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2025-2026学年第一学期期中质量评价试卷
九年级 数学
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，是方程的两个根，则（）
A． B． C． D．
3．达州市要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为 ．
12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围 ．
13．二次函数的图象可由哪个函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到
14．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ．
16．如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为 ．
17．若点与点关于原点对称，则 ．
18．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有 ．
三、解答题（共66分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)画出关于原点成中心对称的．
20．（8分）用适当的方法解方程：
(1)； (2)
21．（6分）某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染了多少个人．
22．（6分）已知关于的方程．
(1)求证：不论为何值，该方程总有实数根；
(2)若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长．
23．（6分）已知二次函数，求：
(1)当时，函数的值；
(2)该函数图像的对称轴．
24．（6分）已知二次函数图象的顶点为，且过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求图象与轴的交点坐标．
25．（8分）如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)当点是的中点时，求的长．
26．（8分）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
27．（10分）已知，抛物线经过点和．
(1)（3分）求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)（3分）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)（4分）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标．
答案
1-5 CBBCB 6-10 BBDCB
11． 12． 13． 14．，
15．或或或． 16． 17．1 18．①④⑤
19．（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
20．(1)； (2)
21． 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，依题可得：
，
，
解得，（舍），
答：每一轮传染中平均每人传染了个人．
22．（1） ，
，
不论为何值，该方程总有实数根；
（2）等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，
当，为腰时，，，且，
，
解得：，
，
周长；
当，或，为腰，则是方程的解，
，
，
，
，
的周长；
的周长为或．
23．（1）在中，当时，，
∴当时，函数的值为；
（2）∵二次函数解析式为，
∴该函数的对称轴为直线．
24．（1）设顶点式： ， 代入 ，
得：，
解得：，
故该二次函数的解析式为： ；
（2）当时，，
∴图象与轴的交点坐标为．
25．（1）∵为等边三角形，
∴，，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵是边长为的等边三角形，点是的中点，
∴，，，
∴，
在中，，
∴．
26．（1）如图：连接，
∵于E，于F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵于E，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图：
连接，设，则，
由（1）可知，
∴，
∵于E，，
∴，
∴在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径为．
27．（1）由题意知，将，代入中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为，
将抛物线的一般解析式转化为顶点式为，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）存在，
如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，
当时，有，
解得：，，
∴点B的坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵当时，，
∴当周长最小时，点P的坐标为．
（3）如图，设点M的坐标为，
由勾股定理得，，
，
，
此时分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，
∴点M的坐标为，
②当时，有，即，
解得：，，
∴点M的坐标为或，
③当时，有，即，
解得：，
∴点M的坐标为，
综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或。

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