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2025-2026学年上学期期中联考试卷
九年级数学
考试时间：100分钟；满分：120分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.一种零件的长是毫米，在一幅设计图上的长是厘米，这幅设计图的比例尺是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
3.有一首对子歌中写到“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是( )
A. B. C. D.
4.图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图相似的是( )
A.
B.
C.
D.
5.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( )
A. B. C. D.
6.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是( )
A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角
7.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
9.顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是( )
A. 矩形 B. 正方形
C. 菱形 D. 对角线互相垂直的四边形
10.如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若，则 ．
12.已知点是线段的黄金分割点，，若，则的值为______．
13.如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．
14.如图，在矩形中，为边上一点，连接，，将沿翻折使得点恰好落在上的点处，若，，则的长为 ．
15.如图，由个小正方形组成的网格中，任意选取个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在中，、分别是、的中点，连接并延长至点，使，连接．
求证：四边形是平行四边形；
探究：当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
19.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
如果点，同时出发，经过几秒钟时的面积为？
如果点，同时出发，经过几秒钟时以、、为顶点的三角形与相似？
20.本小题分
我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开个网店，每个网店头盔月销售量就会减少个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？
21.本小题分
如图，在正方形中，点在对角线上，点在射线上，且四边形是正方形，连接．
求证：．
______；
若，当点在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值．
22.本小题分
小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的个小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的个小球分别标有数字，，，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为．
请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由．
23.本小题分
如图，中，，点在边上，且交于点．
求证：∽；
若，，是中点，求的长．
九年级数学答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】且
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：证明：、分别是、的中点，
，，
又，
，又，
四边形是平行四边形．
当时，四边形是矩形．
理由：，由知，
．
、分别是、的中点，，
，
四边形是矩形．
17.【答案】解：原方程移项得，
，
，
，
或，
，．
原方程整理得，
，
或，
解得．
18.【答案】解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；当时，，符合题意；
答：鸡场的长和宽分别为与．
设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
19.【答案】解：设后，可使的面积为．
由题意得，，，，
则，
整理得，
解得，．
所以、同时出发，或后可使的面积为．
设秒后以、、为顶点的三角形与相似，则，．
当∽时，，即，
解得：．
当∽时，，即，
解得：．
综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形与相似．
20.【答案】解：设应增加个网店，则增加后共有，每个网店头盔月销售量为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，，
网店越多，运营成本就越多，且，
为了尽可能减少运营成本，符合题意，
答：应多开个网店．
21.【答案】解：证明：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
≌，
；
；
如图，连接，
由知，，
根据勾股定理得，，
由知，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
点是正方形的对角线上的点，
当时，最小，此时，最小，如图，
在中，，
根据勾股定理得，，
在中，，
的最小值为．
22.【答案】解：列表如下：
由列表可知，所有等可能的结果有种；
共有种等可能的情况数，其中，都是方程的解有种，
小明获胜的概率是，
小刚获胜的概率是，
小刚获胜的概率大．
23.【答案】证明：，，
．
又，
∽．
解：在中，，，，
．
是中点，
．
∽，
，即，
．

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