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5.3.3-元一次方程的应用(盈亏、行程、方案、调配)培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．已知数轴上的A，B两点分别表示-26，12，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，B两点同时相向而行.若甲的速度为4个单位长度/秒，乙的速度为6个单位长度/秒，则甲、乙在数轴上的相遇点表示的数为(　　)
A．-12 B．-10.8 C．-3.8 D．0
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙两只电子蚂蚁经过t秒相遇，
由题意可知，A、B两点间的距离为：|12-(-26)|=12+26=38，
甲的速度是4个单位长度/秒，乙的速度是6个单位长度/秒，可列出方程：(4 + 6)t = 38，
解方程可得：t=3.8，
甲从A点出发，速度是4个单位长度/秒，运动了3.8秒，甲运动的路程为：4x3.8=15.2个单位长度，
因为甲是从-26出发向右运动，所以相遇点表示的数为-26+15.2 =-10.8，
故答案选：B.
【分析】本题在数轴背景考查利用一元一次方程解决行程的问题，可先根据路程、速度和时间的关系求出两只电子蚂蚁的相遇时间，再根据甲的运动情况求出相遇点表示的数.
2．（2024七上·北海期末）某校举办“读书月”活动，将一批图书分给七年级1班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．若设该校七年级1班有学生人，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：设该校七年级1班有学生人，由题意得，
故答案为：A
【分析】设该校七年级1班有学生人，根据“如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本”即可列出一元一次方程，进而即可求解。
3．（2024七上·沈阳月考）编一个实际应用题，要求所列的方程是，则下列不符合要求的是（　　）
A．两块宽度相同的铁皮，一块长为15厘米，另一块长为45厘米，如果两块铁皮的总面积为180平方厘米，问铁皮的宽度为多少？
B．现甲、乙两人一起加工180个零件，甲一天能做15个，乙一天能做45个，如果两人同时加工，问需要多少天完成任务？
C．两辆车从甲、乙两地同时出发，同向而行，慢车车速为15公里/时，快车车速为45公里/时，甲、乙两地相距180公里，慢车在快车的前面，问快车经过多长时间追上慢车？
D．张老师到文具店去买笔袋，其中甲型笔袋的单价是45元，乙型笔袋的单价是15元，张老师买两种笔袋共花了180元，且买两种笔袋的数量是相同的，问两种笔袋各买了几个？
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：A、设铁皮的宽为，则两块铁皮的面积分别为，，
则，所以A符合题意；
B、需要天完成任务，则甲乙两人共完成个，个，则，所以B符合题意；
C、设快车经过小时追上慢车，则慢车、快车行驶的路程分别为公里，公里，
则，所以C不符合题意；
D、两种笔袋各买了个，乙型与甲型笔袋花费元，元，则，所以D符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，其中一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合选项，分别列出四个选项的方程，分析判断，即可得到答案.
4．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了100包茶叶，又在乙批发市场以每包n元(mA．盈利了 B．亏损了
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：由题意得，进货成本=40m+60n，销售额，
故50(m+n)-(40m+60n)
=50m+50n-40m-60n
=10(m-n)，
∵m>n，
∴10(m-n)>0，
∴这家商店盈利.
故答案为：A.
【分析】先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可.
5．（2024七上·深圳期末）“自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝”，在这个充满诗意的季节里，“拾秋”成为了深圳新兴的户外运动．本周日早上小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向、处，小深、小圳的步行速度分别为，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过的时间共计（　　）小时．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当小深还未追上小圳时，设运动了，此时，
解得；
当小深追上小圳时，设运动了，此时，
解得；
当小深到达植物园门口时，设运动了，
此时；
根据题意，相距不超过的时间共计．
故选：B．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，分别求得小深还未追上小圳时，小深追上小圳时和小深到达植物园门口时的运动时间，列出代数式，即可求得相距不超过的时间，得到答案.
6．（2024七上·环江期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马天可以追上慢马，则可列方程是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可以追上慢马，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设快马天可以追上慢马，结合“路程、速度和时间”的关系及“慢马走的路程=快马走的路程”列出方程即可.
7．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘坐40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘坐 43人，则只有1人不能上车. 有下列等式：①40m+10=43m-1；②；③；④40m+10=43m+1. 其中正确的是（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：根据总人数列方程，得 故①错误，④正确.
根据客车数列方程，得 故②错误，③正确.
综上所述，正确的是③④.
故答案为：D.
【分析】先根据 每辆客车乘坐 的人数×车辆数，再加上不能上车的人数，求出总人数，利用两种乘车方案的总人数相等，即可列出等式；再根据总人数减去不能上车的人数，再除以每辆客车可乘坐的人数，求出车辆数，根据两种乘车方案的车辆数相等，即可列出等式。
8．甲、乙两人分别从相距25km的A，B两地同时出发相向而行.经过4h后，两人尚未相遇，相距1km.再经过1h，乙到A地的距离是甲到B地的距离的3倍，则甲的速度是
(　　)
A．5km/h B．4km/h C．3km/h D．2km/h
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时千米，
由题意，得
解得x=4.
即甲的速度是每小时4千米.
故选：B.
故答案为：B.
【分析】设甲的速度是每小时x千米，根据4小时后两人共行驶25－1=24千米，所以乙的速度为千米/小时。再过一小时，列方程25－5（6－x）=3(25－5x)，解得x=4.
二、填空题
9．（2024七上·裕华期末）如图，线段、、三条线段首尾相接，组成折线段，，．动点P从点A出发，沿着的方向运动，点P在上以2个单位长度/秒的速度运动，在上运动速度变为原来的一半，在上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 　 　秒；
（2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 　 　个单位长度．
【答案】；
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）（秒）；
故答案为：18.5
（2）当P运动到点O时需要的时间为：（秒），
此时点Q运动了个单位，
设再过x秒两点相遇，
则，
解得：，
此时相遇点M与点B的距离为个单位，
故答案为：4.
【分析】（1）根据题意，结合“时间＝路程÷速度”，列式计算，即可得到答案；
（2）根据题意，结合“两点的路程和＝总路程”，列方程，即可求解．
10．明月从家里骑车去游乐场，若速度为10 km/h，则可早到 8 min，若速度为8km/h，则就会晚到5m in.设她家到游乐场的路程为x km，根据题意可列出方程为　 　.
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设她家到游乐场的路程为x km，
若速度为10 km/h，从她家到游乐场需要的时间 h ；
若速度为8km/h， 从她家到游乐场需要的时间 h .
∵若速度为10 km/h，则可早到 8 min，若速度为8km/h，则就会晚到5m in，
∴ 可列出方程为.
故答案为：.
【分析】先用x分别表示出“速度为10 km/h”和“速度为8km/h ”从她家到游乐场需要的时间，再根据时间关系列出方程.
11．3月12日是植树节，七年级学生去参加义务植树活动.现铲土组有31人，浇水组有20人，现又来18人支援，此时要使铲土组的人数是浇水组人数的2倍，则应往两组各分配多少人 设应往浇水组分配x人，则可列方程为　 　
【答案】2(20+x)=31+(18-x)
【知识点】列一元一次方程；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：设应往浇水组分配x人，
根据题意可得 2(20+x)=31+(18-x)
故答案为：2(20+x)=31+(18-x).
【分析】根据浇水组人数x2=铲土组的人数列出方程即可。
12．（2024·广州开学考）甲、乙两人分别从 两地出发， 相向而行， 出发时他们的速度比是 ，他们第一次相遇后，甲的速度提高 ，乙的速度减慢 ，这样，当甲到达 地时，乙离 地还有 26 千米， 两地的距离是　 　千米。
【答案】77
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意知：第一次相遇时甲乙二人的路程比是4：3
∴甲行了x，乙行了x
∵他们第一次相遇后，甲的速度提高 ，乙的速度减慢
∴相遇后二人的速度比是：
4x(1+10%)：[3 x(1-20%)］
=(4 x 1.1)：(3 x0.8)
= 4.4：2.4
=11：6
∴x：(x-26)=11：6
解得x=77
答：A、B两地的距离是77千米
故答案为： 77.
【分析】设 两地的距离是 xkm，根据相遇前速度之比为4：3，得出甲乙两人的路程之比为4：3，甲行了x，乙行了x，再计算出提速后甲乙的速度之比为：11：6，根据等量关系：两人的路程之比=速度之比，列出方程：x：(x-26)=11：6，解出x即可.
13．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 24 cm.甲、乙两动点同时从顶点 A 出发，甲以2cm /s 的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4 cm/s的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲、乙的速度均增加1 cm/s且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是　 　cm.
【答案】5.6
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设第一次相遇的时间为 xs.
由题意，得(2+4)x=24×4，解得x=16.
设第二次相遇的时间为y s.
由题意，得(2+1+4+1)y=24×4，解得y=12.
设第三次相遇的时间为 zs.
由题意，得(2+1+1+4+1+1)z=24×4，解得z=9.6.
设第四次相遇的时间为t s.
由题意，得(2+1+1+1+4+1+1+1)t=24×4，解得t=8.
2×16-(2+1)×12+(2+1+1)×9.6-(2+1+1+1)×8=32-36+38.4-40=-5.6(cm).
故第四次相遇时甲与最近顶点的距离是5.6cm.
故答案为：5.6.
【分析】先通过相遇问题：S甲+S乙=S总，求出前四次相遇时甲所用的总时间，根据甲的速度计算出甲沿着顺时针方向所走的路程即可.
三、解答题
14．如图，甲、乙两人分别在A，B两点同时相向而行，于E 点相遇后，甲继续向 B 行走，乙则休息了 14 分钟，再继续向A 行走.甲和乙到达B 和A 后立即折返，仍在E 点相遇.已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A 和B 两点相距多少米
【答案】解：AE：BE=60：80=3：4，设AE=3x，BE=4x，从而AB=7x，由 得x=240，故A，B
两地距离是240×7=1680(米)
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据甲、乙各自的速度推出AE与BE的比值，从而合理的设出未知数，根据等量关系是从开始到甲、乙第2次相遇所用的时间相等，由此问题就转化为求甲、乙从开始到第2次相遇所行走的路程是乙在第1次相遇后休息了14分钟，还应掌握当时间（或速度）一定时，路程与速度（或时间）成正比，列方程即可得.
15．（2024七上·西湖月考）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为－20
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动．请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
【答案】（1）解： 与A、B两点距离相等的点M所对应的数是40；
（2）解：设相遇时，电子蚂蚁运动的时间为x秒，
由题意可得，，
解得，，
∴C点表示的是：，
即C点表示的是28；
（3）解： 相遇前：（秒），
相遇后：（秒）．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）设到点A和点B的距离相等的点M对应的数为m，
，
解得，；
【分析】（1） 设到点A和点B的距离相等的点M对应的数为m， 根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值分别表示出AM与BM，再根据AM=BM建立方程，求解即可；
（2）设相遇时，电子蚂蚁运动的时间为x秒，由路程等于速度乘以时间及电子蚂蚁P与电子蚂蚁Q运动的路程之和等于A、B之间的距离建立方程，求出x的值，进而即可求出点C表示的数；
（3）分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．
（1）设到点A和点B的距离相等的点M对应的数为m，
，
解得，；
（2）由题意可得，
，
解得，，
∴C点表示的是：，
即C点表示的是28；
（3）相遇前：（秒），
相遇后：（秒）．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
16．（2024七上·仙居期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表：
到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南
到达时间
驶出时间 　
（1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为40km，标记40．（只要求写数字，单位为km）．
（2）一列货运列车以120km/h的速度匀速行驶开往永康南站，在10：55通过临海南站．
①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾．
②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）．
【答案】（1）解：客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min；
临海南到仙居南铁路公里数：20×2.5 = 50 km；
仙居南到磐安南铁路公里数：26×2.5 = 65 km；
磐安南到壶镇铁路公里数： 9×2.5 = 22.5 km；
（2）解：货运列车速度120km/h=2km/min. 客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min.
①首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故.
由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发.
临海南至永康南：铁路总里程为177.5km.
货运列车用时为177.5÷2=88.75min，
客运列车行驶时间为177.5÷2.5=71min.三站停车总时长2+2+3=7min.
78+10<88.75，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾.
验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟.
根据题意可知：2t=2.5（t-10-2-2-3）
解得：t=85
追尾点与临海南站的距离为85×2=170km
②临海南至永康南铁路总行程为177.5km. 因170<177.5
所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾. 为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过.
停仙居南站：货车用时为50÷2=25分钟，客车用时为50÷2.5+2=22分钟，货车等待时间：22+10-25=7分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟.
停磐安南站：115÷2=57.5分钟，50+10-57.5=2.5分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟.
停壶镇站：137.5÷120×60=78.75分钟，62+10-68.75=3.25分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟.
综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min；根据路程=速度×时间求出各段距离，即可得解；
（2）①货运列车速度120km/h=2km/min. 客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min，分别求出货车和客车到终点永康南站前的时间，然后比较即可判断客运列车是否与货运列车发生追尾事故；假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟，根据客车和货车行驶的路程方程列方程，计算求解即可；
②分别计算停仙居南站、 停磐安南站、 停壶镇站等待的时间，然后比较即可得解．
17．（2024七上·潮南期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
【答案】解：设大和尚有人，则小和尚有人，根据题意，得
．
解这个方程，得．
经检验，符合题意．
．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【分析】 设大和尚有人，则小和尚有人， 根据“ 有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完 ”列出方程，再求解即可.
18．（2022七上·长沙期末）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为3100元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润售价进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 40 45
（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润383元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．
【答案】（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，
由题意可得：，
解得：，
（只）
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；
（2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，
由题意可得：，
解得：，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是14只．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，得到可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货款恰好等于3100元”，列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，由两种节能灯共获利383元，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，
由题意可得：，
解得：，
（只）
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，
由题意可得：，
解得：，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是14只．
19．如图，在长方形ABCD 中， ，动点 P从A 点出发，沿A→B→C→D 路线运动到D 点停止；动点Q从点D 出发，沿D→C→B→A 路线运动到A 点停止；若点 P，Q同时出发，点P 速度为 ，点Q 速度为2cm/s，6s后点 P，Q 同时改变速度，点 P 速度变为2cm /s，点Q 速度变为1 cm/s.
（1） 问P 点出发几秒后，P，Q两点相遇
（2） 当Q 点出发几秒时，点P 与点Q 在运动路线上相距的路程为25 cm
【答案】（1）解：设点 P 出发t秒，两点相遇.
若两点不变速时就能相遇，则有t+2t=28，解得t= 舍去；
∴两点变速后才能相遇，
根据题意，得1×6+2×6+（t-6）+2（t-6）=28，即（1+2）t=28，解得
∴P 点出发 秒后两点相遇.
（2）解：考虑两种情况：
一种情况是 P，Q 两点相遇前相距25 cm，未改变速度前，两者相距最小为10+10+8-（1+2）×6=10 cm，
即在改变速度前有出现相距25 cm这一情况，设点Q出发x秒，则28-（1+2）x=25，解得x=1；另一种情况是 P，Q 两点相遇后相距25 cm，
设点Q 出发为x秒，则（1+2）x-28=25，解得x= 不合题意，舍去，
∵17 秒后点 P 已到达点 D 停止，此时 P，Q 两点相距23 cm，Q 继续走 2 秒，P，Q 两点相遇后相距25 cm，
∴经过19秒，P，Q 两点相遇后相距25 cm.
综上所述，当Q 点出发1秒或19秒时，点P 与点Q在运动路线上相距的路程为25 cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先判断出相遇时速度是否发生改变，再列方程求解；（2） 考虑两种情况，一种情况是P，Q两点相遇前相距25 cm；另一种情况是 P，Q 两点相遇后相距25 cm，找出等量关系，即可求解.
20．（2024七上·深圳期末）【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置．
（1）每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度；
（2）【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？
（3）【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米／分钟，远离点时为2厘米／分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟：
①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角；
②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间．
【答案】（1）30，6
（2）解：设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，
则由题意可得，
解得：；
（3）解：①时，点到达处并要继续向运动，此时点在分针上且距点的位置，
随后经过分钟，即时，两动点第一次相遇；
此时分针比时针多转的角度为度，
即此时时针与分针夹角为度；
②时针与分针第一次共线时，动点M，N的运动时间为，
M，N第一次相遇时，相遇点位于线段上离点O处，
点N再经过到达点O，同时点M再经过到达点B后转向点O方向运动到离点B处，
之后点N向点A运动，点M继续向点O运动，再运动，时针与分针共线，随即动点M，N的运动方向立刻反向，
之后点M运动到点B处用时，同时点N向点O运动到距点O处，
再经过，点N到达点O处，点M从点B向点A运动，
又经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ；
动点M，N第二次相遇后，动点N向点B运动，用时到达点B处，此时点M向点O运动，
再经过，时针与分针第二次相遇，随即动点M，N的运动方向立刻反向，点M向B运动，点N也向B运动，
又经过，点N到达点B处，点M向点B运动，此时动点M，N相距，
再经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题；钟面角
【解析】【解答】解：（1）每经过1小时，时针转，
每经过1分钟，分针转；
故答案为：30，6；
【分析】（1）根据时针与分针的转动规律，得到每经过1小时，时针转，每经过1分钟，分针转，即得答案；
（2）设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，根据秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，列出方程，求得t的知，即得答案；
（3）①时，点到达处并要继续向运动，点在分针上且距点的位置，根据相遇，列出算式，即可求得答案；
②动点M，N第二次、第三次相遇的时间与两动点的变速运动相关，分清每一个变速节点，分别计算各段的时间，求得 动点M，N第二次、第三次相遇的时间，即可得到答案．
（1）解：每经过1小时，时针转，
每经过1分钟，分针转；
故答案为：30，6；
（2）解：设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，
则由题意可得，
解得：；
（3）解：①时，点到达处并要继续向运动，此时点在分针上且距点的位置，
随后经过分钟，即时，两动点第一次相遇；
此时分针比时针多转的角度为度，
即此时时针与分针夹角为度；
②时针与分针第一次共线时，动点M，N的运动时间为，
M，N第一次相遇时，相遇点位于线段上离点O处，
点N再经过到达点O，同时点M再经过到达点B后转向点O方向运动到离点B处，
之后点N向点A运动，点M继续向点O运动，再运动，时针与分针共线，随即动点M，N的运动方向立刻反向，
之后点M运动到点B处用时，同时点N向点O运动到距点O处，
再经过，点N到达点O处，点M从点B向点A运动，
又经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ；
动点M，N第二次相遇后，动点N向点B运动，用时到达点B处，此时点M向点O运动，
再经过，时针与分针第二次相遇，随即动点M，N的运动方向立刻反向，点M向B运动，点N也向B运动，
又经过，点N到达点B处，点M向点B运动，此时动点M，N相距，
再经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ．
1 / 15.3.3-元一次方程的应用(盈亏、行程、方案、调配)培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．已知数轴上的A，B两点分别表示-26，12，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，B两点同时相向而行.若甲的速度为4个单位长度/秒，乙的速度为6个单位长度/秒，则甲、乙在数轴上的相遇点表示的数为(　　)
A．-12 B．-10.8 C．-3.8 D．0
2．（2024七上·北海期末）某校举办“读书月”活动，将一批图书分给七年级1班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．若设该校七年级1班有学生人，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·沈阳月考）编一个实际应用题，要求所列的方程是，则下列不符合要求的是（　　）
A．两块宽度相同的铁皮，一块长为15厘米，另一块长为45厘米，如果两块铁皮的总面积为180平方厘米，问铁皮的宽度为多少？
B．现甲、乙两人一起加工180个零件，甲一天能做15个，乙一天能做45个，如果两人同时加工，问需要多少天完成任务？
C．两辆车从甲、乙两地同时出发，同向而行，慢车车速为15公里/时，快车车速为45公里/时，甲、乙两地相距180公里，慢车在快车的前面，问快车经过多长时间追上慢车？
D．张老师到文具店去买笔袋，其中甲型笔袋的单价是45元，乙型笔袋的单价是15元，张老师买两种笔袋共花了180元，且买两种笔袋的数量是相同的，问两种笔袋各买了几个？
4．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了100包茶叶，又在乙批发市场以每包n元(mA．盈利了 B．亏损了
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
5．（2024七上·深圳期末）“自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝”，在这个充满诗意的季节里，“拾秋”成为了深圳新兴的户外运动．本周日早上小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向、处，小深、小圳的步行速度分别为，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过的时间共计（　　）小时．
A． B． C． D．
6．（2024七上·环江期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马天可以追上慢马，则可列方程是(　　)
A． B．
C． D．
7．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘坐40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘坐 43人，则只有1人不能上车. 有下列等式：①40m+10=43m-1；②；③；④40m+10=43m+1. 其中正确的是（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
8．甲、乙两人分别从相距25km的A，B两地同时出发相向而行.经过4h后，两人尚未相遇，相距1km.再经过1h，乙到A地的距离是甲到B地的距离的3倍，则甲的速度是
(　　)
A．5km/h B．4km/h C．3km/h D．2km/h
二、填空题
9．（2024七上·裕华期末）如图，线段、、三条线段首尾相接，组成折线段，，．动点P从点A出发，沿着的方向运动，点P在上以2个单位长度/秒的速度运动，在上运动速度变为原来的一半，在上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 　 　秒；
（2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 　 　个单位长度．
10．明月从家里骑车去游乐场，若速度为10 km/h，则可早到 8 min，若速度为8km/h，则就会晚到5m in.设她家到游乐场的路程为x km，根据题意可列出方程为　 　.
11．3月12日是植树节，七年级学生去参加义务植树活动.现铲土组有31人，浇水组有20人，现又来18人支援，此时要使铲土组的人数是浇水组人数的2倍，则应往两组各分配多少人 设应往浇水组分配x人，则可列方程为　 　
12．（2024·广州开学考）甲、乙两人分别从 两地出发， 相向而行， 出发时他们的速度比是 ，他们第一次相遇后，甲的速度提高 ，乙的速度减慢 ，这样，当甲到达 地时，乙离 地还有 26 千米， 两地的距离是　 　千米。
13．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 24 cm.甲、乙两动点同时从顶点 A 出发，甲以2cm /s 的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4 cm/s的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲、乙的速度均增加1 cm/s且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是　 　cm.
三、解答题
14．如图，甲、乙两人分别在A，B两点同时相向而行，于E 点相遇后，甲继续向 B 行走，乙则休息了 14 分钟，再继续向A 行走.甲和乙到达B 和A 后立即折返，仍在E 点相遇.已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A 和B 两点相距多少米
15．（2024七上·西湖月考）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为－20
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动．请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
16．（2024七上·仙居期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表：
到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南
到达时间
驶出时间 　
（1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为40km，标记40．（只要求写数字，单位为km）．
（2）一列货运列车以120km/h的速度匀速行驶开往永康南站，在10：55通过临海南站．
①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾．
②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）．
17．（2024七上·潮南期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
18．（2022七上·长沙期末）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为3100元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润售价进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 40 45
（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润383元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．
19．如图，在长方形ABCD 中， ，动点 P从A 点出发，沿A→B→C→D 路线运动到D 点停止；动点Q从点D 出发，沿D→C→B→A 路线运动到A 点停止；若点 P，Q同时出发，点P 速度为 ，点Q 速度为2cm/s，6s后点 P，Q 同时改变速度，点 P 速度变为2cm /s，点Q 速度变为1 cm/s.
（1） 问P 点出发几秒后，P，Q两点相遇
（2） 当Q 点出发几秒时，点P 与点Q 在运动路线上相距的路程为25 cm
20．（2024七上·深圳期末）【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置．
（1）每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度；
（2）【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？
（3）【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米／分钟，远离点时为2厘米／分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟：
①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角；
②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙两只电子蚂蚁经过t秒相遇，
由题意可知，A、B两点间的距离为：|12-(-26)|=12+26=38，
甲的速度是4个单位长度/秒，乙的速度是6个单位长度/秒，可列出方程：(4 + 6)t = 38，
解方程可得：t=3.8，
甲从A点出发，速度是4个单位长度/秒，运动了3.8秒，甲运动的路程为：4x3.8=15.2个单位长度，
因为甲是从-26出发向右运动，所以相遇点表示的数为-26+15.2 =-10.8，
故答案选：B.
【分析】本题在数轴背景考查利用一元一次方程解决行程的问题，可先根据路程、速度和时间的关系求出两只电子蚂蚁的相遇时间，再根据甲的运动情况求出相遇点表示的数.
2．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：设该校七年级1班有学生人，由题意得，
故答案为：A
【分析】设该校七年级1班有学生人，根据“如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本”即可列出一元一次方程，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：A、设铁皮的宽为，则两块铁皮的面积分别为，，
则，所以A符合题意；
B、需要天完成任务，则甲乙两人共完成个，个，则，所以B符合题意；
C、设快车经过小时追上慢车，则慢车、快车行驶的路程分别为公里，公里，
则，所以C不符合题意；
D、两种笔袋各买了个，乙型与甲型笔袋花费元，元，则，所以D符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，其中一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合选项，分别列出四个选项的方程，分析判断，即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：由题意得，进货成本=40m+60n，销售额，
故50(m+n)-(40m+60n)
=50m+50n-40m-60n
=10(m-n)，
∵m>n，
∴10(m-n)>0，
∴这家商店盈利.
故答案为：A.
【分析】先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当小深还未追上小圳时，设运动了，此时，
解得；
当小深追上小圳时，设运动了，此时，
解得；
当小深到达植物园门口时，设运动了，
此时；
根据题意，相距不超过的时间共计．
故选：B．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，分别求得小深还未追上小圳时，小深追上小圳时和小深到达植物园门口时的运动时间，列出代数式，即可求得相距不超过的时间，得到答案.
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可以追上慢马，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设快马天可以追上慢马，结合“路程、速度和时间”的关系及“慢马走的路程=快马走的路程”列出方程即可.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：根据总人数列方程，得 故①错误，④正确.
根据客车数列方程，得 故②错误，③正确.
综上所述，正确的是③④.
故答案为：D.
【分析】先根据 每辆客车乘坐 的人数×车辆数，再加上不能上车的人数，求出总人数，利用两种乘车方案的总人数相等，即可列出等式；再根据总人数减去不能上车的人数，再除以每辆客车可乘坐的人数，求出车辆数，根据两种乘车方案的车辆数相等，即可列出等式。
8．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时千米，
由题意，得
解得x=4.
即甲的速度是每小时4千米.
故选：B.
故答案为：B.
【分析】设甲的速度是每小时x千米，根据4小时后两人共行驶25－1=24千米，所以乙的速度为千米/小时。再过一小时，列方程25－5（6－x）=3(25－5x)，解得x=4.
9．【答案】；
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）（秒）；
故答案为：18.5
（2）当P运动到点O时需要的时间为：（秒），
此时点Q运动了个单位，
设再过x秒两点相遇，
则，
解得：，
此时相遇点M与点B的距离为个单位，
故答案为：4.
【分析】（1）根据题意，结合“时间＝路程÷速度”，列式计算，即可得到答案；
（2）根据题意，结合“两点的路程和＝总路程”，列方程，即可求解．
10．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设她家到游乐场的路程为x km，
若速度为10 km/h，从她家到游乐场需要的时间 h ；
若速度为8km/h， 从她家到游乐场需要的时间 h .
∵若速度为10 km/h，则可早到 8 min，若速度为8km/h，则就会晚到5m in，
∴ 可列出方程为.
故答案为：.
【分析】先用x分别表示出“速度为10 km/h”和“速度为8km/h ”从她家到游乐场需要的时间，再根据时间关系列出方程.
11．【答案】2(20+x)=31+(18-x)
【知识点】列一元一次方程；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：设应往浇水组分配x人，
根据题意可得 2(20+x)=31+(18-x)
故答案为：2(20+x)=31+(18-x).
【分析】根据浇水组人数x2=铲土组的人数列出方程即可。
12．【答案】77
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意知：第一次相遇时甲乙二人的路程比是4：3
∴甲行了x，乙行了x
∵他们第一次相遇后，甲的速度提高 ，乙的速度减慢
∴相遇后二人的速度比是：
4x(1+10%)：[3 x(1-20%)］
=(4 x 1.1)：(3 x0.8)
= 4.4：2.4
=11：6
∴x：(x-26)=11：6
解得x=77
答：A、B两地的距离是77千米
故答案为： 77.
【分析】设 两地的距离是 xkm，根据相遇前速度之比为4：3，得出甲乙两人的路程之比为4：3，甲行了x，乙行了x，再计算出提速后甲乙的速度之比为：11：6，根据等量关系：两人的路程之比=速度之比，列出方程：x：(x-26)=11：6，解出x即可.
13．【答案】5.6
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设第一次相遇的时间为 xs.
由题意，得(2+4)x=24×4，解得x=16.
设第二次相遇的时间为y s.
由题意，得(2+1+4+1)y=24×4，解得y=12.
设第三次相遇的时间为 zs.
由题意，得(2+1+1+4+1+1)z=24×4，解得z=9.6.
设第四次相遇的时间为t s.
由题意，得(2+1+1+1+4+1+1+1)t=24×4，解得t=8.
2×16-(2+1)×12+(2+1+1)×9.6-(2+1+1+1)×8=32-36+38.4-40=-5.6(cm).
故第四次相遇时甲与最近顶点的距离是5.6cm.
故答案为：5.6.
【分析】先通过相遇问题：S甲+S乙=S总，求出前四次相遇时甲所用的总时间，根据甲的速度计算出甲沿着顺时针方向所走的路程即可.
14．【答案】解：AE：BE=60：80=3：4，设AE=3x，BE=4x，从而AB=7x，由 得x=240，故A，B
两地距离是240×7=1680(米)
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据甲、乙各自的速度推出AE与BE的比值，从而合理的设出未知数，根据等量关系是从开始到甲、乙第2次相遇所用的时间相等，由此问题就转化为求甲、乙从开始到第2次相遇所行走的路程是乙在第1次相遇后休息了14分钟，还应掌握当时间（或速度）一定时，路程与速度（或时间）成正比，列方程即可得.
15．【答案】（1）解： 与A、B两点距离相等的点M所对应的数是40；
（2）解：设相遇时，电子蚂蚁运动的时间为x秒，
由题意可得，，
解得，，
∴C点表示的是：，
即C点表示的是28；
（3）解： 相遇前：（秒），
相遇后：（秒）．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）设到点A和点B的距离相等的点M对应的数为m，
，
解得，；
【分析】（1） 设到点A和点B的距离相等的点M对应的数为m， 根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值分别表示出AM与BM，再根据AM=BM建立方程，求解即可；
（2）设相遇时，电子蚂蚁运动的时间为x秒，由路程等于速度乘以时间及电子蚂蚁P与电子蚂蚁Q运动的路程之和等于A、B之间的距离建立方程，求出x的值，进而即可求出点C表示的数；
（3）分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．
（1）设到点A和点B的距离相等的点M对应的数为m，
，
解得，；
（2）由题意可得，
，
解得，，
∴C点表示的是：，
即C点表示的是28；
（3）相遇前：（秒），
相遇后：（秒）．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
16．【答案】（1）解：客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min；
临海南到仙居南铁路公里数：20×2.5 = 50 km；
仙居南到磐安南铁路公里数：26×2.5 = 65 km；
磐安南到壶镇铁路公里数： 9×2.5 = 22.5 km；
（2）解：货运列车速度120km/h=2km/min. 客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min.
①首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故.
由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发.
临海南至永康南：铁路总里程为177.5km.
货运列车用时为177.5÷2=88.75min，
客运列车行驶时间为177.5÷2.5=71min.三站停车总时长2+2+3=7min.
78+10<88.75，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾.
验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟.
根据题意可知：2t=2.5（t-10-2-2-3）
解得：t=85
追尾点与临海南站的距离为85×2=170km
②临海南至永康南铁路总行程为177.5km. 因170<177.5
所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾. 为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过.
停仙居南站：货车用时为50÷2=25分钟，客车用时为50÷2.5+2=22分钟，货车等待时间：22+10-25=7分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟.
停磐安南站：115÷2=57.5分钟，50+10-57.5=2.5分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟.
停壶镇站：137.5÷120×60=78.75分钟，62+10-68.75=3.25分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟.
综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min；根据路程=速度×时间求出各段距离，即可得解；
（2）①货运列车速度120km/h=2km/min. 客运列车的行驶速度150km/h=2.5km/min，分别求出货车和客车到终点永康南站前的时间，然后比较即可判断客运列车是否与货运列车发生追尾事故；假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟，根据客车和货车行驶的路程方程列方程，计算求解即可；
②分别计算停仙居南站、 停磐安南站、 停壶镇站等待的时间，然后比较即可得解．
17．【答案】解：设大和尚有人，则小和尚有人，根据题意，得
．
解这个方程，得．
经检验，符合题意．
．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【分析】 设大和尚有人，则小和尚有人， 根据“ 有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完 ”列出方程，再求解即可.
18．【答案】（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，
由题意可得：，
解得：，
（只）
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；
（2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，
由题意可得：，
解得：，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是14只．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，得到可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货款恰好等于3100元”，列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，由两种节能灯共获利383元，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，
由题意可得：，
解得：，
（只）
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，
由题意可得：，
解得：，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是14只．
19．【答案】（1）解：设点 P 出发t秒，两点相遇.
若两点不变速时就能相遇，则有t+2t=28，解得t= 舍去；
∴两点变速后才能相遇，
根据题意，得1×6+2×6+（t-6）+2（t-6）=28，即（1+2）t=28，解得
∴P 点出发 秒后两点相遇.
（2）解：考虑两种情况：
一种情况是 P，Q 两点相遇前相距25 cm，未改变速度前，两者相距最小为10+10+8-（1+2）×6=10 cm，
即在改变速度前有出现相距25 cm这一情况，设点Q出发x秒，则28-（1+2）x=25，解得x=1；另一种情况是 P，Q 两点相遇后相距25 cm，
设点Q 出发为x秒，则（1+2）x-28=25，解得x= 不合题意，舍去，
∵17 秒后点 P 已到达点 D 停止，此时 P，Q 两点相距23 cm，Q 继续走 2 秒，P，Q 两点相遇后相距25 cm，
∴经过19秒，P，Q 两点相遇后相距25 cm.
综上所述，当Q 点出发1秒或19秒时，点P 与点Q在运动路线上相距的路程为25 cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先判断出相遇时速度是否发生改变，再列方程求解；（2） 考虑两种情况，一种情况是P，Q两点相遇前相距25 cm；另一种情况是 P，Q 两点相遇后相距25 cm，找出等量关系，即可求解.
20．【答案】（1）30，6
（2）解：设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，
则由题意可得，
解得：；
（3）解：①时，点到达处并要继续向运动，此时点在分针上且距点的位置，
随后经过分钟，即时，两动点第一次相遇；
此时分针比时针多转的角度为度，
即此时时针与分针夹角为度；
②时针与分针第一次共线时，动点M，N的运动时间为，
M，N第一次相遇时，相遇点位于线段上离点O处，
点N再经过到达点O，同时点M再经过到达点B后转向点O方向运动到离点B处，
之后点N向点A运动，点M继续向点O运动，再运动，时针与分针共线，随即动点M，N的运动方向立刻反向，
之后点M运动到点B处用时，同时点N向点O运动到距点O处，
再经过，点N到达点O处，点M从点B向点A运动，
又经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ；
动点M，N第二次相遇后，动点N向点B运动，用时到达点B处，此时点M向点O运动，
再经过，时针与分针第二次相遇，随即动点M，N的运动方向立刻反向，点M向B运动，点N也向B运动，
又经过，点N到达点B处，点M向点B运动，此时动点M，N相距，
再经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题；钟面角
【解析】【解答】解：（1）每经过1小时，时针转，
每经过1分钟，分针转；
故答案为：30，6；
【分析】（1）根据时针与分针的转动规律，得到每经过1小时，时针转，每经过1分钟，分针转，即得答案；
（2）设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，根据秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，列出方程，求得t的知，即得答案；
（3）①时，点到达处并要继续向运动，点在分针上且距点的位置，根据相遇，列出算式，即可求得答案；
②动点M，N第二次、第三次相遇的时间与两动点的变速运动相关，分清每一个变速节点，分别计算各段的时间，求得 动点M，N第二次、第三次相遇的时间，即可得到答案．
（1）解：每经过1小时，时针转，
每经过1分钟，分针转；
故答案为：30，6；
（2）解：设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，
则由题意可得，
解得：；
（3）解：①时，点到达处并要继续向运动，此时点在分针上且距点的位置，
随后经过分钟，即时，两动点第一次相遇；
此时分针比时针多转的角度为度，
即此时时针与分针夹角为度；
②时针与分针第一次共线时，动点M，N的运动时间为，
M，N第一次相遇时，相遇点位于线段上离点O处，
点N再经过到达点O，同时点M再经过到达点B后转向点O方向运动到离点B处，
之后点N向点A运动，点M继续向点O运动，再运动，时针与分针共线，随即动点M，N的运动方向立刻反向，
之后点M运动到点B处用时，同时点N向点O运动到距点O处，
再经过，点N到达点O处，点M从点B向点A运动，
又经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ；
动点M，N第二次相遇后，动点N向点B运动，用时到达点B处，此时点M向点O运动，
再经过，时针与分针第二次相遇，随即动点M，N的运动方向立刻反向，点M向B运动，点N也向B运动，
又经过，点N到达点B处，点M向点B运动，此时动点M，N相距，
再经过，动点M，N第二次相遇，共用时 ．
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