纵坐标与A相同，
∴B（0，-3），
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可.
3．（2025·城中模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　）
A． B． C．1 D．5
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求出，再代入计算求解即可.
4．（2025八下·余姚开学考）如图，将点关于第一、三象限的角平分线对称，得到点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：第一、三象限的角平分线为y=x，
∴ P（-1，2）关于y=x对称的点P'(2，-1).
故答案为：B.
【分析】根据点（x，y）关于y=x对称的点（y，x），即可求得.
5．（2023八上·朝阳期中）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，
当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，
∵点在第一象限，，，，
∴，，
∴，
∵直线垂直平分，点是直线与轴的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当；
作，交过点且平行于轴的直线与，
当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，
∵，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点与轴交点坐标为（，），
由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，
∴的取值范围是，
故答案为：D
【分析】作出图形，分情况讨论：当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，根据三角形内角和定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，由直线垂直平分，点是直线与轴的交点，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，即；作，交过点且平行于轴的直线与，当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，根据直线平行性质及平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则点与轴交点坐标为（，），由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，即的取值范围是.
6．（2019八上·贵阳月考）在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 的坐标是 ，则经过第2019次变换后所得的点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
∵2019÷4=504余3，
∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为 .
故答案为：A.
【分析】观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限即可解答.
二、填空题
7．（2024七下·文山期中）点关于x轴的对称点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
8．（2025七下·惠阳期中）点关于y轴对称的点的坐标是，则　 　．
【答案】6
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点关于y轴对称的点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）解得，，求出a、b的值，再将其代入ab求解即可.
9．（2025·潮阳模拟）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】不等式的解及解集；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于轴的对称点在第二象限，
∴点，
∴且，
解得，，
故答案为：．
【分析】根据第二象限点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
10．点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组 则点 Q 关于y轴对称的点Q'的坐标为　 　.
【答案】(-5，-4)
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；利用合并同类项、移项解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项，合并同类项得：
系数化为1得：
得：
则
那么点Q关于y轴对称点( 的坐标为
故答案为：
【分析】结合已知条件分别求得x， 的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案.
11．（2024八上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，，
则可知，，，
∴，
即当O，P，三点共线时，的最小值为，
∵直线l垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，，
∴在中，，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，根据三角形三边关系定理可得，根据"两点之间线段最短"可得：当O，P，三点共线时，的最小值为，然后用勾股定理计算可求解．
12．（2024八上·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点为轴正半轴上一点，点位于第一象限内且在直线上，，，过点作直线垂直于轴，点，在直线上(点在点上方)，且，若线段关于直线对称的线段与坐标轴有交点，则点的纵坐标的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：作直线关于直线的对称直线，
线段在直线上，
线段关于直线对称的线段在直线上，
，直线垂直于轴，
直线与直线所夹的锐角为，所夹的钝角为，
直线与直线关于直线对称，
直线与直线所夹的锐角也是，
直线与直线所夹的钝角为，
直线和直线关于直线对称，
当、在直线的上方时，
观察发现，当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最小值，此时为等边三角形；
当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最大值，此时为等边三角形，
①当点在轴上时，为等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，
，
，，，
，
点的纵坐标的值；
②当点在轴上时，由①可知，点的纵坐标的值比①的结果要大，
点的纵坐标的值，
当、在直线的上方时，点的纵坐标的取值范围是．
同理，当、在直线的下方时，可以求得点的纵坐标的取值范围是．
综上，的范围为或；
故答案为：或
【分析】先作出直线关于直线的对称直线，由直线与直线的夹角是推出直线和直线关于直线对称，然后分类讨论和在直线的上方或下方，画出图形，再进而求解即可．
13．（2024八上·北京市期中）在平面直角坐标系中，已知点对于点和正实数给出如下定义：若，点向右平移个单位，再关于轴对称，得到点；若，点向上平移个单位，再关于轴对称，得到点，称点为点的“-变换”点，点为点的“反-变换”点．例如，已知，，当时，点的“2-变换”点为，点的“2-变换”点为．
（1）当时，
①已知点，则点的“3-变换”点为_______；
②点的“反3-变换”点坐标为_______，点的“反3-变换”点坐标为_______；
（2）已知，记长方形上及内部所有点的“反-变换”点组成的图形面积为．
①当时，_______；
②当时，_______．（用含的式子表示）
【答案】（1）①；②或，．
（2）①；②．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（1）解：当时，
①已知点，因为，
所以点向上平移3个单位得到，
再关于轴对称得到的坐标为，
则点P的“3-变换”点为．
②点的“反3-变换”：
第一种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为或．
点的“反3-变换” ：
第一种情况：设，若，
所以先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时不符合题意．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为．
（2）
①如图所示，
作长方形关于x轴对称，再向左平移4个单位，此时绿色线条内满足，
作长方形关于y轴对称，再向下平移4个单位，此时红色线条内满足，
所以，，
，
故答案为：62．
②如图所示：
当时，
，，
；
如图所示：
当时，
，，
；
∴．
【分析】（1）根据新定义定义，可得与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点．
（2）根据与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点，然后再根据点的坐标分情况计算长方形的长和宽的长度，再计算长方形的面积即可．
（1）解：当时，
①已知点，因为，
所以点向上平移3个单位得到，
再关于轴对称得到的坐标为，
则点P的“3-变换”点为．
②点的“反3-变换”：
第一种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为或．
点的“反3-变换” ：
第一种情况：设，若，
所以先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时不符合题意．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为．
（2）①如图所示，
作长方形关于x轴对称，再向左平移4个单位，此时绿色线条内满足，
作长方形关于y轴对称，再向下平移4个单位，此时红色线条内满足，
所以，，
，
故答案为：62．
②如图所示：
当时，
，，
；
如图所示：
当时，
，，
；
∴．
14．（2024八上·青岛期中）如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，点关于轴对称，点关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴，
∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，
又∵，
∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示，
此时可分两种情况讨论，
当点在第四象限时，过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当点在第一象限时，过点作轴于点，
同理可证明，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】先求出 点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，再求出第2025秒时，点运动到点，分类讨论：①当点在第四象限时，②当点在第一象限时，再分别画出图形并利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为A(0，-1)，B(1，-3)，C(3，-2)，过点(-1，0)作x轴的垂线l.
（1）作出 关于x轴对称的 ，并写出 各顶点的坐标；
（2）作出 关于直线l对称的 并写出 各顶点的坐标.
【答案】（1）解：如解图，△A1B1C1即为所求作，
A1(0，1)，B1(1，3)，C1(3，2)；
（2）解：如解图，△A2B2C2即为所求作，
A2(-2，1)，B2(-3，3)，C2(-5，2).
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】
(1) 根据轴对称的性质，作出 关于x轴对称的 写出点的坐标即可解答；
(1)根据轴对称的性质， 作出 关于直线l对称的 写出各点的坐标即可解答.
16．（2025·雨花期末）在平面直角坐标系中，将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线y=m的对称点记作点，则点为点关于y轴和直线y=m的“DT对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y=3的“DT对称点”为点．
（1）点A（3，4）关于y轴和直线y=1的“DT对称点”的坐标　 　；
（2）点关于y轴和直线y=m的“DT对称点”的坐标是，求m和n的值；
（3）若点关于y轴和直线y=m的“DT对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为，
∴点关于y轴和直线的“DT对称点”的坐标是，
的坐标是，
解得，，
∴的值为2，的值为3
（3）解：∵点关于y轴和直线的“DT对称点”的坐标是，
在第二象限，
，解得，
且满足条件的的整数解有且只有一个，
，
解得：
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）解：如图，
∴点关于轴和直线的“DT对称点”的坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）先找到点A（3，4）关于y轴的对称点为A1（-3，4），再找A1关于直线y=1的对称点
A2（-3，-2）即可.
（2）先找到点B（3m+n，m-n）关于y轴的对称点B1（-3m-n，m-n），再找出点B1关于直线y=m的对称点B2（-3m-n，m+n）.再由已知B2的坐标是（-9，5），可知：-3m-n=-9，m-n=5.把这两个方程组成方程组，求出方程组的解即可.
（3）先找到点C（6x-5，2x+1）关于y轴的对称点C1（5-6x，2x+z），再找出点C1关于直线y=m的对称点C2（5-6x，2m-2x-1）.再由已知C2在第二象限，可知：5-6x<0，2m-2x-1>0.把这两个不等式组成不等式组，求出不等式组的解为1<<2，求出该不等式的解即可.
17．（2025八上·长沙月考）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点．
（1）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________；
（2）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值；
（3）若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：点B（3m+n，m-n）关于x轴的对称点为B1（3m+n，n-m），
点B1（3m+n，n-m）关于直线x=m的对称点为B2（2m-3m-2，n-m），即 B2（-m-2，n-m），
∵点B2是点B关于x轴和直线x=m的“西雅对称点”，点B2（-9，5），
∴-m-n=-9，n-m=5，
解得：m=2，n=7，
答：m的值为2，的值为7.
（3）解：点C（y+1，3y-12）关于x轴的对称点为C1（y+1，12-3y），
点C1（ y+1，12-3y ）关于直线x=m的对称点为C2（2m-y-1，12-3y），
∴点C2是点C关于x轴和直线x=m的“西雅对称点”为C2（2m-y-1，12-3y），
∵C2（2m-y-1，12-3y）在第二象限，
∴，
解得：，
∵的取值范围内的所有整数解之和为6
∴，
解得：，
答：m的取值范围是.
【知识点】一元一次不等式组的应用；坐标与图形变化﹣对称；二元一次方程组的应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】解：（1）点关于轴的对称点为，点关于直线的对称点记作点．如图所示，
故答案为：．
【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）先根据新定义计算出，再根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可；
（3）先根据新定义计算出，再根据在第二象限求出x的取值范围，最后由满足条件的y的整数解列不等式组得出m的取值范围即可．
（1）解：如图，
∴将点关于轴的对称点，点关于直线的对称点记作点．
故答案为：．
（2）解：∵关于轴的对称点，点关于的对称点，
点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是。
的坐标是，
，解得，，
值为2，的值为7．
（3）解：点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为，
点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，
点在第二象限，
，解得：，
关于的取值范围内的所有整数解之和为6，
，即：．
18．（2025七下·涪城期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，△OAB为等边三角形．
（1）直接写出点B的纵坐标 　 　；
（2）如图2，OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为　 　 ；
（3）OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，连接AD交OB于E，求OE的长．
【答案】（1）（，4）
（2）-6
（3）解：如图，连接CD交x轴于点N，
∵CD⊥x轴，
∴CD=12，CD∥AO，
∴∠D=∠OAE，∠BCN=∠BAO=60°，∠BNC=∠AOB=60°，
∴△CNB是等边三角形，
∴CN=BC=4=BN=ON，
∴ND=8=AO，
又∵∠AEO=∠DEN，
∴△AEO≌△DEN（AAS），
∴OE=EN=ON=2.
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A的坐标为（0，8），
∴OA=8，
∵△OAB为等边三角形，
∴OB=OA=8，∠AOB=60°，
∴∠BOC=30°，
∴，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵△OAB为等边三角形，
∴OB=OA=8，∠AOB=∠OAB=60°，
∵ OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，在Rt△AOC中，由勾股定理得，
∴∠COF=60°，
在Rt△COF中，∠OCF=30°，
∴
∴，
∴点C的纵坐标为6，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴点D的纵坐标为-6，
故答案为：-6.
【分析】（1）对于求点B的纵坐标，过点B向x轴作垂线，然后利用勾股定理，求出B到x轴和y轴的距离。
（2）求点D的纵坐标，先根据直角三角形和等边三角形性质求出点C纵坐标，再根据对称性质得到点D纵坐标。
（3）求OE的长，通过证明△AEO≌△DEN，进而利用全等三角形的性质得出。
19．（2024八上·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______；
（2）若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围．
【答案】（1），，；
（2）解：∵点D的坐标是，
∴点D关于y轴对称点的坐标为，
∴关于直线l对称的点，
∴；
（3）或．
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴点A关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点B关于y轴对称点的坐标为，
∵直线l经过点，且平行于y轴．
∴关于直线l对称的点为，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点C关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标；
故答案为：（3，0）；；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，或，
∴，或．
故a的取值范围为：或．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，结合二次反射点的定义即可求出答案.
（2）据关于y轴对称的点的坐标特征，结合二次反射点的定义即可求出答案.
（3）根据，，二次反射点的定义得出，根据，，求出，或，即可求出答案.
（1）解：∵，
∴点A关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点B关于y轴对称点的坐标为，
∵直线l经过点，且平行于y轴．
∴关于直线l对称的点为，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点C关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标；
故答案为：（3，0）；；
（2）解：∵点D的坐标是，
∴点D关于y轴对称点的坐标为，
∴关于直线l对称的点，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，或，
∴，或．
故a的取值范围为：或．
20．（2024八上·澄海期中）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为．过点A作轴，垂足为D．
（1）求OD的长及点A的坐标；
（2）取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
（3）连接OA，已知，试探究在x轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，，
∵，
∴，
且，
∴，
且，
，
∴（AAS），
∴，
∴，，
∴点A的坐标；
（2）解：且；
证明：过E作轴于F，并交AD于G，
则且，
∵，，E为AB中点，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
且和都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，∵轴，
∴点，O关于直线AD对称，即：；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则，
∴；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则，
∴，
综上所述：Q的坐标为：或或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）坐标求解：通过等腰直角三角形的全等关系，将几何条件转化为坐标运算，快速确定点 A 坐标．
（2）线段关系：借助中点构造全等，推导线段相等与垂直，体现几何变换的应用，过E作轴于F，证明，得到，再根据角度关系得到，便可得出．
（3）存在性探究：分类讨论等腰三角形的腰，结合距离公式计算点坐标，覆盖所有可能情况，分别讨论A为顶角顶点、A为底角顶点时的不同情况，根据轴对称的性质讨论即可．
（1）∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，，
∵，
∴，
且，
∴，
且，
，
∴（AAS），
∴，
∴，，
∴点A的坐标；
（2）且；
证明：过E作轴于F，并交AD于G，
则且，
∵，，E为AB中点，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
且和都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，
∵轴，
∴点，O关于直线AD对称，即：；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则，
∴；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则，
∴，
综上所述：Q的坐标为：或或．
1 / 1平面直角坐标系中的轴对称问题——浙教版八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·柳州期中）点关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．已知点A(4，-3)和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=2对称，则平面内点B的坐标为(　　)
A．(0，-3) B．(4，-9) C．(4，0 ) D．(-10，3)
3．（2025·城中模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　）
A． B． C．1 D．5
4．（2025八下·余姚开学考）如图，将点关于第一、三象限的角平分线对称，得到点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八上·朝阳期中）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2019八上·贵阳月考）在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 的坐标是 ，则经过第2019次变换后所得的点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024七下·文山期中）点关于x轴的对称点的坐标是　 　．
8．（2025七下·惠阳期中）点关于y轴对称的点的坐标是，则　 　．
9．（2025·潮阳模拟）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 　 　．
10．点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组 则点 Q 关于y轴对称的点Q'的坐标为　 　.
11．（2024八上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为　 　．
12．（2024八上·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点为轴正半轴上一点，点位于第一象限内且在直线上，，，过点作直线垂直于轴，点，在直线上(点在点上方)，且，若线段关于直线对称的线段与坐标轴有交点，则点的纵坐标的取值范围是　 　．
13．（2024八上·北京市期中）在平面直角坐标系中，已知点对于点和正实数给出如下定义：若，点向右平移个单位，再关于轴对称，得到点；若，点向上平移个单位，再关于轴对称，得到点，称点为点的“-变换”点，点为点的“反-变换”点．例如，已知，，当时，点的“2-变换”点为，点的“2-变换”点为．
（1）当时，
①已知点，则点的“3-变换”点为_______；
②点的“反3-变换”点坐标为_______，点的“反3-变换”点坐标为_______；
（2）已知，记长方形上及内部所有点的“反-变换”点组成的图形面积为．
①当时，_______；
②当时，_______．（用含的式子表示）
14．（2024八上·青岛期中）如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为　 　．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为A(0，-1)，B(1，-3)，C(3，-2)，过点(-1，0)作x轴的垂线l.
（1）作出 关于x轴对称的 ，并写出 各顶点的坐标；
（2）作出 关于直线l对称的 并写出 各顶点的坐标.
16．（2025·雨花期末）在平面直角坐标系中，将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线y=m的对称点记作点，则点为点关于y轴和直线y=m的“DT对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y=3的“DT对称点”为点．
（1）点A（3，4）关于y轴和直线y=1的“DT对称点”的坐标　 　；
（2）点关于y轴和直线y=m的“DT对称点”的坐标是，求m和n的值；
（3）若点关于y轴和直线y=m的“DT对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
17．（2025八上·长沙月考）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点．
（1）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________；
（2）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值；
（3）若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围．
18．（2025七下·涪城期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，△OAB为等边三角形．
（1）直接写出点B的纵坐标 　 　；
（2）如图2，OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为　 　 ；
（3）OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，连接AD交OB于E，求OE的长．
19．（2024八上·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______；
（2）若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围．
20．（2024八上·澄海期中）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为．过点A作轴，垂足为D．
（1）求OD的长及点A的坐标；
（2）取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
（3）连接OA，已知，试探究在x轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的两点之间的特征，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：A (4，-3) 到直线x=2的水平距离为2，
∵A和B关于直线x=2对称，
∴B的横坐标为2-2=0，纵坐标与A相同，
∴B（0，-3），
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可.
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求出，再代入计算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：第一、三象限的角平分线为y=x，
∴ P（-1，2）关于y=x对称的点P'(2，-1).
故答案为：B.
【分析】根据点（x，y）关于y=x对称的点（y，x），即可求得.
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，
当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，
∵点在第一象限，，，，
∴，，
∴，
∵直线垂直平分，点是直线与轴的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当；
作，交过点且平行于轴的直线与，
当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，
∵，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点与轴交点坐标为（，），
由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，
∴的取值范围是，
故答案为：D
【分析】作出图形，分情况讨论：当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，根据三角形内角和定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，由直线垂直平分，点是直线与轴的交点，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，即；作，交过点且平行于轴的直线与，当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，根据直线平行性质及平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则点与轴交点坐标为（，），由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，即的取值范围是.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
∵2019÷4=504余3，
∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为 .
故答案为：A.
【分析】观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限即可解答.
7．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
8．【答案】6
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点关于y轴对称的点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）解得，，求出a、b的值，再将其代入ab求解即可.
9．【答案】
【知识点】不等式的解及解集；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于轴的对称点在第二象限，
∴点，
∴且，
解得，，
故答案为：．
【分析】根据第二象限点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
10．【答案】(-5，-4)
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；利用合并同类项、移项解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项，合并同类项得：
系数化为1得：
得：
则
那么点Q关于y轴对称点( 的坐标为
故答案为：
【分析】结合已知条件分别求得x， 的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案.
11．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，，
则可知，，，
∴，
即当O，P，三点共线时，的最小值为，
∵直线l垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，，
∴在中，，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，根据三角形三边关系定理可得，根据"两点之间线段最短"可得：当O，P，三点共线时，的最小值为，然后用勾股定理计算可求解．
12．【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：作直线关于直线的对称直线，
线段在直线上，
线段关于直线对称的线段在直线上，
，直线垂直于轴，
直线与直线所夹的锐角为，所夹的钝角为，
直线与直线关于直线对称，
直线与直线所夹的锐角也是，
直线与直线所夹的钝角为，
直线和直线关于直线对称，
当、在直线的上方时，
观察发现，当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最小值，此时为等边三角形；
当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最大值，此时为等边三角形，
①当点在轴上时，为等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，
，
，，，
，
点的纵坐标的值；
②当点在轴上时，由①可知，点的纵坐标的值比①的结果要大，
点的纵坐标的值，
当、在直线的上方时，点的纵坐标的取值范围是．
同理，当、在直线的下方时，可以求得点的纵坐标的取值范围是．
综上，的范围为或；
故答案为：或
【分析】先作出直线关于直线的对称直线，由直线与直线的夹角是推出直线和直线关于直线对称，然后分类讨论和在直线的上方或下方，画出图形，再进而求解即可．
13．【答案】（1）①；②或，．
（2）①；②．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（1）解：当时，
①已知点，因为，
所以点向上平移3个单位得到，
再关于轴对称得到的坐标为，
则点P的“3-变换”点为．
②点的“反3-变换”：
第一种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为或．
点的“反3-变换” ：
第一种情况：设，若，
所以先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时不符合题意．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为．
（2）
①如图所示，
作长方形关于x轴对称，再向左平移4个单位，此时绿色线条内满足，
作长方形关于y轴对称，再向下平移4个单位，此时红色线条内满足，
所以，，
，
故答案为：62．
②如图所示：
当时，
，，
；
如图所示：
当时，
，，
；
∴．
【分析】（1）根据新定义定义，可得与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点．
（2）根据与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点，然后再根据点的坐标分情况计算长方形的长和宽的长度，再计算长方形的面积即可．
（1）解：当时，
①已知点，因为，
所以点向上平移3个单位得到，
再关于轴对称得到的坐标为，
则点P的“3-变换”点为．
②点的“反3-变换”：
第一种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为或．
点的“反3-变换” ：
第一种情况：设，若，
所以先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时不符合题意．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为．
（2）①如图所示，
作长方形关于x轴对称，再向左平移4个单位，此时绿色线条内满足，
作长方形关于y轴对称，再向下平移4个单位，此时红色线条内满足，
所以，，
，
故答案为：62．
②如图所示：
当时，
，，
；
如图所示：
当时，
，，
；
∴．
14．【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，点关于轴对称，点关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴，
∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，
又∵，
∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示，
此时可分两种情况讨论，
当点在第四象限时，过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当点在第一象限时，过点作轴于点，
同理可证明，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】先求出 点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，再求出第2025秒时，点运动到点，分类讨论：①当点在第四象限时，②当点在第一象限时，再分别画出图形并利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
15．【答案】（1）解：如解图，△A1B1C1即为所求作，
A1(0，1)，B1(1，3)，C1(3，2)；
（2）解：如解图，△A2B2C2即为所求作，
A2(-2，1)，B2(-3，3)，C2(-5，2).
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】
(1) 根据轴对称的性质，作出 关于x轴对称的 写出点的坐标即可解答；
(1)根据轴对称的性质， 作出 关于直线l对称的 写出各点的坐标即可解答.
16．【答案】（1）
（2）解：点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为，
∴点关于y轴和直线的“DT对称点”的坐标是，
的坐标是，
解得，，
∴的值为2，的值为3
（3）解：∵点关于y轴和直线的“DT对称点”的坐标是，
在第二象限，
，解得，
且满足条件的的整数解有且只有一个，
，
解得：
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）解：如图，
∴点关于轴和直线的“DT对称点”的坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）先找到点A（3，4）关于y轴的对称点为A1（-3，4），再找A1关于直线y=1的对称点
A2（-3，-2）即可.
（2）先找到点B（3m+n，m-n）关于y轴的对称点B1（-3m-n，m-n），再找出点B1关于直线y=m的对称点B2（-3m-n，m+n）.再由已知B2的坐标是（-9，5），可知：-3m-n=-9，m-n=5.把这两个方程组成方程组，求出方程组的解即可.
（3）先找到点C（6x-5，2x+1）关于y轴的对称点C1（5-6x，2x+z），再找出点C1关于直线y=m的对称点C2（5-6x，2m-2x-1）.再由已知C2在第二象限，可知：5-6x<0，2m-2x-1>0.把这两个不等式组成不等式组，求出不等式组的解为1<<2，求出该不等式的解即可.
17．【答案】（1）
（2）解：点B（3m+n，m-n）关于x轴的对称点为B1（3m+n，n-m），
点B1（3m+n，n-m）关于直线x=m的对称点为B2（2m-3m-2，n-m），即 B2（-m-2，n-m），
∵点B2是点B关于x轴和直线x=m的“西雅对称点”，点B2（-9，5），
∴-m-n=-9，n-m=5，
解得：m=2，n=7，
答：m的值为2，的值为7.
（3）解：点C（y+1，3y-12）关于x轴的对称点为C1（y+1，12-3y），
点C1（ y+1，12-3y ）关于直线x=m的对称点为C2（2m-y-1，12-3y），
∴点C2是点C关于x轴和直线x=m的“西雅对称点”为C2（2m-y-1，12-3y），
∵C2（2m-y-1，12-3y）在第二象限，
∴，
解得：，
∵的取值范围内的所有整数解之和为6
∴，
解得：，
答：m的取值范围是.
【知识点】一元一次不等式组的应用；坐标与图形变化﹣对称；二元一次方程组的应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】解：（1）点关于轴的对称点为，点关于直线的对称点记作点．如图所示，
故答案为：．
【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）先根据新定义计算出，再根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可；
（3）先根据新定义计算出，再根据在第二象限求出x的取值范围，最后由满足条件的y的整数解列不等式组得出m的取值范围即可．
（1）解：如图，
∴将点关于轴的对称点，点关于直线的对称点记作点．
故答案为：．
（2）解：∵关于轴的对称点，点关于的对称点，
点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是。
的坐标是，
，解得，，
值为2，的值为7．
（3）解：点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为，
点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，
点在第二象限，
，解得：，
关于的取值范围内的所有整数解之和为6，
，即：．
18．【答案】（1）（，4）
（2）-6
（3）解：如图，连接CD交x轴于点N，
∵CD⊥x轴，
∴CD=12，CD∥AO，
∴∠D=∠OAE，∠BCN=∠BAO=60°，∠BNC=∠AOB=60°，
∴△CNB是等边三角形，
∴CN=BC=4=BN=ON，
∴ND=8=AO，
又∵∠AEO=∠DEN，
∴△AEO≌△DEN（AAS），
∴OE=EN=ON=2.
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A的坐标为（0，8），
∴OA=8，
∵△OAB为等边三角形，
∴OB=OA=8，∠AOB=60°，
∴∠BOC=30°，
∴，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵△OAB为等边三角形，
∴OB=OA=8，∠AOB=∠OAB=60°，
∵ OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，在Rt△AOC中，由勾股定理得，
∴∠COF=60°，
在Rt△COF中，∠OCF=30°，
∴
∴，
∴点C的纵坐标为6，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴点D的纵坐标为-6，
故答案为：-6.
【分析】（1）对于求点B的纵坐标，过点B向x轴作垂线，然后利用勾股定理，求出B到x轴和y轴的距离。
（2）求点D的纵坐标，先根据直角三角形和等边三角形性质求出点C纵坐标，再根据对称性质得到点D纵坐标。
（3）求OE的长，通过证明△AEO≌△DEN，进而利用全等三角形的性质得出。
19．【答案】（1），，；
（2）解：∵点D的坐标是，
∴点D关于y轴对称点的坐标为，
∴关于直线l对称的点，
∴；
（3）或．
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴点A关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点B关于y轴对称点的坐标为，
∵直线l经过点，且平行于y轴．
∴关于直线l对称的点为，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点C关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标；
故答案为：（3，0）；；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，或，
∴，或．
故a的取值范围为：或．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，结合二次反射点的定义即可求出答案.
（2）据关于y轴对称的点的坐标特征，结合二次反射点的定义即可求出答案.
（3）根据，，二次反射点的定义得出，根据，，求出，或，即可求出答案.
（1）解：∵，
∴点A关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点B关于y轴对称点的坐标为，
∵直线l经过点，且平行于y轴．
∴关于直线l对称的点为，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点C关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标；
故答案为：（3，0）；；
（2）解：∵点D的坐标是，
∴点D关于y轴对称点的坐标为，
∴关于直线l对称的点，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，或，
∴，或．
故a的取值范围为：或．
20．【答案】（1）解：∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，，
∵，
∴，
且，
∴，
且，
，
∴（AAS），
∴，
∴，，
∴点A的坐标；
（2）解：且；
证明：过E作轴于F，并交AD于G，
则且，
∵，，E为AB中点，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
且和都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，∵轴，
∴点，O关于直线AD对称，即：；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则，
∴；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则，
∴，
综上所述：Q的坐标为：或或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）坐标求解：通过等腰直角三角形的全等关系，将几何条件转化为坐标运算，快速确定点 A 坐标．
（2）线段关系：借助中点构造全等，推导线段相等与垂直，体现几何变换的应用，过E作轴于F，证明，得到，再根据角度关系得到，便可得出．
（3）存在性探究：分类讨论等腰三角形的腰，结合距离公式计算点坐标，覆盖所有可能情况，分别讨论A为顶角顶点、A为底角顶点时的不同情况，根据轴对称的性质讨论即可．
（1）∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，，
∵，
∴，
且，
∴，
且，
，
∴（AAS），
∴，
∴，，
∴点A的坐标；
（2）且；
证明：过E作轴于F，并交AD于G，
则且，
∵，，E为AB中点，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
且和都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，
∵轴，
∴点，O关于直线AD对称，即：；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则，
∴；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则，
∴，
综上所述：Q的坐标为：或或．
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