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5.3.1一元一次方程的应用(配套、几何、工程、方案)培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设 完成此项工程甲、乙合做了天， 令工作总量为“1”根据工作量=工作效率×工作时间列方程解题即可.
2．如图，将甲量筒中液体全部倒入空量筒乙中，液体的高度比原来增加了5cm，根据图中的信息，可得正确的方程是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由圆柱的体积公式，可得大量筒中水的体积为：，小量筒中水的体积为：；根据大量筒中水的体积等于小量筒中水的体积，可列出方程：.
故答案选：B.
【分析】观察可知，大量筒中的底面直径为8，水高度为x，故大量筒中水的体积为：；接下来算出小量筒中水的体积，根据两个量筒中的水量相等便可列出方程.
3．（2025七上·江城期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（　　）
A．24 B．30 C．32 D．36
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法，
侧面的个数为：个，底面的个数为：个；
由题意得：，
解得：，
盒子的个数为：（个），
故答案为：B．
【分析】由x张用A方法，就有(19-x)张用B方法，则侧面的个数为：6x+4(19-x)=(2x+76)个，底面的个数为：5(19-x)=(95-5x)个；再由“ 每个盒子需要3个侧面和2个底面 ”可得侧面个数和底面个数比为3∶2，据此建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数．
4．某车间原计划用15 h生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了13 h不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产x个零件，则可列方程为 (　　)
A． B．
C．15x=13(x+10)+80 D．13(x+10)=15x+80
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】 设原计划每小时生产x个零件 ，则实际每小时生产（x+10）个零件，由题意列方程得：
故答案为：D.
【分析】等量关系为：实际生产量＝原计划生产量+80.
5．（2024七上·巴中期中）下列说法中，错误的个数（　　）
①若，则；
②若，则有是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则；
④若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2021；
⑤如果a、b、c是非零有理数，那么所有可能的值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：①若，则，
所以结论错误，此选项不符合题意；
②若，
则或或或，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是正数，
由上可得，是正数，
所以结论正确，此选项符合题意；
③三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则或或，所以结论错误，此选项不符合题意；
④若代数式的值与无关，则，
所以结论错误，此选项不符合题意；
⑤当、、中有一个负数时，
所以，
原式；
当、、中有两个负数时，
所以，
原式；
当、、中有三个负数时，
所以，
原式；
当、、都是正数时，
所以，
原式；
综上可得，所有可能的值为：或或或，
所以结论错误，此选项不符合题意．
故答案为： A．
【分析】①根据绝对值的意义可判断求解；
②分或或或四种情况判断即可求解；
③分三种情况计算即可判断求解；
④根据代数式的值与x无关求解即可；
⑤分类讨论：①、、中有一个负数时，②、、中有两个负数时，③、、中有三个负数时，④、、都是正数时．
6．（2024七上·南沙期中）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是-9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB=1，则C点表示的数是（　　）
A．-2 B．-2.5 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点C表示的数是x，∴AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，
∵AB=1，
∴AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，
解得：x=-2，
∴点C表示的数是-2．
故答案为：A．
【分析】设点C表示的数是x，则AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，再利用两点之间的距离公式可得AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，求出x的值，最后求出点C表示的数是-2即可．
7．（2023七上·义乌月考）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设，
∴变形为，
已知关于的一元一次方程的解为，
即的解为，
∴的解为，
∴，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为，
故答案为：B.
【分析】设，则等价于，已知的解为，得到关于的一元一次方程，的解为，则，计算求解即可．
8．（2023七上·新洲期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
　 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（　　）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．
设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
故答案为：D
【分析】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
二、填空题
9．（2025七上·常德期末）小明根据方程编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整．甲、乙两名工人生产零件，已知甲工人每天比乙工人多生产5个零件，　 　，请问甲工人每天生产多少个零件？（设甲工人每天生产个零件）
【答案】甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；代数式的实际意义
【解析】【解答】解：因为设甲工人每天生产个零件，则乙工人每天生产个零件，
所以方程中表示甲工人5天共生产零件的数量，
表示乙工人10天共生产零件的数量，
故表示甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件．
故答案为：甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件.
【分析】题目中给出的方程是关于甲、乙两人工作量的，其中变量x代表甲工人每天生产的零件数，则乙工人每天生产(x-5)个零件，根据工程问题中工作总量等于工作时间乘以工作效率，可分析方程各项的意义，即可解答．
10．（2024七上·武侯期中）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为；若如图③放置时，测得液面高为则该玻璃密封容器的容积圆柱体容积底面积高是　 　．（结果保留）
【答案】a2h．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2×h=V-π×a2×（h-h），
解得V=a2h，
故答案为：a2h．
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等可列关于v的方程，解之可求解.
11．（2025七上·镇海区期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为 ，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图 1 是由两块瓷砖铺设而成，需要在 处共填入 的美缝剂．如果地面按图 2 所示的方式铺设瓷砖，当铺设 5 块瓷砖时，需填入　 　 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为 的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了 的美缝剂，则该走廊的面积是　 　 。
【答案】13.2；14.4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解： 当铺设 5 块瓷砖时，需填入美缝剂为0.6×5×2+(5+1)×1.2=6+7.2=13.2m，
设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，
则0.6×n×2+(n+1)×1.2=49.2，
解得：n=20，
∴ 该走廊的面积是0.6×1.2×20=14.4m2，
故答案为：13.2，14.4.
【分析】根据瓷砖的缝隙的数量计算美缝剂的数量即可，然后设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，然后列方程求出瓷砖的块数，然后求面积即可.
12．（2022七上·宁波期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的长为，宽为.
则观察图形知：
∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴，即，
∴，
∵，
∴
故答案是：．
【分析】
为方便计算，可分别设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的宽为，长为，再结合图形可得AD长相等，即有；再根据阴影部分的周长相等得，则有，最后根据长方形面积公式计算即可．
13．（2024七上·成华开学考）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则　 　小时后水开始溢出水池．
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，打开甲水管1小时后池内的水为：，打开乙水管1小时后池内的水为：，
打开丙水管1小时后池内的水为：，打开丁水管1小时后池内的水为：，
∴第2次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
第3次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
第4次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
第5次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
∴第6次先打开甲水管1小时后池内的水为：，此时水溢出水池，
设第6次，甲打开小时，水池内的水正好满了，根据题意，得，
解得：，
∴水开始溢出水池的时间为：（小时），
故答案为：．
【分析】根据“要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时”的甲、乙、丙、丁每小时的进水、排水量，从而计算出第1次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水量，进而再计算后面的几次，直到发现水池内水的体积超过1，可求出第6次先打开甲水管1小时后池内的水溢出，接下来设第6次，甲打开小时，水池内的水正好满了，根据题意得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可求解水开始溢出水池的时间.
三、解答题
14．在“节能减排，做环保小卫士”的活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据.已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度0.5元.(注：用电度数=功率(kW)×时间(h)，费用=灯的售价+电费)
　 功率/kW 使用寿命/h 价格/(元/盏)
白炽灯 0.1 2 000 3
节能灯 0.02 4 000 35
（1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为 xh，则一盏白炽灯的费用为　 　元，一盏节能灯的费用为　 　元.(用含x的式子表示)
（2）在白炽灯的使用寿命内，当照明时间为多少时，使用这两种灯的费用相等
（3）如果计划照明4000 h，那么购买哪一种灯更省钱 请你通过计算说明理由.
【答案】（1）(0.05x+3)；(0.01x+35)
（2）解：由题意，得0.05x+3=0.01x+35，
解得x=800，且0<800<2000，
所以当照明时间为800 h时，使用这两种灯的费用相等
（3）解：购买节能灯更省钱.理由如下：
当x=4000时，
白炽灯的费用为4000×0.1×0.5+3×2=206(元)，
节能灯的费用为4 000×0.02×0.5+35=75(元).
因为206>75，
所以购买节能灯更省钱
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：(1)若照明时间为 xh，则
一盏白炽灯的费用为0.1×0.5x+3=(0.05x+3)元.
一盏节能灯的费用为0.02×0.5x+35=(0.01x+35)元.
故填：(0.05x+3)；(0.01x+35).
【分析】⑴根据“ 用电度数=功率(kW)×时间(h)，费用=灯的售价+电费 ” 列代数式即可.
⑵根据“白炽灯费用=节能灯费用”列方程作答.
⑶方案选择问题的关键在于用未知数分别表示出各个方案的费用，进而通过列方程、计算和比较来选择最优方案.
15．泵中水与水中泵
有两池水，甲池的水量是乙池水量的2倍.某工程人员将全部水泵(功率相同)接入甲池，工作了半天后，将水泵的一半转入乙池，又工作了半天后，甲池的水正好抽完，而乙池尚有余水，最后仅留下1台水泵在乙池，再工作了1天后，乙池的水正好也抽完.该工程队的全部水泵共有多少台
【答案】解：设全部水泵有台，每台水泵每天抽水量为单位，
甲池水量：全部水泵先抽半天（ ），再用一半水泵抽半天（ ），共 ，
乙池水量：一半水泵抽半天（ ），加台水泵抽天（ ），因甲池水量是乙池倍，
故：
解得：
答：该工程队的全部水泵共有8台.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】通过设未知数（水泵台数、每台抽水量 ），分别表示甲、乙池水量，利用“甲池水量是乙池倍”列方程求解.
16．（2024七上·锦江期末）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴在之间，则，，
∴，
解得：，
∴x的值为1．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
∴或，
解得：或．
（3）解：的值不会随着t的变化而变化；
根据题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）先求出，，再结合，可得，最后求出x的值即可；
（2）先求出，再根据，可得，最后求出x的值即可；
（3）先求出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再求出，，最后求出，从而得解.
（1）解：∵，
∴在之间，则，，
∴，
解得，，
∴x的值为1．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，即，或，
解得或．
（3）解：的值不会随着t的变化而变化；
由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2．
17．（2025七上·嵊州期末）美丽嵊州吸引了很多游客，使民宿经济得到蓬勃发展，甲、乙两个旅行团同时来嵊州旅游，住进了西白山下的同一家农家乐．已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和等于72人．
（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少人？
（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，农家乐消费标准为每人每天90元，儿童6折优惠，其余不优惠，若两旅行团在此农家乐每天消费的费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少人．
【答案】解：（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人为(x+4)人，
由题意得：x+x+4=4×18，
解得：x=34，
∴x+4=38
答：甲、乙两个旅行团的人数各是34人，38人．
（2）设甲团儿童人数为m人，则可知乙团儿童人数为（3m﹣2）人，
则甲团成人有（34﹣m）人，乙团成人有（38﹣3m+2）人．
根据题意列方程得：
90（34﹣m）+m×90×60%=90（38﹣3m+2）+（3m﹣2）×90×60%，
解得：m=6．
则3m﹣2=16．
答：甲团儿童人数为6人，乙团儿童人数为16人．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）设甲旅行团的人数为x人，根据“两团人数之和恰等于两团人数之差的18倍”列方程解题即可；
（2）设甲团儿童人数为m人，利用等量关系：甲乙所花门票相等可以列方程解题即可．
18．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题.去年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品.
（1）若去年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ，问去年最低投入多少万元购买药品
（2）今年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少 但社区在这两方面的总投入仍与去年相同.求去年社区购买药品的总费用.
（3）据统计，去年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的 .与去年相比，如果今年社区内健身家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数相同，那么，今年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 .求今年该社区健身家庭的户数.
【答案】（1）解：30×=10万元，
∴去年最低投入10万元购买药品.
（2）解：设去年社区购买药品x万元，购买健身器材（30-x）万元，
，
解得x=16，
∴去年购买药品的总费用为16万元.
（3）解：设这个相同的百分数为m，
则 ，
解得m=
即今年该社区健身家庭的户数为300户.
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据条件“ 去年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ”，即“ 去年社区购买药品的费用不超过总投入的 ”，此时即可列式计算；
（2）根据条件“ 今年该社区购买健身器材的费用比上一年增加50% ”，则今年购买健身器材的费用为（30-x）×（1+50%）万元；“ 购买药品的费用比上一年减少 ”，则今年购买药品的费用为，最后列方程求解即可；
（3）先根据条件得出， 今年该社区用于健身家庭的药品费用为，再列式得出当年购买健身器材费用为，最后列出方程求出m的值之后，计算即可。
19．如图，以直线 AB 上一点O 为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角板的直角顶点放在点 O 处.
（1）如图1，若直角三角板 DOE 的一边OD 放在射线OB 上，求∠COE的度数.
（2）如图2，将直角三角板 DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE，求∠COD的度数.
（3）如图2，将直角三角板 DOE 绕点O 在直线AB 上方逆时针方向转动，当∠DOC= 时，求∠BOD的度数.
【答案】（1）解：∵∠EOD=90°，∠BOC=70°，
∴∠COE=∠EOD-∠BOC=90°-70°=20°.
（2）解：∵OC平分∠BOE，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠BOC=70°，
∴∠COE=70°.又∵∠EOD=90°，
∴∠COD=∠EOD-∠COE=90°-70°=20°.
（3）解：如图1所示，
当OD在OB 和OC 之间时，设∠DOC=x°，则∠AOE=3x°，
∵∠BOC=70°，
∴∠BOD=70°-x°，则3x°+70°-x°=90°，
解得x=10，
∴∠BOD=70°-10°=60°.
如图2所示，
当OD 在OA 和OC 之间时，设∠DOC=y°，则∠AOE=3y°，
∴∠BOD=70°+y°，则3y°+70°+y°=90°，
解得y=5，
∴∠BOD=70°+5°=75°.
综上所述，∠BOD 的度数为60°或75°.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出∠COE与∠BOC互余，即可得出答案；
（2）求出∠EOC的度数即可得出答案；
（3）对OD的位置进行分类讨论即可得出答案．
20．（2023七上·成都期中）阅读材料：
已知多项式（a+4）x3+10x2﹣5x+3是关于x的二次多项式， 且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b.
（1）点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　；
（2）点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过多少秒，点A与点B相距4个单位？
（3）点M、N分别从点A、B出发沿数轴向右移动，速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，设OP- AM的值为y， 在移动过程中，y值是否发生变化？若不变，求出y值；若变化，说明理由．
【答案】（1）﹣4；10
（2）解： 设经过t秒，点A与点B相距4个单位，
|14+t-3t|=4，
解得：t=5或9，
答：点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过5或9秒，点A与点B相距4个单位；
（3）解：设时间为x秒，
∵根设经过t秒，点A与点B相距4个单位，根据题意得出|14+t-3t|=4，求出方程的解即可；
∴AM＝x×1＝x，ON＝10+2x，
∴OP＝ON＝ （10+2x）=5+x， ，
∵OP﹣AM的值为y，
∴y＝（5+x）﹣x＝5，
即在移动过程中，y的值不发生变化，y=5．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；多项式的项、系数与次数；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，
，
数轴上两点 对应的数分别为a，b，
点 A 表示的数是，点表示的数是10；
故答案为：，10；
【分析】（1）根据多项式定义确定出a、b的值；
（2）根据数轴动点问题求解。 根设经过t秒，点A与点B相距4个单位，根据题意得出|14+t-3t|=4，求出方程的解即可；
（3）根据数轴上两点间的距离求解。先求出和的长，再求出y即可．
1 / 15.3.1一元一次方程的应用(配套、几何、工程、方案)培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，将甲量筒中液体全部倒入空量筒乙中，液体的高度比原来增加了5cm，根据图中的信息，可得正确的方程是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2025七上·江城期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（　　）
A．24 B．30 C．32 D．36
4．某车间原计划用15 h生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了13 h不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产x个零件，则可列方程为 (　　)
A． B．
C．15x=13(x+10)+80 D．13(x+10)=15x+80
5．（2024七上·巴中期中）下列说法中，错误的个数（　　）
①若，则；
②若，则有是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则；
④若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2021；
⑤如果a、b、c是非零有理数，那么所有可能的值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024七上·南沙期中）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是-9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB=1，则C点表示的数是（　　）
A．-2 B．-2.5 C．0 D．1
7．（2023七上·义乌月考）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C．1 D．2
8．（2023七上·新洲期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
　 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（　　）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
二、填空题
9．（2025七上·常德期末）小明根据方程编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整．甲、乙两名工人生产零件，已知甲工人每天比乙工人多生产5个零件，　 　，请问甲工人每天生产多少个零件？（设甲工人每天生产个零件）
10．（2024七上·武侯期中）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为；若如图③放置时，测得液面高为则该玻璃密封容器的容积圆柱体容积底面积高是　 　．（结果保留）
11．（2025七上·镇海区期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为 ，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图 1 是由两块瓷砖铺设而成，需要在 处共填入 的美缝剂．如果地面按图 2 所示的方式铺设瓷砖，当铺设 5 块瓷砖时，需填入　 　 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为 的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了 的美缝剂，则该走廊的面积是　 　 。
12．（2022七上·宁波期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为　 　．
13．（2024七上·成华开学考）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则　 　小时后水开始溢出水池．
三、解答题
14．在“节能减排，做环保小卫士”的活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据.已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度0.5元.(注：用电度数=功率(kW)×时间(h)，费用=灯的售价+电费)
　 功率/kW 使用寿命/h 价格/(元/盏)
白炽灯 0.1 2 000 3
节能灯 0.02 4 000 35
（1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为 xh，则一盏白炽灯的费用为　 　元，一盏节能灯的费用为　 　元.(用含x的式子表示)
（2）在白炽灯的使用寿命内，当照明时间为多少时，使用这两种灯的费用相等
（3）如果计划照明4000 h，那么购买哪一种灯更省钱 请你通过计算说明理由.
15．泵中水与水中泵
有两池水，甲池的水量是乙池水量的2倍.某工程人员将全部水泵(功率相同)接入甲池，工作了半天后，将水泵的一半转入乙池，又工作了半天后，甲池的水正好抽完，而乙池尚有余水，最后仅留下1台水泵在乙池，再工作了1天后，乙池的水正好也抽完.该工程队的全部水泵共有多少台
16．（2024七上·锦江期末）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
17．（2025七上·嵊州期末）美丽嵊州吸引了很多游客，使民宿经济得到蓬勃发展，甲、乙两个旅行团同时来嵊州旅游，住进了西白山下的同一家农家乐．已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和等于72人．
（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少人？
（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，农家乐消费标准为每人每天90元，儿童6折优惠，其余不优惠，若两旅行团在此农家乐每天消费的费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少人．
18．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题.去年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品.
（1）若去年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ，问去年最低投入多少万元购买药品
（2）今年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少 但社区在这两方面的总投入仍与去年相同.求去年社区购买药品的总费用.
（3）据统计，去年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的 .与去年相比，如果今年社区内健身家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数相同，那么，今年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 .求今年该社区健身家庭的户数.
19．如图，以直线 AB 上一点O 为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角板的直角顶点放在点 O 处.
（1）如图1，若直角三角板 DOE 的一边OD 放在射线OB 上，求∠COE的度数.
（2）如图2，将直角三角板 DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE，求∠COD的度数.
（3）如图2，将直角三角板 DOE 绕点O 在直线AB 上方逆时针方向转动，当∠DOC= 时，求∠BOD的度数.
20．（2023七上·成都期中）阅读材料：
已知多项式（a+4）x3+10x2﹣5x+3是关于x的二次多项式， 且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b.
（1）点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　；
（2）点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过多少秒，点A与点B相距4个单位？
（3）点M、N分别从点A、B出发沿数轴向右移动，速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，设OP- AM的值为y， 在移动过程中，y值是否发生变化？若不变，求出y值；若变化，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设 完成此项工程甲、乙合做了天， 令工作总量为“1”根据工作量=工作效率×工作时间列方程解题即可.
2．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由圆柱的体积公式，可得大量筒中水的体积为：，小量筒中水的体积为：；根据大量筒中水的体积等于小量筒中水的体积，可列出方程：.
故答案选：B.
【分析】观察可知，大量筒中的底面直径为8，水高度为x，故大量筒中水的体积为：；接下来算出小量筒中水的体积，根据两个量筒中的水量相等便可列出方程.
3．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法，
侧面的个数为：个，底面的个数为：个；
由题意得：，
解得：，
盒子的个数为：（个），
故答案为：B．
【分析】由x张用A方法，就有(19-x)张用B方法，则侧面的个数为：6x+4(19-x)=(2x+76)个，底面的个数为：5(19-x)=(95-5x)个；再由“ 每个盒子需要3个侧面和2个底面 ”可得侧面个数和底面个数比为3∶2，据此建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数．
4．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】 设原计划每小时生产x个零件 ，则实际每小时生产（x+10）个零件，由题意列方程得：
故答案为：D.
【分析】等量关系为：实际生产量＝原计划生产量+80.
5．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：①若，则，
所以结论错误，此选项不符合题意；
②若，
则或或或，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是正数，
由上可得，是正数，
所以结论正确，此选项符合题意；
③三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则或或，所以结论错误，此选项不符合题意；
④若代数式的值与无关，则，
所以结论错误，此选项不符合题意；
⑤当、、中有一个负数时，
所以，
原式；
当、、中有两个负数时，
所以，
原式；
当、、中有三个负数时，
所以，
原式；
当、、都是正数时，
所以，
原式；
综上可得，所有可能的值为：或或或，
所以结论错误，此选项不符合题意．
故答案为： A．
【分析】①根据绝对值的意义可判断求解；
②分或或或四种情况判断即可求解；
③分三种情况计算即可判断求解；
④根据代数式的值与x无关求解即可；
⑤分类讨论：①、、中有一个负数时，②、、中有两个负数时，③、、中有三个负数时，④、、都是正数时．
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点C表示的数是x，∴AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，
∵AB=1，
∴AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，
解得：x=-2，
∴点C表示的数是-2．
故答案为：A．
【分析】设点C表示的数是x，则AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，再利用两点之间的距离公式可得AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，求出x的值，最后求出点C表示的数是-2即可．
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设，
∴变形为，
已知关于的一元一次方程的解为，
即的解为，
∴的解为，
∴，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为，
故答案为：B.
【分析】设，则等价于，已知的解为，得到关于的一元一次方程，的解为，则，计算求解即可．
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．
设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
故答案为：D
【分析】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
9．【答案】甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；代数式的实际意义
【解析】【解答】解：因为设甲工人每天生产个零件，则乙工人每天生产个零件，
所以方程中表示甲工人5天共生产零件的数量，
表示乙工人10天共生产零件的数量，
故表示甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件．
故答案为：甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件.
【分析】题目中给出的方程是关于甲、乙两人工作量的，其中变量x代表甲工人每天生产的零件数，则乙工人每天生产(x-5)个零件，根据工程问题中工作总量等于工作时间乘以工作效率，可分析方程各项的意义，即可解答．
10．【答案】a2h．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2×h=V-π×a2×（h-h），
解得V=a2h，
故答案为：a2h．
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等可列关于v的方程，解之可求解.
11．【答案】13.2；14.4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解： 当铺设 5 块瓷砖时，需填入美缝剂为0.6×5×2+(5+1)×1.2=6+7.2=13.2m，
设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，
则0.6×n×2+(n+1)×1.2=49.2，
解得：n=20，
∴ 该走廊的面积是0.6×1.2×20=14.4m2，
故答案为：13.2，14.4.
【分析】根据瓷砖的缝隙的数量计算美缝剂的数量即可，然后设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，然后列方程求出瓷砖的块数，然后求面积即可.
12．【答案】
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的长为，宽为.
则观察图形知：
∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴，即，
∴，
∵，
∴
故答案是：．
【分析】
为方便计算，可分别设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的宽为，长为，再结合图形可得AD长相等，即有；再根据阴影部分的周长相等得，则有，最后根据长方形面积公式计算即可．
13．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，打开甲水管1小时后池内的水为：，打开乙水管1小时后池内的水为：，
打开丙水管1小时后池内的水为：，打开丁水管1小时后池内的水为：，
∴第2次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
第3次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
第4次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
第5次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：，
∴第6次先打开甲水管1小时后池内的水为：，此时水溢出水池，
设第6次，甲打开小时，水池内的水正好满了，根据题意，得，
解得：，
∴水开始溢出水池的时间为：（小时），
故答案为：．
【分析】根据“要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时”的甲、乙、丙、丁每小时的进水、排水量，从而计算出第1次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水量，进而再计算后面的几次，直到发现水池内水的体积超过1，可求出第6次先打开甲水管1小时后池内的水溢出，接下来设第6次，甲打开小时，水池内的水正好满了，根据题意得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可求解水开始溢出水池的时间.
14．【答案】（1）(0.05x+3)；(0.01x+35)
（2）解：由题意，得0.05x+3=0.01x+35，
解得x=800，且0<800<2000，
所以当照明时间为800 h时，使用这两种灯的费用相等
（3）解：购买节能灯更省钱.理由如下：
当x=4000时，
白炽灯的费用为4000×0.1×0.5+3×2=206(元)，
节能灯的费用为4 000×0.02×0.5+35=75(元).
因为206>75，
所以购买节能灯更省钱
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：(1)若照明时间为 xh，则
一盏白炽灯的费用为0.1×0.5x+3=(0.05x+3)元.
一盏节能灯的费用为0.02×0.5x+35=(0.01x+35)元.
故填：(0.05x+3)；(0.01x+35).
【分析】⑴根据“ 用电度数=功率(kW)×时间(h)，费用=灯的售价+电费 ” 列代数式即可.
⑵根据“白炽灯费用=节能灯费用”列方程作答.
⑶方案选择问题的关键在于用未知数分别表示出各个方案的费用，进而通过列方程、计算和比较来选择最优方案.
15．【答案】解：设全部水泵有台，每台水泵每天抽水量为单位，
甲池水量：全部水泵先抽半天（ ），再用一半水泵抽半天（ ），共 ，
乙池水量：一半水泵抽半天（ ），加台水泵抽天（ ），因甲池水量是乙池倍，
故：
解得：
答：该工程队的全部水泵共有8台.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】通过设未知数（水泵台数、每台抽水量 ），分别表示甲、乙池水量，利用“甲池水量是乙池倍”列方程求解.
16．【答案】（1）解：∵，
∴在之间，则，，
∴，
解得：，
∴x的值为1．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
∴或，
解得：或．
（3）解：的值不会随着t的变化而变化；
根据题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）先求出，，再结合，可得，最后求出x的值即可；
（2）先求出，再根据，可得，最后求出x的值即可；
（3）先求出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再求出，，最后求出，从而得解.
（1）解：∵，
∴在之间，则，，
∴，
解得，，
∴x的值为1．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，即，或，
解得或．
（3）解：的值不会随着t的变化而变化；
由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2．
17．【答案】解：（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人为(x+4)人，
由题意得：x+x+4=4×18，
解得：x=34，
∴x+4=38
答：甲、乙两个旅行团的人数各是34人，38人．
（2）设甲团儿童人数为m人，则可知乙团儿童人数为（3m﹣2）人，
则甲团成人有（34﹣m）人，乙团成人有（38﹣3m+2）人．
根据题意列方程得：
90（34﹣m）+m×90×60%=90（38﹣3m+2）+（3m﹣2）×90×60%，
解得：m=6．
则3m﹣2=16．
答：甲团儿童人数为6人，乙团儿童人数为16人．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）设甲旅行团的人数为x人，根据“两团人数之和恰等于两团人数之差的18倍”列方程解题即可；
（2）设甲团儿童人数为m人，利用等量关系：甲乙所花门票相等可以列方程解题即可．
18．【答案】（1）解：30×=10万元，
∴去年最低投入10万元购买药品.
（2）解：设去年社区购买药品x万元，购买健身器材（30-x）万元，
，
解得x=16，
∴去年购买药品的总费用为16万元.
（3）解：设这个相同的百分数为m，
则 ，
解得m=
即今年该社区健身家庭的户数为300户.
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据条件“ 去年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ”，即“ 去年社区购买药品的费用不超过总投入的 ”，此时即可列式计算；
（2）根据条件“ 今年该社区购买健身器材的费用比上一年增加50% ”，则今年购买健身器材的费用为（30-x）×（1+50%）万元；“ 购买药品的费用比上一年减少 ”，则今年购买药品的费用为，最后列方程求解即可；
（3）先根据条件得出， 今年该社区用于健身家庭的药品费用为，再列式得出当年购买健身器材费用为，最后列出方程求出m的值之后，计算即可。
19．【答案】（1）解：∵∠EOD=90°，∠BOC=70°，
∴∠COE=∠EOD-∠BOC=90°-70°=20°.
（2）解：∵OC平分∠BOE，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠BOC=70°，
∴∠COE=70°.又∵∠EOD=90°，
∴∠COD=∠EOD-∠COE=90°-70°=20°.
（3）解：如图1所示，
当OD在OB 和OC 之间时，设∠DOC=x°，则∠AOE=3x°，
∵∠BOC=70°，
∴∠BOD=70°-x°，则3x°+70°-x°=90°，
解得x=10，
∴∠BOD=70°-10°=60°.
如图2所示，
当OD 在OA 和OC 之间时，设∠DOC=y°，则∠AOE=3y°，
∴∠BOD=70°+y°，则3y°+70°+y°=90°，
解得y=5，
∴∠BOD=70°+5°=75°.
综上所述，∠BOD 的度数为60°或75°.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出∠COE与∠BOC互余，即可得出答案；
（2）求出∠EOC的度数即可得出答案；
（3）对OD的位置进行分类讨论即可得出答案．
20．【答案】（1）﹣4；10
（2）解： 设经过t秒，点A与点B相距4个单位，
|14+t-3t|=4，
解得：t=5或9，
答：点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过5或9秒，点A与点B相距4个单位；
（3）解：设时间为x秒，
∵根设经过t秒，点A与点B相距4个单位，根据题意得出|14+t-3t|=4，求出方程的解即可；
∴AM＝x×1＝x，ON＝10+2x，
∴OP＝ON＝ （10+2x）=5+x， ，
∵OP﹣AM的值为y，
∴y＝（5+x）﹣x＝5，
即在移动过程中，y的值不发生变化，y=5．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；多项式的项、系数与次数；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，
，
数轴上两点 对应的数分别为a，b，
点 A 表示的数是，点表示的数是10；
故答案为：，10；
【分析】（1）根据多项式定义确定出a、b的值；
（2）根据数轴动点问题求解。 根设经过t秒，点A与点B相距4个单位，根据题意得出|14+t-3t|=4，求出方程的解即可；
（3）根据数轴上两点间的距离求解。先求出和的长，再求出y即可．
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