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郫都区2025-2026学年度高二上期期中考试
数学参考答案
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B C A D C B A BD BC BCD
二．填空题
13. 14. 15.
三．解答题
15.（1），………………………………………………………………2分
则
，
所以.………………………………………………………………………………………………6分
（2）由有
，………………………………8分
又
，…………………………………………11分
则.………………………………………………………………13分
16.（1）由直方图知：，可得 ……………………………………………………3分
∴500名志愿者中年龄在的人数为人 …………………………………………5分
（2）众32.5……………………………………………………………………………………………………7分
中位数 …………………………………………………………………………………10分
（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概 ………………………………………………………15分
17.（1）法一：，连接，则，
又，所以平面………………………………………………4分
法二：在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，令，则，
而平面，所以平面. ………………………………………………………………4分
（2）由（1）知，，由，得，
又，且平面，所以平面. ……………………………9分
（3）由（1）知，，且，
设平面的法向量为，则
，取 ……………………………………………………………………11分
，而，则，
即，则的一个法向量为…………………………………………13分
因此 ………………………………………………………………14分
所以平面与平面的夹角为. ………………………………………………………………15分
18.（1）记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的.
则.…………………………………………………………4分
（2）设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则.
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则
.
所以；…………………………………………………………8分
………………………………………………………12分
所以，
所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大.………………………………………………………17分
19.解：（1）∵四边形为正方形，∴，
又平面，平面，∴AB//平面 …………………………………………………3分
又平面，平面平面，
∴ ………………………………………………………………………………………………………5分
（2）如图所示，取中点，连接，则，
∵平面，平面，平面，
∴，，
∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的法向量为，
则，得，取……………………………………………………8分
∴点M到平面PBC的距离为…………………………………………………………………………………………10分
（3）∵，且平面为正方形，
∴点在平面上的射影是的中心，可设，则，
∴，解得，即…………………………………………………12分
设，则
又，设平面的法向量为
则，取………………………………………………………………………14分
设直线与平面所成角为，则
所以当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.…………………………………17分郫都区2025一2026学年度上期期中考试
高二
数学
说明：1.本卷分第1卷（选择题)和第川卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是最符合题目要求的)
1.已知向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),若a与b共线，则x的值为()
A.5
B.4
C.-4
D.-5
2.据统计，2025年10月成都市某区域一周AOI指数按从小到大的顺序排列为：45,50，
51,53,53,57,60,则这组数据的25百分位数是()
A.45
B.50
C.51
D.53
3.在正方体ABCD-ABCD中，异面直线AD与DB所成角的余弦值为()
A.、②
B.②
C.0
D.1
2
2
4.已知z轴上一点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,)距离相等，则点M的竖坐标为()
A.-3
B.-1
C.1
D.2
5.某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男
生、女生人数相同，分组情况为（单位：cm)A:x<155,B:155≤x<160,C:160≤x<165,
D:165≤x<170,E:x≥170，利用所得数据绘制如下统计图表：
男生身高情况直方图
女生身高情况扇形统计图
个频数（人数）
B
A
8
37.5%
/17.5%
6
E
25%
A BC D E身高(cm)
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是()
A.身高在155≤x<160区间的男生比女生多3人
B.B组中男生和女生占比相同
C.超过一半的男生身高在165cm以上
D.女生身高在E组的人数有2人
6.已知随机事件A,B,C中，A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则
P(AUB)=()
A.0.4
B.0.7
C.0.58
D.0.72
高二数学
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7.两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线a,b上分别取点A,E和点B,F,使AB⊥a,
且AB⊥b.已知AE=6,BF=8,EF=14,则线段AB的长为()
A.20或12
B.12或4V3
C.4V3或8V3
D.8√5或20
8.阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x,yo,zo)且一个法向量为m=(a,b,c)
的平面a的方程为a(x-x)+b(y-yo+c(亿-z。=0,过点P(x,yo,o)且方向向量为
i=(u,y,w)(w≠0)的直线1的方程为-龙=y-=2-0.
根据上述材料，解决下面
问题：直线1是两个平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的交线，则1的一个方向向量是()
A.（2,1,4)
B.(1,3,5)
C.(1,-2,0)
D.（2,0,-1)
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分)
9.有一组样本数据x,x2,…,x6,其中x是最小值，x。是最大值，则()
A.x2,x3,x4,x的平均数等于X1,X2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x的中位数等于X1,x2,,x6的中位数
C.x2,X3,x4,七的标准差不小于X1,x2,,x6的标准差
D.2,x3,x4,x的极差不大于x,x2,,x,的极差
10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙
表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积
是12”，则下列说法正确的是()
A.甲、乙对立B.甲、丙互斥C.甲、乙相互独立D.乙、丙相互独立
11.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，己知AB=1,点P满足CP=CD+uCC,其中
∈[0,1,4∈[0,1，则下列结论正确的是（)
A.当B,P//平面ABD时，BP不可能垂直CD
B.若BP与平面CCD,D所成角为牙，则点P的轨迹长度为
C当元=1时，正方体经过点4、P、C的截面面积的取值范围为V6
2
D.当元=u时，|DP+|AP的最小值为√2+√2
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