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2025-2026学年八年级数学上册期中知识点复习题（13-15章）
【考点1 三角形的概念】
1．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列说法正确的是(　　)
A．所有的等腰三角形都是锐角三角形
B．等边三角形属于等腰三角形
C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
3．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（ ）．
A．只能是锐角三角形
B．只能是直角三角形
C．只能是钝角三角形
D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
【考点2 三角形的稳定性】
1．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
2．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条．
【考点3 三角形的三边关系】
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，, B．,,
C．，, D．,,
2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ．
3．用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点4 三角形的角平分线、中线和高】
1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ．
4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【考点5 三角形的内角和定理】
1．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE = 度．
2．如图，在中，平分，平分，，则的度数为 .
3．如图，在中，点D，E分别在边，上，将沿折叠至的位置，点A的对应点为F．若，，则 度．
【考点6 三角形的外角性质】
1．如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数．
2．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，， ， ，那么下列式子中不一定成立的是( )

A． B．
C．β= D．
3．如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为 ．
【考点7 全等三角形的性质】
1．如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点8 全等三角形的判定】
1．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（ ）
A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去
C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去
3．根据下列条件，能判定的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，与的周长相等
4．如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【考点9 角平分线的性质与判定】
1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（ ）
A．5 B．6.8 C．7.5 D．8
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】
1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
3．如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点11 判断轴对称图形】
1．以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有 个.
3．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】
1．如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．2 D．5
3．在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ．
【考点13 等腰三角形的判定】
1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（ ）

A． B． C． D．
3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ．
【考点14 等腰三角形的性质】
1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
2．如图，，则 ．
3．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．不确定
4．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ．
5．如图，在中，，，，，则 ．
【考点15 含30度角的直角三角形】
1．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )

A．1 B． C．2 D．
2．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
3．如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　）
A．1 B． C． D．
4．如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点16 等边三角形的性质】
1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ．
2．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为
3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ．
4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ．
【考点17 等边三角形的判定】
1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【考点18 规律探索】
1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为 ．
【考点19 新定义问题】
1．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ．
2．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ．
3．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点20 与折叠有关的角度的计算问题】
1．在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为．
(1)试求的周长；
(2)若，求的度数．
2．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，．
(1)求证：．
(2)若恰好平分，求的度数．
3．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E．
(1)若折痕角，求帽子顶角的度数；
(2)设度，度．
①请用含的代数式表示，则________；
②当时，帽子比较美观，求此时的值．
【考点21 三角形的内角和与外角的性质的综合】
1．如图，是的高，、是的角平分线，且．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
2．如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G．
(1)若，求的度数；
(2)若，则= °；（用含的代数式表示）
(3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系．
3．在中，平分，．
(1)如图，若于点，，，则的度数为______；
(2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示．
【考点22 全等三角形的判定与性质的综合应用】
1．如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，．
(1)求证：；
(2)猜想，的位置关系，并说明理由．
2．泰塔，又称宝塔寺塔、旬邑塔，被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．实验中学数学兴趣小组的张逸想利用学过的知识来测量泰塔的高度．他带了一根长为2米的木棍并设计了如下的测量方案：如图，先在宝塔前选一点，使得，然后把竖直的木棍在的延长线上左右移动，使．此时用皮尺测得泰塔底部与木棍底部的距离，已知．请你帮他求出泰塔的高度．
3． 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ．

(1)当时，求的长；
(2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【考点23 角的平分线与线段的垂直平分线】
1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
(1)求证：；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
2．如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点．
求证：
(1)是的角平分线；
(2)．
3．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
【考点24 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】
1．如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接．
(1)若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由．
2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上．
(1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度；
(2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系．
3．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度．
(1)写出的等量关系；
(2)若，求的值．
【考点25 等腰三角形的性质与判定的综合】
1．如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若
(1)求证：是等腰三角形；
(2)点G是上一点，连接，若，，求的度数．
2．如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，．
(1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °．
(2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值，
①求的度数；
②当时，求的度数．
(3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形．
【考点26 等边三角形的性质与判定的综合】
1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且．
(1)如图1，若点E是的中点，求证：．
(2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由．
2．如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证：
(1)是等边三角形；
(2)．
3．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、．
(1)如图（1），如果，证明：；
(2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：．
【考点27 含30°的直角三角形性质的应用】
1．已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于．
(1)求证：；
(2)请猜想与间的数量关系，并证明．
2．如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，．
(1)当点在的什么位置时，？并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
3．综合与实践
在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接．
(1)初步探究
如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ；
(2)类比探究
如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）；
(3)延伸探究
如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【考点28 尺规作角平分线、线段垂直平分线】
1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
3．下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件：
①喷泉P到小路，的距离相等；
②喷泉P到入口A和D的距离相等．
请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．
【考点29 作轴对称图形】
1．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作，使和关于轴对称；
(2)写出点的坐标；
(3)求的面积．
2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上
(1)作关于直线的轴对称图形；
(2)的面积是_________ ；
(3)在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹）
3． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ；
(2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由．
【考点30 利用轴对称设计图案】
1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上．
2．如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来．
3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的．
(1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．
(2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴．
【考点31 做辅助线构造全等三角形】
1．如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接．
【知识技能】（1）求证：平分；
【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分；
【拓广延伸】（3）求证：．
2．已知：是的角平分线，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
3．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：．
（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点32 做辅助线构造等腰三角形】
1．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：．
2．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，．
【问题发现】
（1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”）
【类比探究】
（2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明；
【拓展延伸】
（3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长．
3．综合与实践
【问题提出】
（1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系．
（2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数．
【考点33 三角形中的最值问题】
1．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
(1)若，求 的度数．
(2)若，的周长是．
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
2．综合与实践
【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程：
如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，．
点B与点关于直线l对称，
直线l是的垂直平分线．
________，________，
= ．
在中，，
，即最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________．
请你完成上面填空．
【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________．
【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度．
3．已知：等腰中，．
(1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变．
①设，求角度的变量与的关系式；
②当是等腰三角形时，求的度数．
(2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值．
【考点34 三角形中的分类讨论】
1．在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点．
(1)当时， ；
(2)当等于何值时，？请说明理由；
(3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积；
(3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形．
(1)这样的等腰三角形有______个；
(2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标．
参考答案
【考点1 三角形的概念】
1．C
【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个；
故选：C
2．B
【详解】A选项：内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形，故是错误的．
B选项：等边三角形属于等腰三角形，故正确．
C选项：内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形，故错误．
D选项：内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形，故错误．
故选B．
3．D
【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形．
故选：D．
【考点2 三角形的稳定性】
1．C
【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
2．3
【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形．
故答案为3．
【考点3 三角形的三边关系】
1．C
【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断．
【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形；
D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
故选：C．
2．
【详解】解：，
则．
故答案为：．
3．
【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是，
如果等腰三角形的腰长是底边长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系；
如果等腰三角形的底边长是腰长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形；
综上所述，等腰三角形的底边长是，
故答案为：．
4．A
【详解】根据三角形的三边关系，可以组成三角形的是、、
故可以组成三角形的个数是1
故答案为：A．
【考点4 三角形的角平分线、中线和高】
1．B
【详解】解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意；
B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意；
C、不能表示的高，故此选项符合题意；
D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意；
故选：B．
2．C
【详解】解：∵，即点E为中点，
∴是的中线，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∴是的角平分线，故B正确，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，故C错误，符合题意；
∵，即，
∴是的高，故D正确，不符合题意．
故选C．
3．2
【详解】解：已知D是BC边上的中线，可得BD=CD，
所以△ABD的周长-△ADC的周长=
故答案为：2
4．B
【详解】解：点是边的中点，的面积等于，
，
是的中点，
，
故选B．
【考点5 三角形的内角和定理】
1．10
【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°
2．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
故答案为：．
【考点6 三角形的外角性质】
1．解：， ，
，
是的高，
，
，
，
，
∴的度数是．
2．B
【详解】解：如图，

由折叠得，
∵
又
∴ 故A正确，不符合题意；
无法得到，故选项B符合题意；
由折叠得，
又
∴
∵
∴
∴，故选项C正确，不符合题意；
由折叠得，
∵
∴
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选B．
3．
【详解】解：如图：延长交于E，
∵、的角平分线交于点，
∴，
由三角形的内角和定理得，①，
在中，，
在中，，
∴②，
由得，，
∴．
故答案为．
【考点7 全等三角形的性质】
1．B
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
故选：B．
2．C
【详解】解：∵在中，，且，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
3．B
【详解】解： ，
，
，
．
故选B．
【考点8 全等三角形的判定】
1．B
【详解】解：∵
∴ ，即
又∵
选项A：∵ ，，
∴ ，故A项不符合题意．
选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意．
选项C：∵ ，，
∴ ，故C项不符合题意．
选项D：∵ ，，
∴ ，故D项不符合题意．
故选：B．
2．D
【详解】解：A．带（1）和（3）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
B．带（3）和（4）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
C．带（1）和（4）去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
D．带（1）和（2）去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
故选：D．
3．D
【详解】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可．
A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意；
B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意；
C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意；
D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4．B
【详解】解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等，
乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等，
在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等，
综上可知能和全等的是乙、丙，
故选：B．
【考点9 角平分线的性质与判定】
1．B
【详解】如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，共有4个位置可选．
故选B．
2．D
【详解】解：∵，
∴，
∵O到三边的距离，
∴、分别平分和，
∴，
∴.
故选D.
3．D
【详解】解：如图，
过点作，垂足分别为，
∵是角平分线，
∴，设，
∵的面积是，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶D．
4．A
【详解】解：如图，过P点作于C点，于D点，
∴，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
因为为公共边，
所以，
所以，
所以为的平分线．
故选：A．
【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】
1．B
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．C
【详解】解：，是边上的中线，
，
垂直平分，
点在上，
，
故选：C．
3．A
【详解】解：∵，，
∴，
∵由作图可得：的垂直平分线交于，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
【考点11 判断轴对称图形】
1．C
【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意；
故选：C．
2．3
【详解】由轴对称图形的定义“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形”可知，线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，而直角三角形不一定是轴对称图形，所以上述四个图形中一定是轴对称图形的有3个.
3．A或C
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】
1．C
【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系，
点与点关于轴对称，
，
故选：C
2．A
【详解】A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，得：m=3，n=﹣2，m+n=3+（﹣2）=1．
故选A．
3．
【详解】解：∵点，点与点关于直线对称，
∴点的坐标为
故答案为：．
【考点13 等腰三角形的判定】
1．D
【详解】解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故选：D．
2．C
【详解】解：，
，
，
是的外角，
，
，
，
当时，
，
，
，
，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意．
故选C．
3．B
【详解】解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形；
∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC=∠OCB，∴△BOC为等腰三角形；
∵OE∥AB，∴∠ABO=∠BOE=∠OBE，∴△BOE为等腰三角形；
同理，△COF为等腰三角形；
∠OEF=∠OFE，∴△EOF为等腰三角形．
所以题中共有5个等腰三角形
故选B．
4．5
【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如；
∴共有5个，
故答案为：5．
【考点14 等腰三角形的性质】
1．D
【详解】解：当高在三角形内部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=30°；
∴顶角是30°；
当高在三角形外部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°
∴顶角是150°．
故选：D．
2．60°
【详解】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°．
故答案为：60°．
3．C
【详解】解：设，．
∵，
∴，．
∵，
∴，．
∵为直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
4．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
5．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点15 含30度角的直角三角形】
1．A
【详解】解：如图所示过点作于，在中，

， ，
，
，，
，
，
，
，于，
，
，
故选：A．
2．C
【详解】解∶连接AE，如图∶
在中，
，
点是的中点，，
是线段的垂直平分线
，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故选∶C．
3．C
【详解】∵D是AB的中点，
∴，
∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°，
且DF⊥AC，
∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故选：C．
4．D
【详解】解：如图，作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【考点16 等边三角形的性质】
1．80
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：80．
2．
【详解】解：是边长为的等边三角形，
，
由折叠的性质得到：，
三个阴影部分的周长的和，
故答案为：．
3．5
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
4．7
【详解】解：连接，交于点，
∵是等边三角形，且是高线，
∴垂直平分，,
∴.
即，
当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小，
∵是等边三角形，点E是边的中点，
∴是的高线.
∵，且，
∴，
∴最小值为7.
故答案为：7.
【考点17 等边三角形的判定】
1．C
【详解】，
，
，
，
或，
或，
∴是等腰三角形，
故选：C．
2．B
【详解】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故选：B．
3．D
【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
【考点18 规律探索】
1．D
【详解】解：如图所示，
设与直线l交于点C，
∵，
∴，
∵函数的图象为直线，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∵将向右平移2个单位得到点，
∴，
同理可得，
∴，，
......，
以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，，
∵，
∴，即．
故选：D．
2．C
【详解】解：因为是的平分线，所以．
在与中，
，
所以，
所以题图（1）中有1对全等三角形．
同理，题图（2）中，，所以．
因为，所以．
又因为，所以，
所以题图（2）中有3对全等三角形．
同理，题图（3）中有6对全等三角形
……
由此发现：第个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
3．B
【详解】解：是的一个外角，
，
的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，
，
，
同理可得，，
，
，
，
，
的度数为整数，，
的最大值为．
故选B．
4．
【详解】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为，
点关于A点对称的点的坐标为，
点关于B点对称的点的坐标为，
点关于C点对称的点的坐标为，
点关于A点对称的点的坐标为，
点关于B点对称的点的坐标为，
点关于C点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴，
∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为．
故答案为：．
5．
【详解】解：正方形（记为第个正方形），点的坐标为，以为顶点作等边三角形，
，，
，
，即第二个正方形边长为，
，即第三个正方形边长为，
由此得到规律：第个正方形的边长为，
第个正方形的边长为，
故答案为：．
【考点19 新定义问题】
1．3或8
【详解】解：设三角形第三边的长是x，
由三角形三边关系定理得到，
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
∵，
∴三角形第三边的长是3或8．
故答案为：3或8．
2．1或
【详解】解：是准直角三角形，
或，
当，
而，
，
，
，
当，
，
，
，
解得，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
3．A
【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图，
∵，相邻两条平行线间的距离为m，
∴直线c，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴的面积
故选：A
4．D
【详解】解：A.在直角三角形ABC中，
∴
又平分
∴
∴
∴
∴
又
∴
∴，即BD不是“优美线”
故选项A不符合题意；
B.在中，
∴是等边三角形，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴
∴
∴，，即BD不是“优美线”
故选项B不符合题意；
C.在中，
∴
又平分
∴
∴
∴，即BD不是“优美线”
故选项C不符合题意；
D. 在中，
∴
又平分
∴
∴
∴，即BD是“优美线”
故选项D符合题意；
故选D
【考点20 与折叠有关的角度的计算问题】
1．（1）解：根据折叠的性质，得，
∵的周长是，
∴的周长是，
∵，，
∴．
故的周长为14．
（2）解：∵，不妨设，
根据折叠的性质，得，
∴，
∵，
∴，
解得，
故．
2．（1）证明：由折叠可知，
，
，
，
，
；
（2）解：是的外角，
，
，
，
平分，
，
在中，，
．
3．（1）解：由题意得，，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，
由轴对称的性质得，，
，
帽子顶角的度数为．
（2）解：①，
，
，
，
，
由轴对称的性质得，，
设度，度，
度，
在中，，
，
故答案为：；
②由（1）得，，
由①得，度，
度，
，
，
解得：，
，
的值为108．
【考点21 三角形的内角和与外角的性质的综合】
1．（1）解：∵平分，，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）解：由题意可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
2．（1）解：，
．
分别是和的平分线，
，
是的外角，
；
（2） ，
．
分别是和的平分线，
，
是的外角，
，
故答案为：；
（3），
．
．
由（）得．
．
3．（1）解：，，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：．
【考点22 全等三角形的判定与性质的综合应用】
1．（1）证明：
，
即．
在和中，
；
（2）解：．理由如下：
由（1）可知
．
在和中，
，
，
即，
．
2．解：∵ ，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，，
∴．
在 和 中：
∴ （）．
∵ ，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
3．（1）解：∵是等腰直角三角形，，，，
∴是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在点使得与全等，理由如下：
连接，

∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【考点23 角的平分线与线段的垂直平分线】
1．（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
2．（1）证明：点是的垂直平分线上的点，
，
，
交于点，
，
．
即是的角平分线．
（2）解：点是的垂直平分线上的点，
，
，
，，，
．
3．（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知，是的角平分线时，
，
∵，，
∴．
设，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知可知，对于，是角平分线时：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案为；
（3）∵平分，
∴点D到，的距离相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
连接，过点F作,，分别垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴点F到，，三边的距离相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案为．
【考点24 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】
1．（1）解：设，
∵点与点关于对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：， 理由如下：
连接， 在上截取， 连接，
∵点与点关于对称，
∴， ，
∴是等边三角形，
∴， ，
∴，
∵，
，
，
，
，
．
2．（1）解：如图（2），已知，则，
由折叠可得，
∴
又∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
在图（2）中，且由折叠可得
∴，是等边三角形，
在图（3）中，连接，
由对称可得，
∵是等边三角形
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴．
3．（1）解：由题意得度，度
度，
即，
解得；
（2）解：因为将沿边折叠到处，
所以度，
所以，
因为，
所以，即，
由（1）得，代入得
解得，
所以
【考点25 等腰三角形的性质与判定的综合】
1．（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
，
．
2．（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，点D是的中点，，
∴．
在中，．
3．（1）解：∵，
∴，即为等腰三角形，
∵，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70；
（2）①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）若，
则，
∴．
①当时，，
∵，
∴此时不符合题意；
②当时，，
∵，
∴，
∴；
③当时，，
∴，
∴．
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【考点26 等边三角形的性质与判定的综合】
1．（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点，
∴，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过E作交于F，
∴
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
在和中，
∴，
∴
∵，
∴
2．（1）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵，P是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【考点27 含30°的直角三角形性质的应用】
1．（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）；
证明：，，
，
，，
，
，
．
2．（1）解：当点在的中点上时，．
理由：连接．
∵为中点，，
为的平分线，
，，
．
（2）解:，，为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．（1）解：∵旋转，
∴，，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
∵旋转，
∴，，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：延长至点，使，连接，作，则：，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，的长最短，为的长，
∵，
∴；
故的最小值为4．
【考点28 尺规作角平分线、线段垂直平分线】
1．解：点P即为所求，如图所示：

2．解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求．
3．解：如图：点P的位置即为所求．
【考点29 作轴对称图形】
1．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图可得：，，．
（3）解：．
2．（1）如图，即为所求．
（2）的面积是
（3）如图，点Q即为所求．
3．（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图2中，点P即为所求．
理由：在直线l上任意取一点，连接， ．
∵A，关于直线l对称，
∴，，
∵，
∴点P即为所求的点P．
【考点30 利用轴对称设计图案】
1．解：由题意，作图如下：
2．解：根据题意作图如下：
3．（1）解：该图是轴对称图形，对称轴如图所示：
（2）解：共有四种方法，如图所示：

【考点31 做辅助线构造全等三角形】
1．证明：（1）连接．
，点O是的中点，
，
，
，
在等边中，，
在和中，
，
，
平分；
（2）过点O分别作于点M，于点N
，
，点O是的中点，
则，
，点F是的中点，
则，
，
，
∵，
在和中，
，
，
，
∴平分；
（3）过点D作于点H．
由等边和等腰可知，
，
即，
又，
，
，
，
，
，
，点F是的中点，
，，
在和中，
，
，
，
.
2．（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
（2）①在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
②如图3，过点A分别作于H，于M，交的延长线于点N，过点F作于K．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：；理由如下：
由（1）得：，
∴，
即，
∵，垂足为D，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）；理由如下：
如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∴．
【考点32 做辅助线构造等腰三角形】
1．解：连接、，
，是的中点，
，
点是的中点，
．
2．解：（1）∵为等边三角形，D为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
故答案为：
（2），证明如下：
如图②，过点D作，交于点M，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）的长为9或1，理由如下：
当点Q在线段的延长线上时，
如图③，作交于点M，
由（2）知为等边三角形，
∴，，
∵D为等边的边的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，如图④，
同理可证明，
则，
综上所述，的长为9或1．
3．解：（1）∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）结论：，
证明：在上截取，连接，
在等边中，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
又，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【考点33 三角形中的最值问题】
1．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，的周长是，
∴；
②当点与重合时，周长的值最小，
理由：∵，，
∴与重合时，，此时最小，
∴周长的最小值．
2．模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，．
点B与点关于直线l对称，
直线l是的垂直平分线．
，，
．
在中，，
，即最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．
故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边；
模型应用：解：如图，直线m与交于点D，
∵直线m垂直平分，
∴B、C关于直线m对称，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∵，，
∴周长的最小值是．
故答案为：9；
模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
故答案为100．
3．（1）解：①设
∵
∴
∵是的高，是的角平分线，
∴，
∴
∴；
②∵是的高，
∴
∵
∴
∵是等腰三角形时
当时，
∴
解得：即
当时，
∴
解得：即
当时，
∴
s解得：（不合题意，舍去）
综上所述，或
（2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接，
∵，是的高，
∴是的对称轴，
∴，当重合时取得最小值，即的最小值为
∵的面积是，
∴
∴的最小值是
【考点34 三角形中的分类讨论】
1．（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：当时，；理由如下：
∵，，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴（）；
（3）解：存在是等腰三角形；理由如下：
∵是等腰三角形，
，，
①当时，
∴，
即，
∴；
②当时，是等腰三角形，
∴，即，
∴；
③当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
此时点与点重合，点和重合，
∵点不与，重合，
∴，舍去，
综合所述，存在是等腰三角形；或．
2．（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，如图
∴，
由题意得：，
当点P在x轴的正半轴上时，，
∴；
（3）解：存在；
当时，则，
如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，；
当点Q在y轴负半轴上时，；
当时，则，
如右图，当点Q在y轴正半轴上时，；
当点Q在y轴负半轴上时，；
综上，点Q的坐标为或或或．
3．（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和；
②当AB=AC时，如图，和；
③当BC=AC时，如图和．
综上可知满足条件的点C有个，
故答案为：；
（2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；
当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．

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