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人教A版 选择性必修 第一册
3.2.1双曲线及其标准方程
第三章 圆锥曲线的方程
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程:
问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
知识回顾
学习目标
1.了解双曲线的定义；
2.了解双曲线的几何图形和标准方程；
3.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程.
问题1：双曲线的定义。
问题2：双曲线的标准方程。
问题3：与双曲线有关的轨迹方程。
自学指导
阅读课本118--120页，完成以下问题：
双曲线型自然通风冷却塔
法拉利主题公园
如图，取一条拉链，拉开它的一部分，分别固定在点F1,F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢
教师点拨
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
{M|| |MF1| - |MF2| | = 2a} ( 0<2a< |F1F2|)
符号语言：
思考1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？
② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？
③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？
轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
轨迹不存在
轨迹为线段F1F2的垂直平分线
思考2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
F1
F2
M
F1
F2
M
小组互助
B
练习 若动点P(x,y)到点A(-3,0),B(3,0)的距离之差为4,则点P的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.一条直线 D.一条射线
||MF1|-|MF2||=2a(0① 建系:
② 设点：
③ 列式：
O



M
④ 化简整理得：
我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
双曲线标准方程
思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
O



M
这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2.
双曲线标准方程的特点
① 方程用“－”号连接；
② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
③ c2=a2+b2 ；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
O
M
F2
F1
x
y
F2
F1
M
x
O
y
教师点拨
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(－c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, c2=a2-b2 a, b, c中a最大
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
F1(0, －c), F2(0, c)
F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
教师点拨
“椭圆看大小，双曲线看正负”
小组互助
D
小组互助
例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.
先定型，再定量
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ；
(2) 焦点在轴x上，经过点
(3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
小组互助
教师点拨
1.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.
特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)来求解.
2.有公共焦点的双曲线的方程
小组互助
变式1 (1)已知双曲线过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程;
例3 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,
且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
想一想：如果A, B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？
爆炸点应在线段AB的中垂线上.
小组互助
小组互助
变式2 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
小组互助
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积S.
y
O
F1
F2
P
x
双曲线的焦点三角形面积公式
小组互助
变式3 (1)已知双曲线的方程是 ,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1的距离为10,点N是PF1的中点,O为坐标原点,则|ON|=　　　.
（2）已知P是双曲线 上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|=　　　　　.
33
|PF2|≥c-a
1.
2.
A
B
M
O
x
y

x
y
B
M
O
A

点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的椭圆.
点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.
1. 若点A, B是椭圆C: 的左右顶点，点P是椭圆C上除A, B以外任意一点，则
推论1. 若点A, B是椭圆C: 上任意关于椭圆中心对称的两点，点P是椭圆C上除A, B以外任意一点，则
推论2. 若点A, B是椭圆C: 上任意关于椭圆中心对称的两点，点P是椭圆C上除A, B以外任意一点，则
2.(中点弦)若A, B是直线l(斜率存在且不为0)与椭圆C: 的两个交点，点P是AB的中点，则
与椭圆有关的结论：
1. 若点A, B是双曲线C: 的左右顶点，点P是双曲线C上除A, B以外任意一点，则
推论1. 若点A, B是双曲线C: 上任意关于双曲线中心对称的两点，点P是双曲线C上除A, B以外任意一点，则
推论2. 若点A, B是双曲线C: 上任意关于双曲线中心对称的两点，点P是双曲线C上除A, B以外任意一点，则
2.(中点弦)若A, B是直线l(斜率存在且不为0)与双曲线C: 的两个交点，点P是AB的中点，则
与双曲线有关的结论：
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(－c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, c2=a2-b2 a, b, c中a最大
||MF1|－|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
F1(0, －c), F2(0, c)
F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
课后反思
“椭圆看大小，双曲线看正负”
课后作业
完成课后训练P.55

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