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石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级
期中考试 数学试题
一、单选题
1．椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．6 D．
2．已知向量与共线，则（ ）
A．3 B．9 C．-3 D．-9
3．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
7．如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，则直线通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．下列说法错误的是（　　）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为
11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ）

A．若G为线段AE的中点，则平面
B．多面体的体积为
C．
D．的最小值为44
三、填空题
12．在等差数列中，若，则的通项公式为 .
13．在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且与轴相切，则圆的标准方程可以为 ．（写出满足条件的一个答案即可）
14．在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 .
四、解答题
15．已知平面直角坐标系中，点.
(1)若M为的中点，求直线的斜率；
(2)求点C到直线的距离.
16．已知中，顶点，，的平分线所在直线的方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积.
17．记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0.
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值.
18．等差数列中，设数列满足，
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前8项和.
19．两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
试卷第2页，共4页
答案第8页，共8页题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D C C B A ACD BD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】由椭圆方程确定，即可求解.
【详解】由椭圆方程得，则，
所以．
故选：D
2．A
【分析】根据空间向量共线求得，进而得到.
【详解】因为共线，所以，所以，，所以．
故选：A
3．B
【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积.
【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，
由，又有，所以．
由，为等腰三角形，则底边上的高，
.
故选：B
4．D
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选：D
5．C
【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解．
【详解】由，
得，
所以，
故选：C．
6．C
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
则，
当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号，
所以的最小值为.

故选：C.
【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是.
7．B
【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长.
【详解】∵二面角的大小为，，，
∴，.
由题意得，，
，
∴，
∴，即线段的长为.
故选：B.
8．A
【分析】通过切线长定理转化边长可得的周长为，利用两点间距离公式可得点坐标.
【详解】如图，连接，则.
由题意得，圆心，圆与轴相切于点.
∵与分别切于点，∴，
∴的周长为：
，
∴，即，
代入选项可得点的坐标为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用切线长定理转化边长，借助勾股定理建立关于的等量关系，代入选项可求出点坐标.
9．ACD
【分析】将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可.
【详解】可把直线方程化为，
因为，，
其斜率，直线在轴的截距，
由此可知直线通过第一、三、四象限．
故选：ACD.
10．BD
【分析】计算直线定点得到A正确，计算截距为得到B错误，计算倾斜角得到C正确，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：直线必过定点，正确；
对选项B：取得到，故在轴上的截距为，错误；
对选项C：直线的斜率为，，
故，正确；
对选项D：过点，且与坐标轴截距相等，错误；
故选：BD
11．ACD
【分析】利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B.
【详解】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且两个平面的交线为，，
所以平面；以为原点，分别为轴的正方向，建系如图，

.
对于A，G为线段AE的中点，，;
，设是平面的一个法向量，
则，，令，则，即.
因为，所以，又平面，所以平面，A正确.
对于C，，因为，所以，C正确.
对于D，设，，
，
，
所以当时，取到最小值44，D正确.
对于B，由正方形的性质可得，由题设条件可知平面，
由可得，
所以四棱锥和四棱锥的高均为.
其体积，
所以多面体的体积为，B不正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解.
【详解】由可得公差，
故，
故答案为：
13．(答案不唯一)
【分析】利用标准方程确定圆心和半径即可
【详解】设圆的标准方程为，
因圆的圆心在轴上，且与轴相切，则，
则圆的方程为，故任取实数即可，现取，
故答案为：(答案不唯一).
14．
【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点.
【详解】将直线方程变形为，
由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式得，再由斜率公式即可求解；
（2）由点斜式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式求解即可
【详解】（1）因为M为的中点，且，
所以由中点坐标公式得，
又，
所以直线的斜率为；
（2）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以点C到直线的距离为
16．（1）；（2） .
【分析】（1）根据关于直线的对称点一定在直线上，即可求得直线的斜率以及方程，与联立即可求得点的坐标；
（2）求出点到直线：的距离为三角形的高，利用两点间距离公式计算，再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为是的平分线，
所以关于直线的对称点一定在直线上，
，所以直线的方程为：，即，
由解得：，
所以；
（2）点到直线：的距离为：，
，
所以.
17．（1）；（2），最小值为．
【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式．
（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为．
【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，．
∴，
解得，．
∴的通项公式为．
（2）∵，．
∴．
为开口向上的二次函数，对称轴为，又
∴当或时，的最小值为．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列式求出公差，再求出通项公式即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
所以.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件，直接求出数列公比，即可求出数列通项公式；再利用与间的关系，即可求出的通项公式；
（2）利用（1）中结果，再利用等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可求解.
【详解】（1）因为数列为等比数列，设数列的公比为，
又，，所以，解得，所以，
又数列的前项和为①，
当时，②，由①②得到，
又，，所以，则，满足，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
答案第2页，共3页

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