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河南省南阳地区2025-2026学年高一上学期10月阶段考试数学试卷
一、单选题
1．下列表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题：一组对角相等的四边形是平行四边形，则（ ）
A．是假命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形
B．是真命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形
C．是假命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形
D．是真命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形
3．已知全集，的子集，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，这是由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，设：灯泡L亮，：开关和有且只有一个闭合，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
二、多选题
9．已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．0
11．已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A．在上先减后增
B．当时，
C．在上的值域为
D．不等式的解集为
三、填空题
12．已知集合的子集个数为 ．
13．已知函数满足，则 ．
14．已知正数满足，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知集合，．
(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
(2)若，，求的取值范围．
16．已知，，．
(1)求的最小值；
(2)求的最大值与的最大值．
17．已知函数
(1)若，求；
(2)若对任意的，当时，总有，求的取值范围；
(3)若在上的值域为，求的取值范围．
18．已知函数的定义域为，且，当时，．
(1)求，的值．
(2)证明：．
(3)判断在上的单调性，并给出证明．
(4)求不等式的解集．
19．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合（含有n个元素的集合），均为正整数集的子集，若集合A和集合B满足①，②，③，则称集合A，B互为不交双等集．
(1)分别判断集合与和集合与是否互为不交双等集，请说明理由．
(2)若集合与集合互为不交双等集，求的值．
(3)证明：对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B B C D B BCD BCD
题号 11
答案 BCD
1．D
结合各个选项，利用函数的定义，即可求解.
【详解】由A、B、C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应，
由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数，
对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，所以D正确．
故选：D.
2．C
先判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定形式写出命题的否定.
【详解】一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，是假命题．的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形．
故选：C
3．A
根据交集、补集的定义和运算进行计算即可.
【详解】由题意得，得且且．
由，得或，则（舍）或（舍）或．
综上，，，．
故选：A.
4．B
根据抽象函数定义域的求法结合偶次根式有意义的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】由于函数的定义域为所以，则,
所以的定义域满足,解得：,
所以的定义域为：；
故选：B
5．B
根据充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】因为由“灯泡L亮”推不出“开关和有且只有一个闭合”，也就是说和可以两个都闭合，
反过来，由“开关和有且只有一个闭合”可以推出“灯泡L亮”，
所以是的必要不充分条件．
故选：B．
6．C
利用韦恩图来求解即可.
【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得．
故选：C.

7．D
利用换元法，把根式型函数转化为二次函数求最小值即可.
【详解】令，则，
所以的值域等价于的值域，
当时，
所以函数的最小值为，此时.
故选：D.
8．B
按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可.
【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意；
当时，则，解得；
当时，则，解得，
故或．
故选：B
9．BCD
利用不等式的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，若，则，不满足，故A错误.
对选项B，若，则，故B正确.
对选项C，因为，所以，，
所以，所以，故C正确.
对选项D，因为，由B知：，所以，故D正确.
故选：BCD
10．BCD
根据一元二次不等式恒成立，分、讨论求解即可.
【详解】当时，不等式为，显然成立；
当时，则，解得.
综上所述，．
故选：BCD
11．BCD
根据函数的单调性、定义域、值域等知识进行逐项判断即可.
【详解】因为，所以与的单调性相反．
由题意得在上先减后增，则在上先增后减，A错误．
由，得，，
得，．当时，，
则，B正确．
易得在上的值域为，则在上的值域为．
由，得，，
所以在上的值域为，C正确．
易得在上的值域为，在上的值域为，
在上的值域为，，当时，，
当时，，当时，，
所以．
由，得或，
所以不等式的解集为，D正确．
故选：BCD.
12．
根据题意，得到，结合子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】由不等式，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得，
不等式所围成的区域，如图所示的正方形，
又因为，所以集合表示正方形内的整点，
即集合，可得中元素的个数为5，
所以的子集个数为．
故答案为：.

13．
根据题意得，解方程组求解.
【详解】由①，
得②．
②①得，
得．
故答案为：
14．
由已知将变形得到，进而得，再将变形并利用基本不等式求得其最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以，则，
从而．
又，
当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立．
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）由题意得，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）由题意得，
得得
两式相加得，即的取值范围为．
（2）由题意得，且．
当时，，得．
当时，得．
综上，的取值范围为．
16．(1)
(2)4；4
（1）利用基本不等式‘1’的代换求解即可.
（2）利用基本不等式求解积的最大值并结合平方法求解即可.
【详解】（1）因为，，且，所以，
则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，得到，
即的最小值为．
（2）因为，，，所以，
当且仅当时，等号成立，可得的最大值为4，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为4．
17．(1)
(2)
(3)
（1）由解方程即可；
（2）根据一次函数与二次函数的单调性及分段处的函数值，列不等式求解；
（3）根据一次函数与二次函数的最值与值域及分段处的函数值，列不等式求解．
【详解】（1）由题意得，，
由得，解得．
（2）由题意得在上单调递增，
可知当时，单调递增，得．
的图象开口向下，对称轴为直线，
当时，单调递增，则．
因为在上单调递增，所以，得．
综上，的取值范围为．
（3）因为图象开口向下，则函数在有最大值；
要使在上的值域为，
则需：单调递增，值域为，所以．
当时，在上的最大值为，
则，得或，不符合题意．
当时，在上的最大值为，
则，得．
综上，的取值范围为．
18．(1)，
(2)证明见解析
(3)在上单调递减，证明见解析
(4)
【详解】（1）令，，得．
由题意得，所以，得．
令，得，得．
（2）由（1）得．
当时，，，得．
又，当时，，所以．
（3）在上单调递减．证明如下，
任取，且，令，，
则，得．
因为，所以，得．
由（2）可知，由，得，所以在上单调递减．
（4）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减．
由，得．
由，得，
则等价于，
所以，得．故不等式的解集为．
19．(1)，不互为不交双等集，集合，互为不交双等集，理由见解析
(2)或
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，，所以集合，不满足条件②，
则集合，不互为不交双等集．
因为，，，，
且，所以集合，互为不交双等集．
（2）由不交双等集的定义可得，
解得或，则或．
（3）引理1：设m元不交双等集对和n元不交双等集对，可由此构造元不交双等集对．
引理1证明：必有，，，
，，，
对于任意的正整数,为元不交双等集对，
显然存在足够大得正整数,使得，
满足,
所以，
，，
,则互为元不交双等集．
引理2：由引理1中得已知得两个不交双等集对可由此构造元不交双等集对.
引理2证明：当时由引理1中得构造方法可知存在元不交双等集对，
再对此元不交双等集对和元不交双等集对重复使用引理1可构造元不交双等集对.
再对此元不交双等集对和元子集对，
使用引理1，可构造元不交双等子集对.
现在来证明对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集．
证明：由（1）（2）可知和互为4元不交双等集，
为三元不交双等集对；
易证和互为4元不交双等集，
和互为3元不交双等集，
进而得到和互为5元不交双等集．
当时，由引理2可得结论正确；
当时，由引理2可构造元不交双等集对，
再和1个4元不交双等集利用引理2构造得到；
当，由引理2可构造元不交双等集对，
再和1个5元不交双等集利用引理2构造得到．
故对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集．

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