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3.3垂径定理
【题型1】利用垂径定理求值 5
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 8
【题型3】垂径定理的推论 15
【题型4】垂径定理的实际应用 18
【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2025 福州校级模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=4，CD=1，则EC的长为（　　） A．B．C．D．4
【答案】B 【分析】连接BE，根据圆周角定理据可以得出∠ABE=90°，在△ACO中由垂径定理及勾股定理就可以求出AO的值，进而求出BE的值，根据勾股定理就可以求出CE的值． 【解答】解：连接BE，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°．
∵半径OD⊥弦AB，
∴∠ACO=90°，AC=AB．
∵AB=4，
∴AC=2．
设AO=x,则CO=x-1，在Rt△ACO中，由勾股定理，得
x2-（x-1）2=4，
解得：x=2.5，
∴AE=5．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE=3．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE=．
故选：B． 2.（2024秋 嵊州市期末）如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB=8，设OC=x,则x的取值范围是（　　） A．3≤x≤5B．3＜x≤5C．4≤x≤5D．4＜x≤5
【答案】A 【分析】当C与A或B重合时，OC最长，当OC垂直于AB时，OC最短，即可求出x的范围． 【解答】解：
当C与A（B）重合时，OC=x=5；
当OC垂直于AB时，可得出C为AB的中点，
在Rt△BOC中，OB=5，BC=AB=4，
根据勾股定理得：OC=x==3，
则x的范围为3≤x≤5．
故选：A． 【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2024秋 蓬江区期末）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m,半径为4m,则圆心O到弦MN所在直线的距离为（　　） A．4mB．5mC．mD．m
【答案】D 【分析】过点O作OC⊥MN于点C，根据垂径定理求出MC=MN=3m,再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥MN于点C，
∴MC=MN=3m,
在Rt△OCM中，OM=4m,
∴OC===（m），
即圆心O到弦MN所在直线的距离为m,
故选：D． 2.（2024秋 老河口市校级期末）如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB=80cm,则油的最大深度为（　　） A．32cmB．31cmC．9cmD．18cm
【答案】A 【分析】先连接OA，过点O作OC⊥AB，交⊙O于D，根据垂径定理，即可求得AC的值，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理，即可求得OC的值，继而求得油的最大深度． 【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于点C，并延长交⊙O于点D，连接OA，
依题意得CD就是油的最大深度，
根据垂径定理得：AC=AB=40cm,OA=41cm,
在Rt△OAC中，根据勾股定理得：OC===9（cm），
∴CD=OD-OC=41-9=32（cm），
故选：A．
【题型1】利用垂径定理求值
【典型例题】如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示:
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴
在中，由勾股定理得∶
，
即∶，
解得∶,
即截面的半径长是．
故选∶C．
【举一反三1】要测一个残损圆形轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点，交劣弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆心为O，连接．
在中，，
根据勾股定理得：，即：，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：A．
【举一反三2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．

【答案】
【解析】如图，连接，作于点E，则，，

∴
∴
大圆与小圆的面积之差为：
．
故答案为：．
【举一反三3】如图，线段与圆O交于点A，过P点的直线与圆O交于B，C两点，，若，，，求线段的长度．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∵,
∴，
∴,
∴．
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题
【典型例题】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A. B. C.8 D.10
【答案】B
【解析】作于，延长交于，连接，，设，
∵、是两条平行弦，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是，
故选：B．
【举一反三1】如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】如图所示，过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，则EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C选项正确,
【举一反三2】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5 cm，油面宽AB为6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8 cm，则油面AB上升了（ ）cm.
A.1 B.3 C.3或4 D.1或7
【答案】D
【解析】分两种情况求①如图1，宽度为8 cm的油面，作与的交点为,
由题意知，，,
在中，由勾股定理得,
在中，由勾股定理得,
∴,
②如图2，宽度为8 cm的油面，作与的交点为，连接,
由题意知，，,
在中，由勾股定理得,
在中，由勾股定理得,
∴,
∴油面AB上升到CD，上升了1 cm，油面AB上升到EF，上升了7 cm；
故选D．
【举一反三3】如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ．
【答案】
【解析】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
,
,
,
在中，
,
,
在中，
,
,
当圆心O在AB与CD之间时，
,
当圆心O不在AB与CD之间时，
,
即AB和CD之间的距离为，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，是直径，弦．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径.
【答案】解：（1）连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1，
点为所作；
（2）连接，如图2，
点为劣弧的中点，
，，
的面积为6，
，
解得，
设的半径，则，，
在中，，
解得，
即的半径为10．
【举一反三5】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
【答案】解：（1）如图，连接，

过点，为的中点，
．
（2）延长交于．

，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
【题型3】垂径定理的推论
【典型例题】下列命题正确的有（ ）
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条．
①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确；
②只满足其中的一个条件，所以不正确；
③不满足条件，所以不正确；
④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确．
故选：A．
【举一反三1】如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（　　）
A.9 B.8 C.6 D.4
【答案】B
【解析】∵CE＝2，DE＝8，
∴CD＝10，
∴OB＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∵直径CD过弦AB的中点E，
∴CD⊥AB，AE＝BE，
在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，
∴BE＝＝4，
∴AB＝2BE＝8．
故选：B．
【举一反三2】如图，为直径，交弦于点E，若E点为中点，则说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，
∵为直径，点为中点，
∴，
∴，，
∴，，
故选：D．
【举一反三3】如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

【答案】4
【解析】，
，
在中，，
，
．
故答案为：4．
【举一反三4】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．
【答案】解：设AB，CD交于点P,连接OP，
假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，
∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，
∴OP⊥AB，OP⊥CD，
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，
所以AB与CD不能互相平分,
【题型4】垂径定理的实际应用
【典型例题】如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，
则，，
∴，
∴，
即这些钢索中最长的一根为，
故选：A．
【举一反三1】一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点O做于点N，交于点M，
∵，
∴，
连接，，
∴，
∵，．
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故选：C．
【举一反三2】苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20 cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为 cm．
【答案】
【解析】如图，
连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，，
，，，，
设，则，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【举一反三3】一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
【答案】米
【解析】如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D，
点O为线段的中点，，
为圆O的直径，
宽为米，高为2米，
（米），
圆的半径（米），
，
点D为的中点，
点O为线段的中点，
是的中位线，
（米），
则改造后门洞的最大高度（米）；
故答案为：米．
【举一反三4】如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？
【答案】解：过点作于点，并延长交于点，如图，
则由题意得，
,
又，
，
在中，，
．
【举一反三5】河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为．
(1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；
(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．
【答案】解：（1）如图所示，作弦的垂直平分线，交弧于点 C，连接，作的垂直平分线，和的交点即是圆心O的位置；
（2）如图所示，连接．
由题意可知，，则，
设的半径为，则．
在中，，
解得，
所以的半径为．3.3垂径定理
【题型1】利用垂径定理求值 3
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 4
【题型3】垂径定理的推论 6
【题型4】垂径定理的实际应用 7
【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2025 福州校级模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=4，CD=1，则EC的长为（　　） A．B．C．D．4
2.（2024秋 嵊州市期末）如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB=8，设OC=x,则x的取值范围是（　　） A．3≤x≤5B．3＜x≤5C．4≤x≤5D．4＜x≤5
【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2024秋 蓬江区期末）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m,半径为4m,则圆心O到弦MN所在直线的距离为（　　） A．4mB．5mC．mD．m
2.（2024秋 老河口市校级期末）如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB=80cm,则油的最大深度为（　　） A．32cmB．31cmC．9cmD．18cm
【题型1】利用垂径定理求值
【典型例题】如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】要测一个残损圆形轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点，交劣弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．

【举一反三3】如图，线段与圆O交于点A，过P点的直线与圆O交于B，C两点，，若，，，求线段的长度．
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题
【典型例题】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A. B. C.8 D.10
【举一反三1】如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三2】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5 cm，油面宽AB为6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8 cm，则油面AB上升了（ ）cm.
A.1 B.3 C.3或4 D.1或7
【举一反三3】如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ．
【举一反三4】如图，在中，是直径，弦．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径.
【举一反三5】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
【题型3】垂径定理的推论
【典型例题】下列命题正确的有（ ）
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（　　）
A.9 B.8 C.6 D.4
【举一反三2】如图，为直径，交弦于点E，若E点为中点，则说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

【举一反三4】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．
【题型4】垂径定理的实际应用
【典型例题】如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20 cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为 cm．
【举一反三3】一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
【举一反三4】如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？
【举一反三5】河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为．
(1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；
(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．

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