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2025-2026学年江苏省泰州中学高二上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若直线经过两点 ( , 2)， (1,2 1)且倾斜角为135 ，则 的值为( )
3 3
A. 2 B. C. 1 D.
2 2
2.曲线方程 2 + 2 + + 4 = 0表示一个圆的充要条件为( )
A. > 15 B. ≥ 15 C. 2 > 15 D. 2 ≥ 15
3.方程√ ( 4)2 + 2 + √ ( + 4)2 + 2 = 10的化简结果是( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
5 3 3 5 25 9 9 25
4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角

坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 ( , )是阴影部分(包括边界)的动点，则 的最小
2
值为( )
2 3 4
A. B. C. D. 1
3 2 3
5.若关于 的方程√ 4 2 4 + 2 = 0有且仅有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是( )
3 3 3 3
A. ( , +∞) B. (0, ] C. ( , 1] D. [ , 1)
4 4 4 4
2 2
6.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)， 为其左焦点，直线 = ( > 0)与椭圆 交于点 ， ，且 ⊥
.若∠ = 30°，则椭圆 的离心率为 ( )
√ 7 √ 6 √ 7 √ 6
A. B. C. D.
3 3 6 6
7.已知直线 ： + 1 = 0( ∈ )与圆( 2)2 + ( √ 5)2 = 4相切，则满足条件的直线 有
( )条
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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1
8.已知圆 : 2 + 2 = 16，点 ( 2, + √ 19)，点 是 : 2 + 16 = 0上的动点，过 作圆 的切线，切
2
点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则| |的最小值为( )
3 3√ 5 5√ 5 3√ 19
A. B. C. D.
2 2 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ 的三个顶点分别是 (3, )， (6,1)， (3,4)，且 边上的高所在的直线方程为 ： = +
3，则以下结论正确的是( )
A. = ±6
B. 边上的中线所在的直线方程为7 + 3 39 = 0
C. 过点 且平行于 的直线方程为 + 9 = 0
D. △ 三边所在的直线中，直线 的倾斜角最大
2
10.设椭圆 : + 2 = 1的左右焦点为 1， 2， 是 上的动点，则下列结论正确的是( ) 2
A. | 1| + | 2| = 2√ 2
√ 6
B. 离心率 =
2
C. △ 1 2面积的最大值为√ 2
D. 以线段 1 2为直径的圆与直线 + √ 2 = 0相切
11.已知直线 : + 4 = 0和曲线 : 2 + 2 = 4，点 是直线 上的一个动点，点 是曲线 上的一个动
点，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 、 ，则下列说法正确的是( )
A. | |的最小值为2
B. 曲线 上存在2个点到直线 的距离等于2√ 2 2
C. 若曲线 上总存在点 ，使得∠ = 30 ，则 的横坐标的取值范围是[0,4]
D. 直线 过定点(1,1)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.从圆 2 + 2 = 4外一点 (2,3)向这个圆引切线，则切线的方程为______．
2 2
13.椭圆 + = 1的左焦点为 ，直线 = 与椭圆相交于点 ， ，当△ 的周长最大时，△ 的面
5 4
积是
14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥
曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 ， 的距离
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之比为 ( > 0, ≠ 1)，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆 ：
1 1
2 + 2 = 1、点 ( , 0)和点 (0, ), 为圆 上的动点，则2| | | |的最大值为______．
2 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知点 (3, 4)和点 (5,8)，求过直线 的中点且与 垂直的直线 的方程；
(2)求过直线3 2 + 1 = 0和 + 3 + 4 = 0的交点，且平行于直线 2 + 3 = 0的直线 的方程．
16.(本小题15分)
已知椭圆 的焦点为 1( 6,0)， 2(6,0)，且该椭圆经过点 (5,2)．
(1)求 的标准方程;
(2)若 为 上一点，且 1 ⊥ 2，求△ 1 2的面积．
17.(本小题15分)
已知过点 (0,1)且斜率为 的直线 与圆 ：( 2)2 + ( 3)2 = 1交于 ， 两点．
(1)求 的取值范围；
(2)若 = 12，其中 为坐标原点，求| |.
18.(本小题17分)
已知圆 过点 (2,6)，圆心在直线 = + 1上，截 轴弦长为2√ 5．
(1)求圆 的方程；
(2)若圆 半径小于10，点 在该圆上运动，点 (3,2)，记 为过 、 两点的弦的中点，求 的轨迹方程；
(3)在(2)的条件下，若直线 与直线 ： = 2交于点 ，证明：| | | |恒为定值．
19.(本小题17分)
平面直角坐标系中，圆 经过点 (√ 3, 1)， (0,4)， ( 2,2)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)设 (0,1)，过点 作直线 1，交圆 于 两点， 不在 轴上．
( )过点 作与直线 1垂直的直线 2，交圆 于 两点，记四边形 的面积为 ，求 的最大值；
( )设直线 ， 相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理
由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 2或5 12 + 26 = 0
8√ 5
13.
5
_
√ 17
14.
2
8 ( 4) 12
15.解：(1)直线 的斜率为 = = = 6，
5 3 2
3+5 4+8
, 的中点坐标为 ( , )，即 (4,2)，
2 2
1
与 垂直的直线斜率 = ，
6
1
则直线 的方程为 2 = ( 4)，即 + 6 16 = 0．
6
3 2 + 1 = 0 = 1
(2)由{ 得{ ，即交点坐标为( 1, 1)，
+ 3 + 4 = 0 = 1
设平行于直线 2 + 3 = 0的直线 的方程为 2 + = 0，
又直线过( 1, 1)，则 1 + 2 + = 0，
得 = 1，即直线 的方程为 2 1 = 0．
2 2
16.解：(1)设 的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
25 4
因为椭圆经过点 (5,2)，所以 +
2 2
= 1，

因为椭圆的焦点为 1( 6,0)， 2(6,0)，
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所以 2 2 = 36，
25 4
+ = 1
联立方程组{ 2 2 ，解得 2 = 45， 2 = 9，
2 2 = 36
2 2
所以椭圆 的标准方程为 + = 1；
45 9
(2)设| 1| = 1，| 2| = 2，
则 1 + 2 = 2 = 6√ 5，
又 1 ⊥ 2，
则 2 + 2 = | |21 2 1 2 = 144，
1
所以 = [( + )2 ( 2 + 21 2 1 2 1 2 )] = 18， 2
1
所以△ 1 2的面积 = 1 2 = 9． 2
17.解：(1)由题设，可知直线 的方程为 = + 1，圆心为 (2,3)，半径为 = 1．
|2 3+1|
因为直线 与圆 交于两点，所以 < 1．
√ 2 1+
4 √ 7 4+√ 7
∴ 3 2 8 + 3 < 0，解得 < < ．
3 3
4 √ 7 4+√ 7
所以 的取值范围为( , ).
3 3
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2).
将 = + 1代入方程( 2)2 + ( 3)2 = 1，
4(1+ ) 7
整理得(1 + 2) 2 4(1 + ) + 7 = 0. 所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2．
1+ 1+
4 (1+ ) · = 1 2 +
2
1 2 = (1 + ) 1 2 + ( 1 + 2) + 1 = 2 + 8．
1+
4 (1+ )
由题设可得 2 + 8 = 12，解得 = 1，
1+
所以直线 的方程为 = + 1．
因为圆心 (2,3)在直线 上，所以 = 2．
18.解：(1)设圆心为 ( , + 1)，设圆 的半径为 ，
圆心到 轴的距离为| |，且圆 轴弦长为2√ 5，则 2 = 2 + 5，①
且有 = | | = √ ( 2)2 + ( 5)2②，
= 2 = 12
联立①②可得{ 或{ ，
= 3 = √ 149
所以，圆 的方程为( 2)2 + ( 3)2 = 9或( 14)2 + ( 15)2 = 149．
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(2)解：因为 半径小于10，则圆 的方程为( 2)2 + ( 3)2 = 9，
由圆的几何性质得 ⊥ 即 ⊥ ，所以 = 0，
设 ( , )，则 = ( 2, 3)， = ( 3, 2)，
5 5 1
所以( 2)( 3) + ( 3)( 2) = 0，即 的轨迹方程是( )2 + ( )2 = ．
2 2 2
3 2
(3)证明：设直线 与直线 交于点 ，由 (2,3)、 (3,2)可知直线 的斜率是 = = 1， 2 3
因为直线 的斜率为1，则 ⊥ ，则∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
所以，△ ∽△ ，因此，| | | | = | | | |，
|3 2 2| 1
又 到 的距离| | = =2 2 √ 2，| | = √ (2 3)
2 + (3 2)2 = √ 2， √ 1 +1
1
所以，| | | | = √ 2 = 1，
√ 2
故| | | |恒为定值1．
19.解：(1)设圆 : 2 + 2 + + + = 0，
∵圆 经过点 (√ 3, 1)， (0,4)， ( 2,2)，
3 + 1 + √ 3 + + = 0
∴ { 16 + 4 + = 0 ，解得 = 0, = 4, = 0，
4 + 4 2 + 2 + = 0
∴圆 : 2 + 2 4 = 0，即圆 : 2 + ( 2)2 = 4．
(2)( )如图，过圆心 分别作 ⊥ , ⊥ ，交 , 于 , ，
分别记 = , = ，∴ 2 + 21 2 1 2 = 1．
由垂径定理知：| | = 2√ 2 21 , | | = 2√ 2
2．
2
∴四边形 的面积 1 1 = | || | = × 2√ 2 2 × 2√ 2 21 2 = 2√ (4
2
1 )(4
2
2 ) 2 2
2 2
√ (4 1 )+(4 ) 7 2 ( 2 )2 = 2 × = 7，
2 2
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√ 2
当且仅当 1 = 2 = 时， 取最大值7． 2
( )如图，直线 , 相交于点 ，
∵ , 不在 轴上，∴直线 斜率存在，设为 ，
直线 : = + 1，点 ( , ), ( , )， 与圆 的方程联立：
= + 1
{ 2 22 2 ，则有( + 1) 2 3 = 0， + ( 2) = 4
2 3
由韦达定理， + = 2 , = 2 ，
+1 +1
4
直线 : = ，直线 : = + 4，

4
4 4
两式作商： = =

( + 1) 4 3 3
= = =
( + 1) + + +
3
2 3 3( 2 + )
= +1 +1 3 2 = = 3．
2 + 2 ( 2 + )
+1 +1 +1
4
即 = 3，得 = 2.即点 在定直线 = 2上.

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