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绝密★启用前
玉溪一中 2025—2026学年上学期高二 11月月考
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在
答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置
贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将
答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 设复数 z＝(m－1)－(m＋2)i（m∈R，i为虚数单位），则复数 z的共轭复数为
A．3i B．－3i C．4i D．－4i
2． 设集合 A {x x2 5x 6 0}，B {x ax 1}，A∩B=B，则实数 a的值为
1 1 1 1 1 1
A． B． C． 或 D．0或 或
2 3 2 3 2 3
1 1
3． 已知数列{an}满足 a1 ，a2 n 1
，则数列{an}的前 13项和为
1 an
A．2 B．8 C．12 D．14
4． 已知向量 a (0,1)，b (2, x)，若 a (b a)，则 cos a,b
1 5 3 1
A． B． C． D．
3 5 2 2
5． 现将 A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊 5个学校进行“反校园欺凌”
普法宣讲，每人只到 1个学校，每个学校只去 1人．已知 A民警不能去甲学校，B，C
两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有
A．36种 B．42种 C．48种 D．60种
e x a, x＜a6． 已知函数 f (x) ，若函数 f (x)有最小值，则实数 a的取值范围是
x
2 2ax, x a
A． ( , 1] B．[0, 1]
3
1 1
C． ( 1,0)∪ ( , ) D． ( , 1)∪[0，]
3 3
1 tan
7． 若 3，则 sin2
sin
2 2 5 5
A． B． C． D．
3 3 3 3
8 2 2． 已知实数 x1、x2、y1、y1满足 x1 y1 1， x
2 2
2 y2 1， x1x2 y y
1
1 2 ，则2
x1 y1 2 x2 y2 2 的最小值为
2 2
1 6 6 6 10A． B． 2 C． 2 D． 2
2 2 2 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9． 关于(x－1)100的展开式，下列结论正确的是
A．展开式共有 101项
B．展开式的第 2项系数为 100
C．展开式的所有项的系数之和为 0
D．展开式的所有二项式系数之和为 2100
10．将函数 f (x) cos x 的图象先向左平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变
4
1
为原来的 ( ＞0)倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象．则下列说法正确的是

A．若 2时， g(x)为奇函数
B．若 g(x)最小正周期为3 2，则
3
C．若 3，则函数 g(x)在 ( , )内有 3个极值点
6
9 13
D．若函数 g(x)在 (0, )恰有 3个零点，则 的取值范围是 ( , ]
4 4
11．在平面直角坐标系 xOy中，方程 x 1 2 y 1 1所表示的曲线记为曲线 C，由曲线 C
构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是
A．图形Ω关于点(1,－1)对称
B．图形Ω的面积为 1
C．曲线 C与椭圆 2x2+y2=1有四个公共点
2 5
D．若 P为曲线 C上的点，则 PO [ ，5]
5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．在等差数列{an}中，若 a1 a2 a3 24， a17 a18 a19 72，则 a20的值为______.
x2 y2
13．设椭圆C : 2 2 1(a＞0,b＞0)
3
的左 右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，P是 C
a b 2
上一点，且 ，若 的面积为 4，则 a的值为_______．
14．已知 ，若三次函数 在点 处的切线与
图象交于另一点 ，在点 处的切线与 图象交于另一点
，则 的最大值为__________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13分）
6
在△ABC中，∠A为锐角，且 sin2A= cosA．
5
（1）求 cosA的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求 c．
条件①cosB= 5；条件②：a=9；条件③：b=10．
3
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
16．（本小题满分 15分）
1
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，P为线段 BC的中点，侧棱 AA1上点 E,F满足EF= AA2 1
．
（1）证明：PE//平面B1CF；
（2）若 AB=AC=AA1=1，AA
2
1⊥平面 ABC，AB⊥AC，AF= ，求直线 BC与平面B1CF所成角3
的正弦值．
17．（本小题满分 15分）
在平面直角坐标系 xOy中，已知点F1(- 17,0)，F2( 17,0)，点 M满足|MF1|-|MF2|=2.记
M的轨迹为 C．
（1）求 C的方程；
（2 1）设点 T 在直线 x= 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且
2
|TA| |TB|=|TP| |TQ|，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和．
18．（本小题满分 17分）
已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1=b1=c
bn
1=1，cn+1=an+1-an，cn+1= cn(n∈N*)．bn+2
（1）若{bn}为等比数列，公比 q>0，且b1+b2=6b3，求 q的值及数列{an}的通项公式；
（2 1）若{bn}为等差数列，公差 d>0，证明：c1+c2+c3+…+cn<1+ ，n∈N*．d
19．（本小题满分 17分）
x+1 2a
已知函数 f(x)=ln - (a∈R)．
x 2x+1
（1）证明：曲线 y=f(x) 1关于点 - ,0 中心对称；
2
（2）当 x>0时，f(x)>0，求 a的取值范围；
（3）证明：对于任意的 n∈N *，2ln(n！)+2n<(2n+1)ln(n+1)．
玉溪一中 2025—2026学年上学期高二 11月月考
数学试题评分参考
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D D A C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ACD BCD BD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
题号 12 13 14
答案 28 4 12 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13分）
解：（1）根据 sin2A= 6 cosA，得 2sinAcosA= 6 cosA，结合 cosA>0 sinA= 3，化简得 ，
5 5 5
所以 cosA= 1-sin2A= 4 (舍负)；
5
（2）若选择条件①：cosB= 5与条件②：a=9，可得 B为锐角，sinB= 1-cos2B= 2，
3 3
9×3 5+8
所以 sinC=sin(A+B)= 3 × 5 + 4 × 2 = 3 5+8 a c，结合正弦定理 = ，得 c= a sinC = 15 =8+3 5；
5 3 5 3 15 sinA sinC sinA 3
5
5 2
若选择①：cosB= 与条件③：b=10，可得 B为锐角，sinB= 1-cos2B= ，
3 3
所以 sinC=sin(A+B)= 3 × 5 + 4 × 2 = 3 5+8，
5 3 5 3 15
b c bsinC 10×
3 5+8
结合正弦定理 = ，得 c= = 152 =8+3 5；sinB sinC sinB
3
若选择条件②：a=9与条件③：b=10，
则由余弦定理，得a2=c2+b2-2bccosA 81=c2+100-20c× 4，即 ，整理得c2-16c+19=0，
5
16± 162-19×4
所以 c= =8±3 5．
2
解：（1）证明：取B1C的中点 G，连接 PG,FG，
由中位线可得：PG//BB1,PG=
1BB
2 1
，
又EF= 1AA1，由 BB1//AA1,BB1=AA2 1，
所以 EF//BB1,EF=
1BB
2 1
，
所以 PG//EF,PG=EF，
即四边形 EFGP为平行四边形，
所以 EP//FG，
又 EP不在平面B1CF内，FG在平面B1CF内，
所以 PE//平面B1CF；
（2）因为 AA1⊥平面 ABC，AB,AC都在平面 ABC内，
又 AB⊥AC，
所以可得：AB,AC,AA1两两垂直，如图建系：
则 B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,1),F 0,0,
2
，
3
B1C=(-1,1,-1),B1F= -1,0,-
1 ,BC=(-1,1,0)，
3
设平面B1CF的法向量为n=(x,y,z)，
→ →
n B1C=(-1,1,-1) (x,y,z)=-x+y-z=0
则{→ → ,
n B1F=(-1,0,-
1 ) (x,y,z)=-x- 1 z=0
3 3
设 z=3，可得 x=-1,y=2，
所以n=(-1,2,3)，
设直线 BC与平面B1CF所成角为θ，
sinθ= cos n,BC n B
C= = 3 = 3 7，
n BC 14× 2 14
3 7
即直线 BC与平面B1CF所成角的正弦值为 ．14
17．（本小题满分 15分）
解：（1）由题意知点 M的轨迹 C是焦点在 x轴上的双曲线的右支，且 a=1，c= 17，
∴b2=c2-a2=16，
C x2- y
2
∴ 的方程为 =1(x≥1)．
16
（2 T( 1）设 ,m)，设直线 AB的方程为 y=k1 x-
1 +m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，2 2
y=k 11 x- +m,2
由 ，得 16x2- k2 x2 1y2 1 -x+ +2k1m x-
1 +m2 =16，
x2- =1, 4 2
16
整理得 16-k21 x2+ k21-2k1m x+k1m-
1 k21-m2-16=0，4
2k m-k2
1
1 1 k m- k
2-m2-16
∴x1+x2= 2 ，x1x =
1 4 1 ，
16-k 2 21 16-k1
1 1
∴|TA| |TB|=(1+k21) x1- x -2 2 2
2 1 1=(1+k1) x1x2- x1+x2 2
+
4
k m- 1 k2-m21 4 1 -16 1 2k m-k
2 1
=(1+k2) - 1 11 +16-k2 2 16-k21 1 4
2 2
=(1+k2) -m -121 2 =(1+k21)
m +12
2 ，16-k1 k1-16
2
设kPQ=k
m +12
2，同理可得|TP| |TQ|= 1+k22 ，k22-16
2 2
由|TA| |TB|=|TP| |TQ| (1+k2) m +12，得 1 2 = 1+k2
m +12

k -16 2 k2
，
1 2-16
∴k22-16k21=k21-16k22，
∴k21=k22，∵k1≠k2，∴k1=-k2，
∴k1+k2=0．
18．（本小题满分 17分）
（1）解：由题意，b2=q，b3=q2，
∵b1+b2=6b3，∴1+q=6q2，
整理，得 6q2-q-1=0，
解得 q=- 1 ( 1舍去)，或 q= ，
3 2
∴c bnn+1= c =
1 c = 1 c = 1n b n 2 n 1 2 cn=4 c ，bn+2 n+2 q ( ) n
bn 2
∴数列{cn}是以 1为首项，4为公比的等比数列，
∴cn=1 4n-1=4n-1，n∈N*．
∴a nn+1-an=cn+1=4 ，
则a1=1，
a2-a1=41，
a3-a2=42，
……
an-an-1=4n-1，(n 2,n∈N*)，
各项相加，可得 n 2，n∈N*时，
a =1+41+42+…+4n-1= 1-4
n
= 4
n-1
n ，1-4 3
当 n=1时代入适合，
4na = -1∴ n ．3
b
（2）证明：依题意，由cn+1= n cn(n∈N*)，可得bn+2
bn+2 cn+1=bn cn，
两边同时乘以bn+1，可得
bn+1bn+2cn+1=bnbn+1cn，
∵b1b2c1=b2=1+d，
∴数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为 1+d，
bnbn+1cn=1+d，
c = 1+d = 1+d d =(1+ 1 ) bn+1-bn =(1+ 1 )( 1 1∴ n - )，bnbn+1 d bnbn+1 d bnbn+1 d bn bn+1
∴c1+c2+…+cn
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=(1+ )( - )+(1+ )( - )+…+(1+ )( - )
d b1 b2 d b2 b3 d bn bn+1
1 1 1 1 1 1 1
=(1+ )( - + - +…+ - )
d b1 b2 b2 b3 bn bn+1
1 1 1
=(1+ )( - )
d b1 bn+1
1 1
=(1+ )(1- )
d bn+1
<1+ 1，
d
1
∴c1+c2+…+cn<1+ ，故得证．d
19．（本小题满分 17分）
解：（1）证明：易知 f(x)的定义域为 -∞,-1 ∪ 0,+∞ ，
(- 1定义域关于 ,0)中心对称．
2
f(-1-x)+f(x)=ln( -x )- 2a +ln( x+1 )- 2a =0，
-1-x -1-2x x 2x+1
故曲线 y=f(x)关于点(- 1 ,0)中心对称．
2
2 f(x)=ln( x+1（ ）已知 )- 2a ，x∈(0,+∞)，
x 2x+1
x+1 =t x= 1 2a(t-1)令 ，则 ，t>1，则 f(t)=lnt- ，
x t-1 t+1
因此只需求出在 t∈(1,+∞)上使得 f(t) >0的 a的取值范围即可．
令φ(x)=(x+1)lnx-2ax+2a，x∈(1,+∞)，
从而φ'(x)=lnx+ 1 +1-2a，
x
令 m(x)=φ'(x)，则 m'(x)= x-1，
x2
令 m'(x)=0，解得 x=1，
故φ'(x)在 x=1处取到最小值，φ'(1) = 2-2a;
①若 a≤1，则φ'(x) 0，进而φ(x)在(1,+∞)上单调递增，φ(x)>φ(1)=0，
因此φ(x)>0，故 f(x)>0;
②若 a>1，则φ'(1)<0，φ'(x)在(1,+∞)上单调递增，
从而由零点存在定理可知，存在x0∈(1,+∞)，φ'(x0)=0，
进而 x∈(1,x0)时，φ'(x)<0，
因此φ(x)在(1,x0)上单调递减，φ(1)=0，
进而有 x∈(1,x0)时，φ(x)<0，矛盾．
综上，a的取值范围为(-∞,1]．
（3）证明：由(2) ln( x+1知， )- 2 >0在(0,+∞)上恒成立，
x 2x+1
取 x=i(i∈N*)，故(2i+1)ln(i+1)-(2i+1)lni-2>0，
进而有 lni+ln(i+ 1) < 2(i+1)ln(i+1)-2ilni-2，
对其两边从 1到 n求和得到 ln1+2ni=2 ln i+ln(n+1)< (2n+2)ln(n+1)-2n，
化简即得 2ln(n!)+2n<(2n+1)ln(n+1)．

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