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2025-2026学年人教版九年级上册数学第二十四章圆证明题训练
1.如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
2.如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，．
求证：；
若，的半径为，求的长．
3.如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且．
求证：是的切线；
若，求的直径．
4.如图，在中，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，是的外接圆．
求证：是的切线；
过点作于点，若，求的长度．
5.如图，为的直径，点为的中点，交直线于点．
求证：；
若，，求的直径．
6.如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分，．

求证 平分，并求的大小；
过点 作交 的延长线于点 若，，求此圆半径的长．
7.如图，的半径，弦、交于点，为弧的中点，过点的直线交延长线于点，且．
试判断与的位置关系，并说明理由；
如图，连接，若，，求的长．
8.如图，为的直径，，交于点，交于点．
求证：；
若，，求阴影部分的面积．
9.如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
求证：平分；
若，，求的半径长．
10.如图，是的直径，，四边形是平行四边形，交于点，连接并延长交的延长线于点．
求证：是的切线
若，，求图中阴影部分的面积结果保留根号和
11.如图，四边形内接于，为的直径，．
试判断的形状，并给出证明．
若，，求的长．
12.如图，四边形内接于，是直径，为的中点，延长，交于，连结．
求证：；
当，时，求线段的长．
13.如图，，，都是的半径，．
求证：．
若，，求的半径．
14.如图，中，，以为直径的交于，交于．
求证：；
若，求和的度数．
15.如图，是的直径，，交于点，是的弦，．
求证：；
求证：．
16.如图，，为的两条弦，且．
求证：；
若，，，求的半径．
17.如图，是的直径，为上的一点，为的中点，连接，，过点作的垂线交于点．
求证：；
若，，求的长．
18.如图，是的直径，弦，于点，连接交于点．
求证：；
若，，求的长．
19.如图，是的内接三角形，过点的切线交的延长线于点．
若，求的度数；
的平分线交于点，若，求的度数．
20.如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点．
求证：；
若的半径，，求的长．
21.如图，以的一边为直径的与其它两边，的交点分别为，，且．
求证：；
若的半径为，，求的长．
22.如图，，是的弦，且，弦于点，是的中点．
求证：；
若，，，求的半径．
23.如图，是的直径，是弦，是优弧的中点，于点，连接．
求证：平分；
求证：．
24.如图，内接于，，为的中点，于点，连接．
求证：；
若，，求的半径．
25.如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，弦，垂足为．
求证：；
，，求的长．
26.如图，是的外接圆，为直径，过点作的切线交的延长线于点，为上一点，且，连接．
求证：；
若垂直平分垂足为，，求阴影部分的面积．
27.如图，为的直径，为弦，且于，为延长线上一点，平分．
求证：与相切；
连接，若，求的度数．
28.如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，．
求证：；
设，垂足为若，求的长．
答案和解析
1.【答案】解：证明：连接、，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
为的直径，
，
，
，，
，
，
．
【解析】本题考查的是切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线的判定与性质有关知识．
连接、，根据切线的性质得到，则可判断，得到，然后证明，从而得到结论；
利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长．
2.【答案】证明：是的切线，为的直径，
，
，
又，
，
，
；
解：，为圆心，
为中点，，
，
又，
．
【解析】本题考查圆切线的性质，垂径定理，勾股定理．
根据切线的性质得出，进而得出，再由，可得，即可证明；
由垂径定理可得，为中点，根据已知可利用三角形勾股定理求出．
3.【答案】证明：连接，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
是的切线．
解：在中，，
，
又，
，
，
．
的直径为．
【解析】连接，根据圆周角定理求出，再由得出，再由得出，继而由，可得出，从而得出结论；
利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径．
4.【答案】【小题】
证明：连接，如图．
，
．
是的外接圆，
是的直径，是的半径，
．
是的角平分线，
，
，
．
，即．
是半径，
是的切线．
【小题】
连接，如图．
平分，且，，
．
四边形是的内接四边形，
．
，
≌，
，即的值为．

【解析】
连接，先证明是圆的直径，是圆的半径，再证明，则有，结论得证．

连接，根据角平分线的性质证明，再证≌，则可求．
5.【答案】解：证明：连接．
是直径，
，即，
点为的中点，
，
，
；
设交于点．
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设，则，在直角三角形中，，
则，
，
，即的直径为．
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
证明，，可得结论；
设交于点证明四边形是矩形，设，利用勾股定理构建方程求解即可．
6.【答案】证明：，，
，
平分，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
是圆的直径，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
是圆的直径，
圆的半径长是．
【解析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形．
由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出；
由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是．
7.【答案】解：如图，连接、；
为弧的中点，
，；
，
；
，
，
，
即，
与相切．
如图，连接、，设交于，
由知，
；
，
；而，
，
；
设，则，
，，；
由勾股定理得：；
，
；
在直角中，由勾股定理得：
，
即，
解得：，
．
【解析】如图，作辅助线，证明，即可解决问题．
如图，作辅助线，证明，，此为解题的关键性结论；证明；列出方程，求出，即可解决问题．
该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答．
8.【答案】解：证明：连结，
为直径，
，
又，
；
连结，
，，
，，，
．

【解析】略
9.【答案】证明：，
，
，
，
，
平分；
解：过点作于，如图，则，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即的半径长为．
【解析】利用平行线的性质得到，加上，所以；
过点作于，如图，根据垂径定理得到，再证明≌得到，然后利用勾股定理计算的长即可．
本题考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．
10.【答案】证明：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，，
，是的切线．
解： ，，．
四边形是平行四边形，．
在中，，，，
根据勾股定理，得．
阴影部分的面积为．

【解析】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．欲证明是的切线，只要证明，只要证明≌即可．
根据条件首先证明是等边三角形，，推出由此根据即可解决问题．
11.【答案】【小题】
解：是等腰直角三角形．证明如下：
为的直径，
．
，
．
．
是等腰直角三角形．
【小题】
解：在中，，
．
在中，，，
．

【解析】 略
略
12.【答案】证明：为的中点，
，
是直径，
，
，，
，
；
解：如图，连接，
是直径，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【解析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，以及圆内接四边形的性质．
利用等角对等边证明即可．
利用勾股定理分别求出，，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
13.【答案】【小题】
解：证明：，，，．
【小题】
如图，过点作半径于点，连接，，，，，，，在中，，，在中，，，解得，即的半径是．

【解析】 略
略
14.【答案】证明：连接．
是的直径，，
，
又，；
解：，，
，
是的直径，．
，．
，
四边形内接于，
．
又，
．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，
连接，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
根据，求出，即可，证明即可．
15.【答案】【小题】
证明：连接，，，．，，
，，；
【小题】
连接．是直径，，，．，．

【解析】 略
略
16.【答案】【小题】
解：连接，，，．，，，，，；
【小题】
延长，交于点．，，垂直平分，由知，，设，则，在中，，，即的半径为．

【解析】 略
略
17.【答案】【小题】
解：为的中点，，．，，，；
【小题】
连接，交于点，连接．为的直径，．，，．，垂直平分，．，设，则在中，在中，，，解得，．

【解析】 略
略
18.【答案】【小题】
解： 是的直径，，．，，，又，，．，；
【小题】
连接，交于点．，，．，，，，的半径为设，则，由勾股定理，得，即，解得，，．

【解析】 略
略
19.【答案】【小题】
解：连接并延长，交于点，连接， 则，，，，，；
【小题】
由知，可设，，在中，，，在中，．

【解析】 略
略
20.【答案】【小题】
解：连接，则．，，，；
【小题】
，为的直径，，，．

【解析】 略
略
21.【答案】【小题】
解：连接．，，为的直径，，；
【小题】
连接．为的直径，，的半径为，，，，设，则，，，解得，的长为．

【解析】 略
略
22.【答案】【小题】
解：过点作，垂足为，连接，，，，，，，；
【小题】
连接．，，，是的直径由得，，，的半径为．

【解析】 略
略
23.【答案】【小题】
证明：连接，，，，，，平分；
【小题】
过点作于点，，， 又，≌，， 由得≌，，．

【解析】 略
略
24.【答案】【小题】
解：连接并延长交于点，连接，．，为的直径，，为的中点，，，，，；
【小题】
设，，，，，又，，，，，，，解得，即的半径为．

【解析】 略
略
25.【答案】【小题】
解：是的中点，
．
，且为的直径，
，
，
．
，
，
；
【小题】
连接，交于点．
，
，
，，
，
，
．
，，
，
，
，
．
在中，，
．

【解析】 略
略
26.【答案】【小题】
解：连接．为的切线，点在上，，．为直径，，．，，．，，，；
【小题】
连接，．垂直平分，．，为等边三角形，，．，．，．，，，，，，．，．

【解析】 略
略
27.【答案】【小题】
解：连接，则，，于，，平分，，，，与相切；
【小题】
，，，，，，．

【解析】 略
略
28.【答案】【小题】
证明：，， ，平分， 又是直径， ，即．
【小题】
解：由知，，，， 在中，，， ， ．

【解析】 略
略
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