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3.4圆心角
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 2
【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 3
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 4
【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 1.（2024 霍邱县模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（　　） A．B．3C．4D．
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算
【典型例题】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【举一反三1】如图中是圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】图中是圆心角的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为 ．
【举一反三4】如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE= .
【举一反三5】如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【举一反三6】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？

【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算
【典型例题】如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（ ）
A. B.2 C. D.
【举一反三1】如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（ ）
A. B.1 C. D.
【举一反三2】如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且．若∠COD=40°，则∠ADO=____________度．
【举一反三3】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．
(1)已知，，求圆O的半径；
(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明
【典型例题】如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE.
A.①④ B.②③ C.②③④ D.①②③④
【举一反三1】如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）

A.
B.
C.
D.
【举一反三2】如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）

A.AB+CD＝EF B.AB+CD＜EF C.AB+CD≤EF D.AB+CD＞EF
【举一反三3】判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【举一反三4】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CDAB．求证：．
【举一反三5】如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM．3.4圆心角
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 3
【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 6
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 9
【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 1.（2024 霍邱县模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（　　） A．B．3C．4D．
【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接OC，OA，过O作OH⊥AB于H，过O作OQ⊥CD于Q，再利用垂径定理求解OQ=OH=3，再证明四边形OQEH是正方形，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图，连接OC，OA，过O作OH⊥AB于H，过O作OQ⊥CD于Q，
∵AB=CD=8，
∴，
∵OC=OA=5，
∴，
∴OQ=OH，
∴AB⊥CD，OQ⊥CD，OH⊥AB，
∴四边形OQEH是正方形，
∴OH=EH=3，
∴．
故选：A．
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算
【典型例题】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】A
【解析】∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【举一反三1】如图中是圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵∠AOB是圆心角，
∴∠AOB的顶点为圆心O．
故选C．
【举一反三2】图中是圆心角的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A为圆周角，不符合题意；
B是圆心角，符合题意；
C不是圆心角，不符合题意；
D不是圆心角，不符合题意；
故选：B.
【举一反三3】将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为 ．
【答案】200°
【解析】最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°．
故答案为200°.
【举一反三4】如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE= .
【答案】36°
【解析】设∠AOE=2x，则∠BOC=∠COD=∠DOE=x，
∵∠AOB是平角，
∴∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°，
∴x+x+x+2x=180°，
∴x=36°,
∴∠DOE=36°.
故答案为36°.
【举一反三5】如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1）；
∵，，，
∴.
（2）∵，，，，
∴，
∴.
【举一反三6】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？

【答案】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，

由图可得：，，
∴，
故，
即所对的圆心角为．
【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算
【典型例题】如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（ ）
A. B.2 C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，在上取一点F，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
,
,
又，
,即，
,
，
，
∴，，
∴，，，
∵，即，
解得，
∴，
故选：C．
【举一反三2】如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且．若∠COD=40°，则∠ADO=____________度．
【答案】30
【解析】∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
故答案为：30．
【举一反三3】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．
(1)已知，，求圆O的半径；
(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．
【答案】解：（1）连接，如图，设的半径为，则，，
平分，
，，
在中，，
解得，
即的半径为；
（2）连接，如图，
，
，
即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即弦所对的圆心角的度数为．
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明
【典型例题】如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE.
A.①④ B.②③ C.②③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE，，，
∴∠BOC=2∠A=40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE，
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【举一反三1】如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】A、∵点A是中点，
∴，
∴，
无法得出，故选项A错误；
B、如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项正确；
C、∵，
∴，故选项C错误；
D、无法得出，故选项D错误．
故选：B．

【举一反三2】如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）

A.AB+CD＝EF B.AB+CD＜EF C.AB+CD≤EF D.AB+CD＞EF
【答案】D
【解析】如图，在弧EF上取一点M，使，

则，
所以AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
所以AB+CD＞EF，
故选：D．
【举一反三3】判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【答案】（1）真命题
（2）假命题
（3）真命题
（4）假命题
【解析】对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；
对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；
对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；
对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．
故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．
【举一反三4】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CDAB．求证：．
【答案】解：连接OC，OD，
∵CDAB，
∴，，
∵OC，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵，
∴，即，
∴BM＝CM．

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