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5.3.1一元一次方程的应用(配套、几何、工程、方案)提升课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，则她答对了（　　）
A．15道 B．16道 C．17道 D．18道
2．长方形 和正方形 3按如图方式摆放成一个长为3322、宽为2020的长方形，则 S2的边长为(　　).
A．651 B．655 C．656 D．662 E．666
3．已知一项工程由甲单独做需要 40 天完成，由乙单独做需要50天完成.若甲先单独做4天，然后甲、乙两人合作x天恰好完成这项工程，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
4．（2023七上·忠县月考）现有m辆客车、n个人．若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车：若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车据此列出下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是(　　)
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
5．（2025七上·临平期末）如图，一块长方形的地面是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（　　）
A．9 B．12 C．14 D．18
6．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
7．某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（　　）
A．200套 B．201套 C．202套 D．203套
8．（2024七上·香洲期末）如图，长方形ABCD被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形CEFG，若小长方形CEFG的两边，则大长方形的两边的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025七上·龙岗期末）如图所示，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为15克，则当B的质量为　 　克时，天平处于平衡状态.
10．（2025七上·南宁期末）如图所示，第1个图案中有1个正方形，第2个图案中有3个正方形，第3个图案中有5个正方形，，按此规律排列下去，若第个图案中有2025个正方形，则　 　．
11．（2024七上·仙居期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是　 　．
12．（沪科版七上数学3.2一元一次方程的应用课时作业（1））实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入　 　 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
13．（2025七上·白云期末）将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪　 　刀．
三、解答题
14．（2025七上·澄海期末）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两工厂按原速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的速度提高25%，乙工厂单独完成剩下的部分，且乙工厂全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂加工多少天
15．某加工厂利用如图1所示的长方形铁片和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)焊接成如图2 所示的 A 型铁盒与 B型铁盒，两种铁盒均无盖.
（1）现要制作a个A 型铁盒和b个B型铁盒，共需要　 　张长方形铁片　 　张正方形铁片.
（2）现有m张正方形铁片，n张长方形铁片，若这些铁片全部用完时，所制作的 A 型、B型两种铁盒的数量恰好相等，则m，n应满足怎样的数量关系
（3）现有正方形铁片50 张，长方形铁片100张，若这些铁片恰好用完，则可制作A型、B型两种铁盒各多少个
16．如图，点C 在线段AB 上，AC=2BC，点 D，E 在AB 的反向延长线上，且点 D 在点 E的左侧.若 AB=2DE，线段 DE 在直线AB 上移动，且满足关系式 求 的值.
17．为发展校园篮球运动，某县城区四校)决定联合购买一批篮球运动装备.市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，且一套队服比一个篮球多50元，两套队服与三个篮球的费用相等.经洽谈，甲商场给予的优惠方案是每购买五套队服，送一个篮球；乙商场给予的优惠方案是若购买篮球队服超过80套，则购买篮球打八折.
（1）求每套篮球队服和每个篮球的价格各是多少.
（2）若城区四校联合购买 100 套篮球队服和a(a>20)个篮球，请用含a的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用.
（3）在(2)的条件下，若a=90，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算 请通过计算说明理由.
18．瑞士数学家欧拉是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了886本(篇)书籍和论文.著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师.”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影.下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题.
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子们这样分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得 200 克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多.问这位父亲共有几个儿子 每个儿子分得多少财产 这位父亲共留下多少财产
19．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系.
（1）如图，通过观察图中几何体，完成下列表格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 　 　
五面体 5 　 　 8
六面体 8 6 　 　
（2）通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：　 　 .
（3）【实际应用】
足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形.如果我们近似地把足球看成一个多面体.你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程.
20．（2024七上·百色期末） 【综合与实践】
木杆与重物
学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上让同学们探讨木杆与重物的实验问题，实验通过改变L2的长度和砝码的重量来保持木杆的平衡，并用表格记录了实验数据如下：
【实践发现】
实验次数 左边 右边
砝码重量M1（克） 支点O到左边挂重物处的距离L1（cm） 砝码重量M2（克） 支点O到右边挂重物处的距离L2（cm）
1 20 40 20 40
2 20 40 40 20
3 20 40 60 13.33
4 20 40 80 10
5 20 40 100 8
… M1 L1 M2 L2
小明从表中发现这样的规律：，
，
，
，
，…
.
【实践运用】根据上面规律解决下列问题：
（1）若，则L2=　 　cm；
（2）若M1的重量是50克，L1的长度是40cm，L2的长度是10cm，则M2等于多少克才能保持木杆平衡？
（3）学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如图所示，提纽处O是支点，已知AO为5cm，秤砣重量是500克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时，则重物的重量约是多少斤？（1斤=500克）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设她答对了x道，则答错了(20-x)道，
由题意可列：5x-3(20-x)=76，
解得：x=17，
故答案为：C.
【分析】根据题意，设答对了x道，然后列方程，解之即可.
2．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形 S1，S2，S3的边长分别为s1，s2，s3，
则
两式相减得2=1302，=651.
故答案为：A.
【分析】设三个正方形边长，利用长方形的长和宽与正方形边长的关系列方程，通过两式相减消去 ，直接求出S2.
3．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设这项工程的总工作量为1，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，由题意，得
故选：A.
【分析】根据“工作效率×工作时间=工作总量”列方程.
4．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据总人数列方程，应是，
故④正确，①错误；
根据客车数列方程，应该为，
故③正确，②错误；
所以正确的是③，④.
故答案为：D．
【分析】先根据总的客车数量及总的人数不变，列出方程，再用排除法进行分析从而得到正确结果．
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设④号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，
∴②号正方形的边长为，
∴①号正方形的边长为，
∴，
∵长方形的周长为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①号正方形的边长为14，
故答案为：C．
【分析】设④号正方形的边长，即可表示出的长，利用长方形周长公式求出x值即可．
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，由题意列方程为：
故答案为：C
【分析】等量关系为：甲的总工作量+乙的总工作量＝1
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，
根据题意得：，解得：（人），
所以每天最多生产的配套零件的套数为：套．
故答案为 ：A．
【分析】设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，根据“ 每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套 ”列方程解题即可.
8．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设HI＝a，则FG＝5，DN＝13 a，M＝a＋5，AN＝2a＋5，
在长方形ABCD内，AB＝CD，
即 AM＋BM＝DE＋CE，
∴2a＋5＋a＋5＝13 a＋5，
解得：a＝2，
∴AB＝16，BC＝20，
∴，
故答案为：B.
【分析】设HI＝a，则FG＝5，DN＝13 a，M＝a＋5，AN＝2a＋5，再结合AM＋BM＝DE＋CE，可得2a＋5＋a＋5＝13 a＋5，求出a的值，可得AB和BC的长，再求出即可.
9．【答案】7.5
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设B的质量为x，则根据题意可知
15×2+x=15+3x，整理可得30+x=15+3x
解方程得x=7.5，即B的质量为7.5克.
故答案为：7.5.
【分析】 根据天平平衡的原理，天平两边的质量应该相等. 因此，可以设定B的质量为未知数x，然后根据天平两边的质量相等这一条件，列出一个方程. 最后，解这个方程，就可以得到B的质量.
10．【答案】1013
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：第1个图案中有1个正方形，而；
第2个图案中有3个正方形，而；
第3个图案中有5个正方形，而；
，
第n个图案中有有个正方形，
当时，．
故答案为：1013
【分析】根据第1个图案中有1个正方形，而；第2个图案中有3个正方形，而；第3个图案中有5个正方形，而；，即可得出第n个图案中有有个正方形，根据 第个图案中有2025个正方形，即可得出方程，解方程即可得出答案。
11．【答案】17
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设小明答对的题数是，则答错的题数为，
由题意，得：，
解得：，
答对的题数是 17
故答案为：17．
【分析】设答对的题数为，则答错的题数为，根据小明的总分为82分列出方程，计算求解即可．
12．【答案】，，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣t=0.5，
解得：t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵t﹣1=0.5，
解得：t=，
∵×=6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷=分钟，=，即经过分钟边容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
∴，解得：t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=，
综上所述开始注入，，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．
13．【答案】506
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵剪1刀，绳子变为5段，段；
剪2刀，绳子变为9段，段；
剪3刀，绳子变为13段，段；
…，
∴剪n刀，绳子变为段，
∴想要剪得2025段绳子，则，
解得：．
故答案为：506．
【分析】先求出规律剪n刀，绳子变为段，再根据“想要剪得2025段绳子”列出方程，再求出n的值即可.
14．【答案】解：（1）设这批校服共有x件，
由题意得：
解得：x=960．
答：这批校服共有960件；
（2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+4）天，依题意有
（16+24）a+24×（1+25%）（2a+4-a）=960，
解得：a=12，
∴2a+4=24+4=28．
答：乙工厂共加工28天.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】
本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．（1）设这批校服共有x件，则可知甲厂需天，乙厂需要天，单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，根据此等量关系列出方程求解即可．
（2）可设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+4）天，根据题意找出等量关系列出方程求解即可．
15．【答案】（1）(4a+3b)；(a+2b)
（2）解：设所制作的A型、B型两种铁盒各有c个，则需要3c张正方形铁片，7c张长方形铁片.
由题意，有m=3c，n=7c，则3n=7m
（3）解：设可制作 A型铁盒x个，则可制作 B型铁盒 个.
由题意，得 解得x=10，
所以
答：可制作 A型铁盒10个，B型铁盒20个
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：(1)现在要做a个，A型铁盒和b个B型铁盒，共需要(4a+3b)张长方形铁片，(a+2b)张正方形铁片，
故答案为：(4a+3b)，(a+2b).
【分析】(1)一个A型铁盒需要4个长方形铁片和1个正方形铁片；一个B型铁盒需要3个长方形铁片和2个正方形铁片，依此即可求解；
(2)设所制作的A型、B型两种铁盒的数量各有c个，根据等量关系列出方程即可求解；
(3)设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个，根据长方形铁片100张，列出方程，再解即可.
16．【答案】解：设BC=x，则AC=2x，AB=3x，DE=1.5x.设CE=y，
∴DC=EC+DE=y+1.5x，
∴AD=DC-AC=y+1.5x-2x=y-0.5x.
∴3BE=2(AD+EC)，即3(x+y)=2(y-0.5x+y)，
∴y=4x，
∴CD=y+1.5x=5.5x，BD=CD+BC=6.5x，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】 首先设定线段BC的长度为x，则AC=2x，AB=3x，DE的长度由AB=2DE可得DE=1.5x，然后通过设定CE的长度为y，建立AD和EC的表达式，代入给定的分式方程求解y的值，进而计算CD和BD的长度比值即可.
17．【答案】（1）解：设每个篮球的价格是x元，则每套篮球队服的价格是(x+50)元.
由题意，得2(x+50)=3x，
解得x=100，
∴x+50=150.
答：每套篮球队服的价格是150元，每个篮球的价格是100元
（2）解：到甲商场购买装备所花的费用为
元，
到乙商场购买装备所花的费用为
150×100+0.8×100·a=(80a+15 000)元.
答：到甲商场购买装备所花的费用为(100a+13 000)元，到乙商场购买装备所花的费用为(80a+15 000)元
（3）解：到甲商场购买比较合算.理由如下：
将a=90代入，得100a+13000=22 000(元)，80a+15 000=22 200(元).
因为22000<22 200，
所以到甲商场购买比较合算
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】⑴根据题意列出一元一次方程解答即可.
⑵根据题意写出相应代数式即可.
⑶通过代数式求值完成方案选择.
18．【答案】解：解法一 设有x个儿子，则最后一个儿子分得100x 克朗，倒数第二个儿子先得到100(x—1)克朗，又得到“余下的 ”，即留给最后一个儿子的是余下的 ，故这个“余下的 ”也是最后一个儿子钱数的 .由最后两个儿子分得钱数相等，得方程
解得 x=9.
所以这位父亲共有9个儿子，每人分得财产100x=900(克朗)，留下900×9=8100(克朗)财产.
答： 这位父亲共有9个儿子，每个儿子分得900克朗，这位父亲共留下8100克朗财产.
解法二 设每个孩子分得的财产是x，总的财产是y，则根据题意，
第一个孩子分得的财产是：
第二个孩子分得的财产是：
第三个孩子分得的财产是：
依此类推，可以看出，老大与老二(老二与老三，老三与老四等都一样)的差额是
根据题意，这个差数应当是0，于是得出一元，一次方程：100—
解之，得x=900，于是y=8100.经过验证，每个孩子确实都分得900元，即第二、三、四……个方程都满足8100÷900=9(个).
答： 这位父亲共有9个儿子，每个儿子分得900克朗，这位父亲共留下8100克朗财产.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】 利用 “每个儿子分得财产相同” 这一条件，通过设未知数（儿子数或每人分得财产 ），建立方程刻画财产分配的数量关系 ，解法一：抓住 “倒数两个儿子” 的分配逻辑，将剩余财产的比例关系转化为方程，简化计算.
解法二：通过设总财产和每人分得财产，利用前两个儿子的分配式联立消元，直接求解.
19．【答案】（1）6；5；12
（2）2
（3）解：设正五边形有块，则正六边形有块，
则，，
，
根据欧拉公式得，
则，
解得，，
所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：(1)填表如下：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
故答案为：6，5，12；
(2)V+F-E=2.
故答案为：2；
【分析】(1)观察几何体，即可完成表格；
(2)直接利用欧拉公式求出答案；
(3)根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有x块，而黑皮共有边数为5x块，依此借助欧拉公式列方程求解即可.
20．【答案】（1）16
（2）解：50×40=10M2
M2=200
答：M2等于200克才能保持木杆平衡.
（3）解：设物体的重量约是m克，则
5m=（211）×500
m=2000
2000÷500=4（斤）
答：重物的重量约是4斤.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：16
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）设物体的重量约是m克，根据结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
1 / 15.3.1一元一次方程的应用(配套、几何、工程、方案)提升课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，则她答对了（　　）
A．15道 B．16道 C．17道 D．18道
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设她答对了x道，则答错了(20-x)道，
由题意可列：5x-3(20-x)=76，
解得：x=17，
故答案为：C.
【分析】根据题意，设答对了x道，然后列方程，解之即可.
2．长方形 和正方形 3按如图方式摆放成一个长为3322、宽为2020的长方形，则 S2的边长为(　　).
A．651 B．655 C．656 D．662 E．666
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形 S1，S2，S3的边长分别为s1，s2，s3，
则
两式相减得2=1302，=651.
故答案为：A.
【分析】设三个正方形边长，利用长方形的长和宽与正方形边长的关系列方程，通过两式相减消去 ，直接求出S2.
3．已知一项工程由甲单独做需要 40 天完成，由乙单独做需要50天完成.若甲先单独做4天，然后甲、乙两人合作x天恰好完成这项工程，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设这项工程的总工作量为1，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，由题意，得
故选：A.
【分析】根据“工作效率×工作时间=工作总量”列方程.
4．（2023七上·忠县月考）现有m辆客车、n个人．若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车：若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车据此列出下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是(　　)
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据总人数列方程，应是，
故④正确，①错误；
根据客车数列方程，应该为，
故③正确，②错误；
所以正确的是③，④.
故答案为：D．
【分析】先根据总的客车数量及总的人数不变，列出方程，再用排除法进行分析从而得到正确结果．
5．（2025七上·临平期末）如图，一块长方形的地面是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（　　）
A．9 B．12 C．14 D．18
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设④号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，
∴②号正方形的边长为，
∴①号正方形的边长为，
∴，
∵长方形的周长为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①号正方形的边长为14，
故答案为：C．
【分析】设④号正方形的边长，即可表示出的长，利用长方形周长公式求出x值即可．
6．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，由题意列方程为：
故答案为：C
【分析】等量关系为：甲的总工作量+乙的总工作量＝1
7．某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（　　）
A．200套 B．201套 C．202套 D．203套
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，
根据题意得：，解得：（人），
所以每天最多生产的配套零件的套数为：套．
故答案为 ：A．
【分析】设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，根据“ 每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套 ”列方程解题即可.
8．（2024七上·香洲期末）如图，长方形ABCD被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形CEFG，若小长方形CEFG的两边，则大长方形的两边的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设HI＝a，则FG＝5，DN＝13 a，M＝a＋5，AN＝2a＋5，
在长方形ABCD内，AB＝CD，
即 AM＋BM＝DE＋CE，
∴2a＋5＋a＋5＝13 a＋5，
解得：a＝2，
∴AB＝16，BC＝20，
∴，
故答案为：B.
【分析】设HI＝a，则FG＝5，DN＝13 a，M＝a＋5，AN＝2a＋5，再结合AM＋BM＝DE＋CE，可得2a＋5＋a＋5＝13 a＋5，求出a的值，可得AB和BC的长，再求出即可.
二、填空题
9．（2025七上·龙岗期末）如图所示，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为15克，则当B的质量为　 　克时，天平处于平衡状态.
【答案】7.5
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设B的质量为x，则根据题意可知
15×2+x=15+3x，整理可得30+x=15+3x
解方程得x=7.5，即B的质量为7.5克.
故答案为：7.5.
【分析】 根据天平平衡的原理，天平两边的质量应该相等. 因此，可以设定B的质量为未知数x，然后根据天平两边的质量相等这一条件，列出一个方程. 最后，解这个方程，就可以得到B的质量.
10．（2025七上·南宁期末）如图所示，第1个图案中有1个正方形，第2个图案中有3个正方形，第3个图案中有5个正方形，，按此规律排列下去，若第个图案中有2025个正方形，则　 　．
【答案】1013
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：第1个图案中有1个正方形，而；
第2个图案中有3个正方形，而；
第3个图案中有5个正方形，而；
，
第n个图案中有有个正方形，
当时，．
故答案为：1013
【分析】根据第1个图案中有1个正方形，而；第2个图案中有3个正方形，而；第3个图案中有5个正方形，而；，即可得出第n个图案中有有个正方形，根据 第个图案中有2025个正方形，即可得出方程，解方程即可得出答案。
11．（2024七上·仙居期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是　 　．
【答案】17
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设小明答对的题数是，则答错的题数为，
由题意，得：，
解得：，
答对的题数是 17
故答案为：17．
【分析】设答对的题数为，则答错的题数为，根据小明的总分为82分列出方程，计算求解即可．
12．（沪科版七上数学3.2一元一次方程的应用课时作业（1））实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入　 　 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【答案】，，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣t=0.5，
解得：t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵t﹣1=0.5，
解得：t=，
∵×=6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷=分钟，=，即经过分钟边容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
∴，解得：t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=，
综上所述开始注入，，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．
13．（2025七上·白云期末）将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪　 　刀．
【答案】506
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵剪1刀，绳子变为5段，段；
剪2刀，绳子变为9段，段；
剪3刀，绳子变为13段，段；
…，
∴剪n刀，绳子变为段，
∴想要剪得2025段绳子，则，
解得：．
故答案为：506．
【分析】先求出规律剪n刀，绳子变为段，再根据“想要剪得2025段绳子”列出方程，再求出n的值即可.
三、解答题
14．（2025七上·澄海期末）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两工厂按原速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的速度提高25%，乙工厂单独完成剩下的部分，且乙工厂全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂加工多少天
【答案】解：（1）设这批校服共有x件，
由题意得：
解得：x=960．
答：这批校服共有960件；
（2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+4）天，依题意有
（16+24）a+24×（1+25%）（2a+4-a）=960，
解得：a=12，
∴2a+4=24+4=28．
答：乙工厂共加工28天.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】
本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．（1）设这批校服共有x件，则可知甲厂需天，乙厂需要天，单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，根据此等量关系列出方程求解即可．
（2）可设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+4）天，根据题意找出等量关系列出方程求解即可．
15．某加工厂利用如图1所示的长方形铁片和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)焊接成如图2 所示的 A 型铁盒与 B型铁盒，两种铁盒均无盖.
（1）现要制作a个A 型铁盒和b个B型铁盒，共需要　 　张长方形铁片　 　张正方形铁片.
（2）现有m张正方形铁片，n张长方形铁片，若这些铁片全部用完时，所制作的 A 型、B型两种铁盒的数量恰好相等，则m，n应满足怎样的数量关系
（3）现有正方形铁片50 张，长方形铁片100张，若这些铁片恰好用完，则可制作A型、B型两种铁盒各多少个
【答案】（1）(4a+3b)；(a+2b)
（2）解：设所制作的A型、B型两种铁盒各有c个，则需要3c张正方形铁片，7c张长方形铁片.
由题意，有m=3c，n=7c，则3n=7m
（3）解：设可制作 A型铁盒x个，则可制作 B型铁盒 个.
由题意，得 解得x=10，
所以
答：可制作 A型铁盒10个，B型铁盒20个
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：(1)现在要做a个，A型铁盒和b个B型铁盒，共需要(4a+3b)张长方形铁片，(a+2b)张正方形铁片，
故答案为：(4a+3b)，(a+2b).
【分析】(1)一个A型铁盒需要4个长方形铁片和1个正方形铁片；一个B型铁盒需要3个长方形铁片和2个正方形铁片，依此即可求解；
(2)设所制作的A型、B型两种铁盒的数量各有c个，根据等量关系列出方程即可求解；
(3)设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个，根据长方形铁片100张，列出方程，再解即可.
16．如图，点C 在线段AB 上，AC=2BC，点 D，E 在AB 的反向延长线上，且点 D 在点 E的左侧.若 AB=2DE，线段 DE 在直线AB 上移动，且满足关系式 求 的值.
【答案】解：设BC=x，则AC=2x，AB=3x，DE=1.5x.设CE=y，
∴DC=EC+DE=y+1.5x，
∴AD=DC-AC=y+1.5x-2x=y-0.5x.
∴3BE=2(AD+EC)，即3(x+y)=2(y-0.5x+y)，
∴y=4x，
∴CD=y+1.5x=5.5x，BD=CD+BC=6.5x，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】 首先设定线段BC的长度为x，则AC=2x，AB=3x，DE的长度由AB=2DE可得DE=1.5x，然后通过设定CE的长度为y，建立AD和EC的表达式，代入给定的分式方程求解y的值，进而计算CD和BD的长度比值即可.
17．为发展校园篮球运动，某县城区四校)决定联合购买一批篮球运动装备.市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，且一套队服比一个篮球多50元，两套队服与三个篮球的费用相等.经洽谈，甲商场给予的优惠方案是每购买五套队服，送一个篮球；乙商场给予的优惠方案是若购买篮球队服超过80套，则购买篮球打八折.
（1）求每套篮球队服和每个篮球的价格各是多少.
（2）若城区四校联合购买 100 套篮球队服和a(a>20)个篮球，请用含a的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用.
（3）在(2)的条件下，若a=90，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算 请通过计算说明理由.
【答案】（1）解：设每个篮球的价格是x元，则每套篮球队服的价格是(x+50)元.
由题意，得2(x+50)=3x，
解得x=100，
∴x+50=150.
答：每套篮球队服的价格是150元，每个篮球的价格是100元
（2）解：到甲商场购买装备所花的费用为
元，
到乙商场购买装备所花的费用为
150×100+0.8×100·a=(80a+15 000)元.
答：到甲商场购买装备所花的费用为(100a+13 000)元，到乙商场购买装备所花的费用为(80a+15 000)元
（3）解：到甲商场购买比较合算.理由如下：
将a=90代入，得100a+13000=22 000(元)，80a+15 000=22 200(元).
因为22000<22 200，
所以到甲商场购买比较合算
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】⑴根据题意列出一元一次方程解答即可.
⑵根据题意写出相应代数式即可.
⑶通过代数式求值完成方案选择.
18．瑞士数学家欧拉是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了886本(篇)书籍和论文.著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师.”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影.下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题.
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子们这样分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得 200 克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多.问这位父亲共有几个儿子 每个儿子分得多少财产 这位父亲共留下多少财产
【答案】解：解法一 设有x个儿子，则最后一个儿子分得100x 克朗，倒数第二个儿子先得到100(x—1)克朗，又得到“余下的 ”，即留给最后一个儿子的是余下的 ，故这个“余下的 ”也是最后一个儿子钱数的 .由最后两个儿子分得钱数相等，得方程
解得 x=9.
所以这位父亲共有9个儿子，每人分得财产100x=900(克朗)，留下900×9=8100(克朗)财产.
答： 这位父亲共有9个儿子，每个儿子分得900克朗，这位父亲共留下8100克朗财产.
解法二 设每个孩子分得的财产是x，总的财产是y，则根据题意，
第一个孩子分得的财产是：
第二个孩子分得的财产是：
第三个孩子分得的财产是：
依此类推，可以看出，老大与老二(老二与老三，老三与老四等都一样)的差额是
根据题意，这个差数应当是0，于是得出一元，一次方程：100—
解之，得x=900，于是y=8100.经过验证，每个孩子确实都分得900元，即第二、三、四……个方程都满足8100÷900=9(个).
答： 这位父亲共有9个儿子，每个儿子分得900克朗，这位父亲共留下8100克朗财产.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】 利用 “每个儿子分得财产相同” 这一条件，通过设未知数（儿子数或每人分得财产 ），建立方程刻画财产分配的数量关系 ，解法一：抓住 “倒数两个儿子” 的分配逻辑，将剩余财产的比例关系转化为方程，简化计算.
解法二：通过设总财产和每人分得财产，利用前两个儿子的分配式联立消元，直接求解.
19．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系.
（1）如图，通过观察图中几何体，完成下列表格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 　 　
五面体 5 　 　 8
六面体 8 6 　 　
（2）通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：　 　 .
（3）【实际应用】
足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形.如果我们近似地把足球看成一个多面体.你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程.
【答案】（1）6；5；12
（2）2
（3）解：设正五边形有块，则正六边形有块，
则，，
，
根据欧拉公式得，
则，
解得，，
所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：(1)填表如下：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
故答案为：6，5，12；
(2)V+F-E=2.
故答案为：2；
【分析】(1)观察几何体，即可完成表格；
(2)直接利用欧拉公式求出答案；
(3)根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有x块，而黑皮共有边数为5x块，依此借助欧拉公式列方程求解即可.
20．（2024七上·百色期末） 【综合与实践】
木杆与重物
学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上让同学们探讨木杆与重物的实验问题，实验通过改变L2的长度和砝码的重量来保持木杆的平衡，并用表格记录了实验数据如下：
【实践发现】
实验次数 左边 右边
砝码重量M1（克） 支点O到左边挂重物处的距离L1（cm） 砝码重量M2（克） 支点O到右边挂重物处的距离L2（cm）
1 20 40 20 40
2 20 40 40 20
3 20 40 60 13.33
4 20 40 80 10
5 20 40 100 8
… M1 L1 M2 L2
小明从表中发现这样的规律：，
，
，
，
，…
.
【实践运用】根据上面规律解决下列问题：
（1）若，则L2=　 　cm；
（2）若M1的重量是50克，L1的长度是40cm，L2的长度是10cm，则M2等于多少克才能保持木杆平衡？
（3）学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如图所示，提纽处O是支点，已知AO为5cm，秤砣重量是500克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时，则重物的重量约是多少斤？（1斤=500克）
【答案】（1）16
（2）解：50×40=10M2
M2=200
答：M2等于200克才能保持木杆平衡.
（3）解：设物体的重量约是m克，则
5m=（211）×500
m=2000
2000÷500=4（斤）
答：重物的重量约是4斤.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：16
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）设物体的重量约是m克，根据结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
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