资源简介

3.2图形的旋转
【题型1】判断生活中的旋转现象 7
【题型2】判断一个图形旋转后得到的图形 9
【题型3】旋转三要素及旋转中不变的辨析 11
【题型4】旋转中的规律性问题 15
【题型5】利用旋转的性质计算 23
【题型6】利用旋转的性质证明 27
【题型7】利用旋转的性质求最值 38
【知识点1】生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 1.（2024秋 诸暨市期末）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　） A．升国旗的过程B．摩天轮的转动C．汽车刹车时的滑动D．电梯的运行
【答案】B 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A、升国旗的过程属于平移，不属于旋转，故本选项不符合题意；
B、摩天轮的转动属于旋转，故本选项符合题意；
C、汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故本选项不符合题意；
D、电梯的运行属于平移，不属于旋转，故本选项不符合题意；
故选：B． 2.（2024秋 扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头开关的转动，是旋转现象；
⑤钟摆的运动，是旋转现象；
⑥荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④⑤⑥共4个．
故选：C． 【知识点2】旋转的性质 （1）旋转的性质：
______　　①对应点到旋转中心的距离相等．______　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．______　　③旋转前、后的图形全等．______（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．______　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 1.（2024秋 息县期末）如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，如果△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，则旋转角度是（　　） A．90°B．60°C．45°D．30°
【答案】C 【分析】△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，根据旋转的意义易得旋转角度． 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，
∴AE的对应边为AE，
∴旋转角度等于∠CAE，
∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C=∠AED=90°，
∴∠CAE=45°．
故选：C． 2.（2025春 肃州区期中）如图，在△AOB中，AO=3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（　　） A．B．C．3D．5
【答案】A 【分析】由旋转性质可判定△AOA′为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA′的长． 【解答】解：由旋转性质可知，OA=OA′=3，∠AOA′=90°，
则△AOA′为等腰直角三角形，
∴．
故选：A． 【知识点3】旋转对称图形 （1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 1.（2024春 遂平县期末）下列说法正确的是（　　） A．正八边形和正方形的组合不能铺满地面B．五角星是旋转对称图形，绕着它的中心至少旋转36°能与自身重合C．三条线段长度分别为2cm,4cm,6cm,则这三条线段可以组成一个三角形D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
【答案】D 【分析】根据平面镶嵌、旋转的性质、三角形的三边关系、直角三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：A、∵正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，
∴135°×2+90°=360°，
∴正八边形和正方形的组合能铺满地面，故不符合题意；
B、五角星被平分成五部分，因而每部分被分成的中心角是72°，因而最少旋转72度，就可以与自身重合，故不符合题意；
C、∵2+4=6，
∴长为2cm、4cm、6cm的线段，首尾相连不可以围成一个三角形；故不符合题意；
D、设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30°，
则2x=60°，3x=90°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故符合题意；
故选：D． 2.（2024 海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　） A．45B．60C．72D．144
【答案】C 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故选：C． 【知识点4】坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1.（2024 普宁市校级三模）如图，在Rt△ABO中，AB=OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（1，-3）B．（-1，3）C．D．（3，1）
【答案】D 【分析】由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【解答】解：∵360°÷45°=8，
∴经过8次旋转后图形回到原位置．
∵2024÷8=253，
∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置，
过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意可得AO=2，△ABO是等腰直角三角形，
∴，∠BAO=45°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠BAD=90°，
∴∠DAE=45°，
∴在Rt△ADE中，，
∴OE=AO+AE=3，
∴点D的坐标为（3，1）．
故选：D． 【知识点5】作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 【知识点6】利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 1.（2024秋 工业园区期末）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（　　） A．轴对称B．平移C．旋转D．轴对称，平移，旋转
【答案】B 【分析】根据平移的性质即可得到结论． 【解答】解：该作品运用的数学方法是平移，
故选：B．
【题型1】判断生活中的旋转现象
【典型例题】在以下几种生活现象中，不属于旋转的是(　　)
A.下雪时，雪花在天空中自由飘落
B.钟摆左右不停地摆动
C.时钟上秒针的转动
D.电风扇转动的扇叶
【答案】A
【解析】A是平移；B是旋转；C是旋转；D是旋转．故选A.
【举一反三1】下列现象属于旋转的是（ ）
A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.飞机起飞后冲向空中的时候
C.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
D.幸运大转盘转动的过程
【答案】D
【解析】A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；
B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误；
C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误；
D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确．
故选：D．
【举一反三2】下列运动属于数学上的旋转的是（ ）
A.乘坐升降电梯
B.地球绕太阳转动
C.钟表上的时针运动
D.将等腰三角形沿着底边上的高对折
【答案】C
【解析】、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意；
、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意；
、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意；
、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意；
故选：．
【举一反三3】我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号）
【答案】②④⑥
【解析】①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动，
故答案为②④⑥.
【举一反三4】运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
【答案】直升机螺旋桨的转动
【解析】冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；钢架雪车加速前进属于平移，
故答案为：直升机螺旋桨的转动．
【举一反三5】你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？
【答案】解：(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象．
【题型2】判断一个图形旋转后得到的图形
【典型例题】如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【举一反三1】下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】C
【解析】图①在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
图②在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
图③在同一平面内经过旋转不可以得到例图，不符合题意；
图④在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意；
故选：C.
【举一反三2】神舟十三号载人飞船于北京时间10月16日0时23分发射成功．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，下列选项中是该标识经过旋转得到的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由旋转的性质可知，只有B选项符合题意，A、C、D三个选项都改变了图形的形状，
故选B．
【举一反三3】下列各图中，可以看成由下面图形顺时针旋转90°而形成的图形的是( )
A.A B.B C.C D.D
【答案】B
【解析】该题中A选项顺时针旋转不重叠，可排除；C、D选项顺时针旋转对角线是相交而不是重叠，可排除．故选B．
【举一反三4】下列图形绕某点旋转后，不能与原来重合的是（旋转度数不超过180°）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的最小的旋转角分别是180度，360度，180度，180度．
因而绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的是X，Z，H．
故答案为：B．
【题型3】旋转三要素及旋转中不变的辨析
【典型例题】在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知是旋转角，且．
故选：D．
【举一反三1】如图，图形旋转多少度后能与自身重合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
这个图形平分5份，
∴图形旋转的最小的度数是．
故选：C．
【举一反三2】如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：

（1）点的对应点是 ；
（2）旋转中心是 ，旋转角为 ；
（3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ．
【答案】（1）点
（2）点；或
（3）；
【解析】（1）点的对应点是点；
（2）旋转中心是点，旋转角为或；
（3）的对应角是，线段的对应线段是线段．
故答案为：点；点；或；；．
【举一反三3】如图，为等边三角形，是等边内部一点，经过逆时针旋转后到达的位置，则
（1）旋转中心是 ；
（2）旋转角的度数是 ；
（3）是 三角形．
【答案】（1）A
（2）
（3）等边
【解析】（1）根据题意，与重合，
旋转中心是点A，
故答案为：A；
（2）根据图形，旋转角是，
为等边三角形，
，
旋转角的度数是，
故答案为：；
（3）由旋转的性质可知，，
旋转角为，
，
是等边三角形，
故答案为：等边．
【举一反三4】阅读理解，并完成任务：
小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？
他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理：
①连接A、作线段的垂直平分线；
②连接，作线段的垂直平分线，与交于点.
则点为所求作的旋转中心.
推理过程如下：
∵是绕点旋转而成的,
∴（依据1）,
∴点在线段的垂直平分线上（依据2）,
同理可得，点在线段的垂直平分线上,
∴点为与的交点.
任务：
（1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
“依据1”：______________________________________________________.
“依据2”：______________________________________________________.
【答案】解：（1）如图所示：
（2）对应点到旋转中心的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【题型4】旋转中的规律性问题
【典型例题】如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=( )
A.2016+671 B.2016+672 C.2017+671 D.2017+672
【答案】B
【解析】∵AP1＝2，AP2＝2+，AP3＝3+，
∴AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），
而2016＝3×672，
∴AP2016＝672（3+）＝2016+672．
故选B．
【举一反三1】如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出，，，
，，，
，，，
观察得出三个为一组，
∵，
∴，
故选B.
【举一反三2】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，

∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选：C．
【举一反三3】如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出，，，
，，，
，，，
观察得出三个为一组，
∵，
∴，
故选B.
【举一反三4】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，

∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选：C．
【举一反三5】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【答案】（22017，-22017）
【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017）．
故答案为（22017，-22017）．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．
【答案】22020
【解析】∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为=，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10 6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【举一反三7】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【答案】（22017，-22017）
【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017）．
故答案为（22017，-22017）．
【题型5】利用旋转的性质计算
【典型例题】如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】如图，将绕点A顺时针旋转得到，此时，

∴，，，，
∴，，，共线，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
设：，则，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
故选：A．
【举一反三1】如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【举一反三2】如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ．
【答案】
【解析】作AD⊥AB交于，过点作轴于，
一次函数的图象分别交，轴于点，，
，，
，，
，，
,
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
把代入得，，
解得，
，
设直线为，
，
，
直线的函数表达式为．
故答案为：．
【举一反三4】如图，已知中，，，将绕点A时针旋转到的位置，连接，求的长．
【答案】解：如图所示，连接，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，，
∵绕点A时针旋转到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【题型6】利用旋转的性质证明
【典型例题】如图，若点是等边的边上一点，将绕点A时针旋转得到，连接，则下列结论：①；②；③，其中正确的个数有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】C
【解析】设交于点，

是等边三角形，
，
将绕点A顺时针旋转得到，
，，，
，，
是等边三角形，
，，②正确；
若，则，
，与点是边上任意一点不符，
不一定等于，①错误；
，
，
与不一定平行，③错误，
故选：C．
【举一反三1】如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点A顺时针旋转得到，则下列结论：①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵，，
∴， ，
由旋转性质可知，
∴，，，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
即，
∴，
在和中，
，
∴（），
，，
∴平分，故②正确；
在中，，
∵，，
∴，
当，时，，
解得，
∴,
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵平分,
∴,
∵,,
∴，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
设A到边距离为,则
，
∴，
∴，故④正确；
综上①②④正确，共个正确，
故选：C.
【举一反三2】如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由旋转可知，，
，
，即，
故A选项不符合题意；
由旋转可知，，
显然与不一定相等，即与不一定相等，
故B选项不符合题意，
由旋转可知，，
，
，
故C选项不符合题意；
，
是等边三角形，
，
则旋转的角度为，
，
，
，
由旋转可知，，
，
，
故D选项符合题意，
故选：D．
【举一反三3】如图，D为等边三角形ABC内部一点，连接，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②；③点D到的距离为3；④直线BD与直线相交所形成的锐角是，其中所有正确的结论有（ ）
A.3个 B.1个 C.2个 D.4个
【答案】A
【解析】如图：连接，延长交与H，
∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∵为等边三角形，
∴，
∴把逆时针旋转后，与重合，与重合，
∴可以由绕点A逆时针旋转得到，故①正确；
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴点D到的距离为3，故③正确；
∵，
∴，
∴，故④正确．
综上：①③④正确．
故选∶A．
【举一反三4】如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（ ）
A.①②③ B.①②③④ C.①②④ D.①③
【答案】A
【解析】∵是等边三角形，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，且，
∴，
∴结论①正确；
如图所示，连接，
根据结论①正确可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴结论②正确；
∴，
∵，
∴，且，，
∴，即是直角三角形，，
∴，
故结论③正确；
∵是等边三角形，，如图所示，作，
∴，，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
故结论④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
【举一反三5】如图，在等腰中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接．
(1)如图1，若点在上，求证：；
小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论．
请你按照小明的思路完成第（1）问；
(2)如图3，若点在的下方，求证：；
(3)如图4，若，，三点在一条直线上，求的长．
【答案】解：（1）∵，，
∴，
∵，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，则，
又∵为等腰直角三角形，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由旋转可知，，则，
∵，，
∴，，
又∵为等腰直角三角形，则，，
∴，
在与中，，
∴；
（3）由题意可知，当，，三点在一条直线上，，
作于，如图所示，
由（2）可知，，
，
，
．
，
．
为长方形，
，，
，
，
，
．
，
，，
．
．
设，则，
，
在中，，
．
．
【举一反三6】在中，，，直线经过点，且于，于，
(1)当直线绕点旋转到图（1）的位置时，显然有：；
(2)当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
(3)当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】解：（1）中，，
，
又直线经过点，且于，于，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）中，，直线经过点，且于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）如图3，
中，，直线经过点，且于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
、、之间的关系为．
【题型7】利用旋转的性质求最值
【典型例题】中，，，，将绕点A旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过A作于点，过点作于点，
∵将绕点A旋转得到，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵将绕点A旋转得到，
∴，
当点、A、共线时取“”，此时取得最大值：，
∴在旋转过程中，面积的最大值是：．
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作A关于直线的对称点，连接，过作于，
∴，共线，，
由旋转可得：，，
∴，
当三点共线时，最小，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值是；
故选B.
【举一反三2】如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（ ）
A. B.4 C. D.
【答案】B
【解析】如图，以OB为边作等边，连接O′P，
∴OB=O′B,
∵△PAB为等边三角形，
∴AB=BP,∠1+∠2==60°,
∴∠1=∠3，
在△OBA和中，
，
∴（SAS），
∴OA=O′P，
点A在以O为圆心，半径的1的圆上运动，P在以O′为圆心，半径为1的圆上运动，
当O,O′,P三点共线时，OP最大，
此时OP,
故选：B．
【举一反三3】如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点A在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（ ）
A.8 B.16 C. D.
【答案】A
【解析】连接，，
∵，，，
∴，，，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，分别为，，的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴面积的最大值.
故选：A．
【举一反三4】如图，已知点、，点在轴上运动．将绕A顺时针旋转45°得到，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】取点．在x轴的负半轴上取点F，使得，连接，过点B作于点G，
∵，，
∴，，，
又由旋转可知：，
∴，即，
∵，，,
∴，
，
又∵，
∴，
∴点D在直线上移动，直线即为过点F上升且于x轴夹角为45度的直线，
∴，
∵，、,
∴，
∵，即,
∴，
由垂线段最短可知，的最小值即为BG的长度，即，
故答案为：．
【举一反三5】在矩形中，，，，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，过点A作，截取，连接，，
将线段绕着点A顺时针旋转得到，
，，
，
．
又，
，
．
，，
．
在中，．
，，
．
，且当点，，三点共线时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
【举一反三6】如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图，连接．
∵M为边的中点，且为等腰直角三角形，
∴，．
在中，，
由勾股定理可知，即．
当A，B，M三点不共线时，由三角形的三边关系可知，
此时一定有；当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时，此时有，
∴，
即点B到点M的距离的最大值为．3.2图形的旋转
【题型1】判断生活中的旋转现象 4
【题型2】判断一个图形旋转后得到的图形 5
【题型3】旋转三要素及旋转中不变的辨析 7
【题型4】旋转中的规律性问题 9
【题型5】利用旋转的性质计算 12
【题型6】利用旋转的性质证明 13
【题型7】利用旋转的性质求最值 16
【知识点1】生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 1.（2024秋 诸暨市期末）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　） A．升国旗的过程B．摩天轮的转动C．汽车刹车时的滑动D．电梯的运行
2.（2024秋 扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个B．3个C．4个D．5个
【知识点2】旋转的性质 （1）旋转的性质：
______　　①对应点到旋转中心的距离相等．______　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．______　　③旋转前、后的图形全等．______（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．______　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 1.（2024秋 息县期末）如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，如果△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，则旋转角度是（　　） A．90°B．60°C．45°D．30°
2.（2025春 肃州区期中）如图，在△AOB中，AO=3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（　　） A．B．C．3D．5
【知识点3】旋转对称图形 （1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 1.（2024春 遂平县期末）下列说法正确的是（　　） A．正八边形和正方形的组合不能铺满地面B．五角星是旋转对称图形，绕着它的中心至少旋转36°能与自身重合C．三条线段长度分别为2cm,4cm,6cm,则这三条线段可以组成一个三角形D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
2.（2024 海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　） A．45B．60C．72D．144
【知识点4】坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1.（2024 普宁市校级三模）如图，在Rt△ABO中，AB=OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（1，-3）B．（-1，3）C．D．（3，1）
【知识点5】作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 【知识点6】利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 1.（2024秋 工业园区期末）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（　　） A．轴对称B．平移C．旋转D．轴对称，平移，旋转
【题型1】判断生活中的旋转现象
【典型例题】在以下几种生活现象中，不属于旋转的是(　　)
A.下雪时，雪花在天空中自由飘落
B.钟摆左右不停地摆动
C.时钟上秒针的转动
D.电风扇转动的扇叶
【举一反三1】下列现象属于旋转的是（ ）
A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.飞机起飞后冲向空中的时候
C.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
D.幸运大转盘转动的过程
【举一反三2】下列运动属于数学上的旋转的是（ ）
A.乘坐升降电梯
B.地球绕太阳转动
C.钟表上的时针运动
D.将等腰三角形沿着底边上的高对折
【举一反三3】我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号）
【举一反三4】运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
【举一反三5】你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？
【题型2】判断一个图形旋转后得到的图形
【典型例题】如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【举一反三2】神舟十三号载人飞船于北京时间10月16日0时23分发射成功．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，下列选项中是该标识经过旋转得到的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列各图中，可以看成由下面图形顺时针旋转90°而形成的图形的是( )
A.A B.B C.C D.D
【举一反三4】下列图形绕某点旋转后，不能与原来重合的是（旋转度数不超过180°）（ ）
A. B. C. D.
【题型3】旋转三要素及旋转中不变的辨析
【典型例题】在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，图形旋转多少度后能与自身重合（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：

（1）点的对应点是 ；
（2）旋转中心是 ，旋转角为 ；
（3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ．
【举一反三3】如图，为等边三角形，是等边内部一点，经过逆时针旋转后到达的位置，则
（1）旋转中心是 ；
（2）旋转角的度数是 ；
（3）是 三角形．
【举一反三4】阅读理解，并完成任务：
小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？
他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理：
①连接A、作线段的垂直平分线；
②连接，作线段的垂直平分线，与交于点.
则点为所求作的旋转中心.
推理过程如下：
∵是绕点旋转而成的,
∴（依据1）,
∴点在线段的垂直平分线上（依据2）,
同理可得，点在线段的垂直平分线上,
∴点为与的交点.
任务：
（1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
“依据1”：______________________________________________________.
“依据2”：______________________________________________________.
【题型4】旋转中的规律性问题
【典型例题】如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=( )
A.2016+671 B.2016+672 C.2017+671 D.2017+672
【举一反三1】如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

A. B. C. D.
【举一反三5】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．
【举一反三7】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【题型5】利用旋转的性质计算
【典型例题】如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.2
【举一反三1】如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ．
【举一反三4】如图，已知中，，，将绕点A时针旋转到的位置，连接，求的长．
【题型6】利用旋转的性质证明
【典型例题】如图，若点是等边的边上一点，将绕点A时针旋转得到，连接，则下列结论：①；②；③，其中正确的个数有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【举一反三1】如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点A顺时针旋转得到，则下列结论：①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，D为等边三角形ABC内部一点，连接，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②；③点D到的距离为3；④直线BD与直线相交所形成的锐角是，其中所有正确的结论有（ ）
A.3个 B.1个 C.2个 D.4个
【举一反三4】如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（ ）
A.①②③ B.①②③④ C.①②④ D.①③
【举一反三5】如图，在等腰中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接．
(1)如图1，若点在上，求证：；
小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论．
请你按照小明的思路完成第（1）问；
(2)如图3，若点在的下方，求证：；
(3)如图4，若，，三点在一条直线上，求的长．
【举一反三6】在中，，，直线经过点，且于，于，
(1)当直线绕点旋转到图（1）的位置时，显然有：；
(2)当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
(3)当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【题型7】利用旋转的性质求最值
【典型例题】中，，，，将绕点A旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（ ）
A. B.4 C. D.
【举一反三3】如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点A在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（ ）
A.8 B.16 C. D.
【举一反三4】如图，已知点、，点在轴上运动．将绕A顺时针旋转45°得到，则的最小值为 ．
【举一反三5】在矩形中，，，，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ．
【举一反三6】如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ．

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