资源简介

4.1比例线段
【题型1】判断一组数是否成比例 4
【题型2】根据比例性质求字母的值 6
【题型3】根据比例性质求字母比值 8
【题型4】根据比例性质判断比例式是否成立 9
【题型5】根据比例性质求值 11
【题型6】判断四条线段是不是比例线段 13
【题型7】比例尺的应用 15
【题型8】两个数的比例中项 16
【题型9】两条线段的比例中项线段 17
【题型10】黄金分割的定义 19
【题型11】根据黄金分割定义求线段的长 21
【题型12】根据黄金分割定义求线段的比值 22
【题型13】黄金分割应用 25
【知识点1】比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．
②合比性质．若=，则=．
③分比性质．若=，则=．
④合分比性质．若=，则=．
⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=． 1.（2025春 临淄区期末）已知，则的值是（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据比例的基本性质求出a=7b,再代入即可得到答案． 【解答】解：∵=，
∴3（a+b）=4（a-b），
∴a=7b,
∴==，
故选：A． 2.（2025 铁岭模拟）已知，则的值为（　　） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案． 【解答】解：∵，
故设x=2a,y=5a,
∴，
所以的值为，
故选：B． 【知识点2】比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 1.（2024秋 平江县校级期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=1，，，C．a=2，b=4，c=6，d=8D．a=2，，，
【答案】C 【分析】根据成比例线段的定义逐项分析即可． 【解答】解：A．∵，故选项A中的线段成比例，不符合题意；
B．∵，故选项B中的线段成比例，不符合题意；
C．∵，故选项C中的线段不成比例，符合题意；
D．∵，故选项D中的线段成比例，不符合题意；
故选：C． 【知识点3】黄金分割 （1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 1.（2024 楚雄市三模）自然常数e,圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值（所有近似值保留到小数点后一位）在（　　） A．2.8～3.0之间B．2.6～2.8之间C．2.4～2.6之间D．2.2～2.4之间
【答案】B 【分析】求一个数的算术平方根，根据代入运算即可． 【解答】解：∵，
∴，
∴2.6＜e＜2.8，
故选：B．
【题型1】判断一组数是否成比例
【典型例题】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4
【答案】C
【解析】A．因为1×4≠2×3，所以1，2，3，4不成比例，本选项不符合题意；
B．因为1×6≠4×4，所以1，4，4，6不成比例，本选项不符合题意；
C．因为33，，，，3成比例，本选项符合题意；
D．因为4≠2，，，2，4不成比例，本选项不符合题意.
故选：C．
【举一反三1】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.﹣2，﹣4，6，10 B.5，7，10，21 C.3，5，9，12 D.﹣6，﹣8，3，4
【答案】D
【解析】A．由﹣2×10≠6×（﹣4），得﹣2，﹣4，6，10不成比例，故A不符合题意；
B．由21×5≠10×7，得3，5，9，12不成比例，故B不符合题意；
C．由3×12≠5×9，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意；
D．由（﹣6）×4＝（﹣8）×3，得6，﹣8，3，4成比例，故D符合题意．
故选：D．
【举一反三2】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.7，5，14，5 B.6，8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12
【答案】B
【解析】A、因为7×5≠5×14，所以不能组成比例；
B、因为6×4＝8×3，所以能组成比例；
C、因为3×12≠5×9，所以不能组成比例；
D、因为2×12≠3×6，所以不能组成比例．
故选：B．
【举一反三3】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4
【答案】C
【解析】A．因为1×4≠2×3，所以1，2，3，4不成比例，本选项不符合题意；
B．因为1×6≠4×4，所以1，4，4，6不成比例，本选项不符合题意；
C．因为33，，，，3成比例，本选项符合题意；
D．因为4≠2，，，2，4不成比例，本选项不符合题意.
故选：C．
【举一反三4】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.7，5，14，5 B.6，8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12
【答案】B
【解析】A、因为7×5≠5×14，所以不能组成比例；
B、因为6×4＝8×3，所以能组成比例；
C、因为3×12≠5×9，所以不能组成比例；
D、因为2×12≠3×6，所以不能组成比例．
故选：B．
【举一反三5】判别下列各组数是否成比例．
（1）1，4，2，8；
（2）1，﹣2，﹣3，﹣6；
（3），，﹣2，2．
【答案】解：（1）由于4×2＝8×1，所以四条线段成比例.
（2）由于1×（﹣6）≠（﹣3）×（﹣2），所以四条线段不能成比例.
（3）由于﹣22，所以四条线段成比．
【举一反三6】判断下面各组数是否成比例．若成比例，则请写出一个比例式．
（1），，1，2；
（2），5，﹣2，10．
【答案】解：（1）从小到大排列，由于21，所以四条线段成比例，比例式为：1：2.
（2）从小到大排列，由于5（﹣2）＝10（），所以四条线段成比例，比例式为5：10（）：（﹣2）．
【题型2】根据比例性质求字母的值
【典型例题】若2：3＝7：x，则x＝（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.10.5
【答案】D
【解析】∵2：3＝7：x，∴2x＝3×7，∴x＝10.5．
故选：D．
【举一反三1】已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　）
A.1 B.2 C.﹣2或+1 D.﹣1或+2
【答案】D
【解析】当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，所以k1；
当a+b+c≠0时，所以k2，
综上所述，k的值为﹣1或2．
故选：D．
【举一反三2】若3：2＝4：x，则x的值是（　　）
A.2 B. C. D.3
【答案】B
【解析】∵3：2＝4：x，∴3x＝8，∴.
故选：B．
【举一反三3】若2：3＝7：x，则x＝（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.10.5
【答案】D
【解析】∵2：3＝7：x，∴2x＝3×7，∴x＝10.5．
故选：D．
【举一反三4】若a，b，c均为实数，且x，则x的值为（　　）
A.1 B. C.或1 D.或﹣1
【答案】D
【解析】∵x，
∴①当a+b+c≠0时，x；
②当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则x1．
故选：D．
【举一反三5】已知2x：6＝：1.5，求x的值．
【答案】解：∵2x：6＝：1.5，
∴2x×1.5＝6×1．
∴3x＝8．
∴x．
【举一反三6】解方程：若，且2a﹣b+3c＝26，求a，b，c的值.
【答案】解：设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵2a﹣b+3c＝26，∴2×2k﹣3k+3×4k＝26，即13k＝26，解得：k＝2，
∴a＝2k＝2×2＝4，b＝3k＝3×2＝6，c＝4k＝4×2＝8，
∴a的值为4，b的值为6，c的值为8.
【题型3】根据比例性质求字母比值
【典型例题】已知，则x：y＝（　　）
A.2：3 B.3：2 C.4：9 D.9：4
【答案】D
【解析】，
根据等式的性质，两边同乘6，可得4x＝9y，
两边同时除以4y，可得，
即x：y＝9：4．
故选：D．
【举一反三1】若，则的值为（　　）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】因为，所以1，所以，所以，
则的值为．
故选：C．
【举一反三2】已知5a＝2b，则a：b＝　　．
【答案】2：5
【解析】∵5a＝2b，∴a：b＝2：5．
【举一反三3】已知：2a＝3b．（a，b均不为0），求a：b的值.
【答案】解：∵2a＝3b，
∴a：b＝3：2.
【举一反三4】已知，求a：b．
【答案】解：∵，
∴2（a﹣b）＝a，
2a﹣2b＝a，
2a﹣a＝2b，
a＝2b，
∴a：b＝2：1．
【题型4】根据比例性质判断比例式是否成立
【典型例题】如果a＝10cm，b＝0.2m，c＝30mm，d＝6cm，那么下列比例式子成立的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵a＝10cm，b＝0.2m＝20cm，c＝30mm＝3cm，d＝6cm，∴10×6＝20×3，∴ad＝bc，
A、∵，∴ac＝bd，故A不符合题意；
B、∵，∴ab＝cd，故B不符合题意；
C、∵，∴ad＝bc，故C符合题意；
D、∵，∴ac＝bd，故D不符合题意.
故选：C．
【举一反三1】如果6m＝7n（n≠0），那么下列比例式成立的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、∵，∴mn＝42，故A不符合题意；
B、∵，∴6m＝7n，故B符合题意；
C、∵，∴7m＝6n，故C不符合题意；
D、∵，∴7m＝6n，故D不符合题意.
故选：B．
【举一反三2】在括号里填上合适的数，使比例式成立．
①3：18＝　　：27；
②6.3：　　＝5：9；
③　　：3：；
④45：7.5＝　　：．
【答案】①4.5；②11.34；③；④4
【解析】①27×3÷18＝4.5，3：18＝4.5：27；
②6.3×9÷5＝11.34，6.3：11.34＝5：9；
③3，： 3：；
④457.5＝4，45：7.5＝4：．
【举一反三3】已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由．
（1）；
（2）．
【答案】解：设，∴a＝bk，c＝dk，
（1）成立，理由如下：
∴，，
∴.
（2）不成立，理由如下：
∵，
∴不成立．
【题型5】根据比例性质求值
【典型例题】若，则的值等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，∴．
故选：C．
【举一反三1】已知，则的值为（　　）
A. B.1 C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴ab，cb，∴．
故选：A．
【举一反三2】若，则　　．
【答案】
【解析】∵，∴2a＝3b，∴ab，则．
【举一反三3】如果2x＝3y，那么　　．
【答案】
【解析】∵2x＝3y，∴x＝1.5y，∴．
【举一反三4】已知，且a+2b﹣c＝12，求3a﹣b+c的值．
【答案】解：设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k．
代入a+2b﹣c＝12，得3k+8k﹣5k＝12，解得：a＝6，b＝8，c＝10．
∴3a﹣b+c＝3×6﹣8+10＝20．
【举一反三5】求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
【答案】解：（1）∵，∴设b＝2k，a＝3k，
∴.
（2）设k，∴a＝2k，b＝4k，c＝5k，
∵a+b+c＝22，∴2k+4k+5k＝22，解得：k＝2，
∴a＝4，b＝8，c＝10，∴3a﹣b+2c＝12﹣8+20＝4+20＝24．
【题型6】判断四条线段是不是比例线段
【典型例题】下列各组线段中，成比例的是（　　）
A.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cm
B.1cm，2cm，3cm，4cm
C.2cm，3cm，1.5cm，1cm
D.cm，cm，cm，cm
【答案】C
【解析】A、∵1.5×6.5≠2.5×4.5，故此选项不符合题意；
B、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；
C、∵1×3＝2×1.5，故此选项符合题意；
D、∵，故此选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】下列各组四条线段成比例的是（　　）
A.0.1cm、0.2cm、0.3cm、0.4cm
B.10cm、5cm、20cm、15cm
C.4cm、2cm、3cm、2cm
D.1cm、2cm、4cm、8cm
【答案】D
【解析】根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
A、0.1×0.4≠0.2×0.3，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B、5×20≠10×15，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C、2×4≠2×3，所以四条线段不成比例，故C选项不符合题意；
D、1×8＝2×4，所以四条线段成比例，故D选项符合题意．
故选：D．
【举一反三2】判断下列线段是否成比例，若是，请写出比例式．
（1）a＝1.1cm，b＝2.2cm，c＝3.3cm，d＝5.5cm，　 　；
（2）a＝3m，b＝5m，c＝4.5cm，d＝7.5cm，　 　；
（3）a＝7cm，b＝4cm，c＝d＝2cm，　 　．
【答案】（1）不成比例；
（2）成比例，a：b＝c：d；
（3）成比例，a：c＝d：b
【解析】（1）从小到大排列，由于1.1×5.5≠2.2×3.3，所以四条线段不成比例；
（2）从小到大排列，由于3×7.5＝4.5×5，所以四条线段成比例，比例式为a：b＝c：d；
（3）从小到大排列，由于224×7，所以四条线段成比例，比例式为a：c＝d：b.
【举一反三3】判断下列长度的各组线段是否是成比例线段：
（1）2厘米，3厘米，4厘米，5厘米；
（2）1.5厘米，2.5厘米，3厘米，5厘米；
（3）1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米；
（4）1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
【答案】解：（1）从小到大排列，由于2×5≠4×3，所以四条线段不成比例.
（2）从小到大排列，由于1.5×5＝2.5×3，所以四条线段成比例.
（3）从小到大排列，由于1.1×4.4≠2.2×3.3，所以四条线段不成比例.
（4）从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以四条线段成比例．
【题型7】比例尺的应用
【典型例题】已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是(　　)
A. 2∶5 B. 1∶2500 C. 250000∶1 D. 1∶250000
【答案】D
【解析】∵5千米＝500000厘米，∴比例尺＝2∶500000＝1∶250000.
故选：D.
【举一反三1】 两地的实际距离是2 000 m，在地图上量得这两地的距离为2 cm，这幅地图的比例尺是(　　)
A. 1∶1 000000 B. 1∶1 00000 C. 1∶2 000 D. 1∶1 000
【答案】B
【解析】2000 m＝200000 cm，所以这幅地图的比例尺为2∶200000＝1∶1 00000.
故选：B.
【举一反三2】在比例尺为1：20000的宜宾交通游览图上，宜宾长江大桥长约7cm，它的实际长度约为（　　）
A.140km B.14km C.1.4km D.0.14km
【答案】C
【解析】根据题意得：7140000（cm），140000cm＝1.4km．
故选：C．
【举一反三3】A市建设规划图上，城区南北长约240cm，而A市城区南北实际长18km，规划图采用的比例尺是　　．
【答案】1：7500
【解析】∵18km＝1800000cm，∴规划图采用的比例尺是：．
【举一反三4】在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？
【答案】解：10×3000000＝30000000（厘米），
30000000厘米＝300千米，
设甲车的速度是3x千米/时，则乙车的速度是2x千米/时，根据题意得2（2x+3x）＝300，
解得x＝30，
2x＝2×30＝60，
3x＝3×30＝90．
答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时．
【题型8】两个数的比例中项
【典型例题】已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（　　）
A.±6 B.6 C.4 D.±3
【答案】A
【解析】根据比例中项的概念得：c2＝ab＝2×18，即c2＝36，∴c＝±6．
故选：A．
【举一反三1】数2和8的比例中项是（　　）
A.16 B.8 C.±4 D.4
【答案】C
【解析】设2和8的比例中项是x，则：x2＝2×8，解得x＝±4.
故选：C．
【举一反三2】若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是（　　）
A.x2＝ab B. C. D.ab
【答案】D
【解析】∵线段x是线段b，a的比例中项，∴x2＝ba，故A正确，
∴，，故B、C正确.
故选：D．
【举一反三3】若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中项，则b：c等于（　　）
A.1：3 B.1：2 C.2：3 D.2：1
【答案】B
【解析】∵b是a，c的比例中项，∴，
∵a：b＝1：2，∴，即b：c＝1：2.
故选：B．
【举一反三4】如果8是x和9的比例中项，那么x＝　　．
【答案】
【解析】∵8是x和9的比例中项，
∴9x＝8×8，
9x＝64，
x．
【举一反三5】线段和的比例中项是 　　．
【答案】1
【解析】设比例中项是x，∴x21，∴x＝1或﹣1（舍去）．
【举一反三6】b是9和4的比例中项，则b＝　　．
【答案】±6
【解析】∵b是9和4的比例中项，∴b2＝36，∴b1＝6，b2＝﹣6，∴b＝±6.
【题型9】两条线段的比例中项线段
【典型例题】如果线段a＝32cm，b＝8cm，那么a和b的比例中项是（　　）
A.20cm B.18cm C.16cm D.14cm
【答案】C
【解析】设a和b的比例中项是c，那么c2＝32×8，解得c＝±16（线段是正数，负值舍去）．
故选：C．
【举一反三1】已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（　　）
A.2cm B.4cm C.12cm D.±2cm
【答案】A
【解析】设线段c是a、b的比例中项，
∵线段a＝2cm，b＝6cm，∴c2＝ab＝2×6＝12，∴c＝2，c＝﹣2（舍去）．
故选：A．
【举一反三2】若线段a＝1，b＝4，则a和b的比例中项线段等于（　　）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】B
【解析】设a和b的比例中项为x，则有x2＝ab＝4，
∵x＞0，∴x＝2．
故选：B．
【举一反三3】由比例线段的基本性质可得：如果，那么 　　，这时b称为比例中项．
【答案】b2＝ac
【解析】如果，那么b2＝ac，这时b称为比例中项.
【举一反三4】求下列各组线段a，b的比例中项线段．
（1）a，b＝3；
（2）a，b．
【答案】解：（1）∵a，b＝3，∴c2，∴c＝±3（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项c是3.
（2）∵a，b，∴c2，∴c＝±（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项c是．
【举一反三5】已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42．若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
【答案】解：∵c是a：b的比例中项，∴c2＝ab＝216，
∵c是线段，c＞0，∴c6．
【题型10】黄金分割的定义
【典型例题】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（　　）
A.AB2＝AC CB B.CB2＝AC AB C.AC2＝BC AB D.AC2＝2BC AB
【答案】C
【解析】根据线段黄金分割的定义得：AC2＝BC AB．
故选：C．
【举一反三1】如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　）
A.黄金分割 B.平移 C.旋转 D.轴对称
【答案】A
【解析】若AC，BC，AB各部分长度的比满足，则点C为线段AB的黄金分割点，这体现了数学中的黄金分割．
故选：A．
【举一反三2】神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（　　）
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
【答案】D
【解析】∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为0.618，
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割.
故选：D．
【举一反三3】下列关于线段AB的黄金分割的说法中，正确的有　　.
①线段AB的黄金分割点有2个；
②若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB；
③若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB.
【答案】①②③
【解析】①线段AB的黄金分割点有2个，说法正确；
②如图1，若C是线段AB的黄金分割点，则此时AC等于AB，说法正确；
③如图2，若C是线段AB的黄金分割点，则此时BC等于AB，AC等于AB，说法正确．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．
【答案】解：点E是线段AB的黄金分割点．
证明：连接EC，
∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，
又∵AE＝BC，∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠BEC＝∠ACB，又∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB，∴，即BC2＝BE AB，
又∵AE＝BC，∴AE2＝BE AB，即点E是线段AB的黄金分割点．
【题型11】根据黄金分割定义求线段的长
【典型例题】已知P是线段AB的黄金分割点，且AB1，则AP的长为（　　）
A.2 B.1 C.2或1 D.3
【答案】C
【解析】点P是线段AB的黄金分割点，
当AP＞BP时，APAB（1）＝2，
当AP＜BP时，AP＝（1）﹣21.
故选：C．
【举一反三1】若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　）
A.cm B.2（1）cm C.4（1）cm D.6（1）cm
【答案】C
【解析】根据黄金分割点的概念得：ACAB＝4（1）cm．
故选：C．
【举一反三2】已知P为线段AB的黄金分割点，PA＜PB，PA＝3，则AB＝　　．
【答案】2
【解析】∵P为线段AB的黄金分割点，PA＜PB，∴PA是较短线段，且PAAB，
又PA＝3，∴AB＝2．
【举一反三3】把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为 　　cm．
【答案】（66）
【解析】∵把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，∴较长线段的长为12＝（66）cm．
【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＝55，且AC＞BC，求线段AB与BC的长．
【答案】解：设AB＝x，则55x，解得：x＝10，即AB＝10，
则BC＝AB﹣AC＝10﹣（55）＝15﹣5．
【题型12】根据黄金分割定义求线段的比值
【典型例题】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴，
∴，
∴1
1
.
故选：C．
【举一反三1】点B把线段AC分成两部分，如果k，那么k的值为（　　）
A. B. C.1 D.1
【答案】B
【解析】∵点B把线段AC分成两部分，k，
∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，∴k.
故选：B．
【举一反三2】按照如下步骤进行作图：如图，已知线段AB，过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．则的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设BD＝DE＝a，∵BDAB，∴AB＝2BD＝2a，
∵BD⊥AB，∴∠DBA＝90°，∴ADa，
∴AE＝AD﹣DEa﹣a＝（1）a，
∵AC＝AE，∴AC＝（1）a，∴.
故选：B．
【举一反三3】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴，
∴，
∴1
1
.
故选：C．
【举一反三4】点B把线段AC分成两部分，如果k，那么k的值为（　　）
A. B. C.1 D.1
【答案】B
【解析】∵点B把线段AC分成两部分，k，
∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，∴k.
故选：B．
【题型13】黄金分割应用
【典型例题】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为（精确到1cm）（　　）
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
【答案】C
【解析】设她应穿的高跟鞋的高度为x cm，根据题意得，解得x≈6（cm），
则她应穿的高跟鞋的高度大约6cm.
故选：C．
【举一反三1】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　）
A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米
【答案】D
【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴0.618，
∵b为2米，∴a约为1.24米．
故选：D．
【举一反三2】电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长20m，试计算主持人应走到离A至少多少米处是比较得体的位置？（A在B左边，主持人在A处）（　　）
A.7.64m B.12.3m C.13.4m D.6m
【答案】A
【解析】∵线段AB长是20米，P是线段AB的黄金分割点，∴BPAB＝1010，
∴AP＝20﹣（1010）＝30﹣1030﹣10×2.236＝30﹣22.36＝7.64（m）．
故选：A．
【举一反三3】作为节目主持人，小明站在舞台线段AB的黄金分割点C处得体大方．如图，若舞台AB长为20米，且AC＞CB，则AC＝　　米．（参考数据：，结果精确到0.1米）
【答案】12.4
【解析】∵点C是AB的黄金分割点，舞台AB长为20米，且AC＞CB，∴0.618，
∴AC≈0.618AB＝12.36≈12.4（米）.
【举一反三4】如图所示，要设计一座1m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部（腰以上）AB与下部（腰以下）BC的高度比，等于下部与全部（全身）AB的高度比，雕塑的下部应设计为多高？
【答案】解：设雕塑的下部应设计为x m，则根据题意得：，解得：x＝m．
答：雕塑的下部应设计为m．4.1比例线段
【题型1】判断一组数是否成比例 3
【题型2】根据比例性质求字母的值 4
【题型3】根据比例性质求字母比值 4
【题型4】根据比例性质判断比例式是否成立 5
【题型5】根据比例性质求值 5
【题型6】判断四条线段是不是比例线段 6
【题型7】比例尺的应用 7
【题型8】两个数的比例中项 7
【题型9】两条线段的比例中项线段 8
【题型10】黄金分割的定义 8
【题型11】根据黄金分割定义求线段的长 10
【题型12】根据黄金分割定义求线段的比值 10
【题型13】黄金分割应用 11
【知识点1】比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．
②合比性质．若=，则=．
③分比性质．若=，则=．
④合分比性质．若=，则=．
⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=． 1.（2025春 临淄区期末）已知，则的值是（　　） A．B．C．D．
2.（2025 铁岭模拟）已知，则的值为（　　） A．B．C．D．
【知识点2】比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 1.（2024秋 平江县校级期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=1，，，C．a=2，b=4，c=6，d=8D．a=2，，，
【知识点3】黄金分割 （1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 1.（2024 楚雄市三模）自然常数e,圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值（所有近似值保留到小数点后一位）在（　　） A．2.8～3.0之间B．2.6～2.8之间C．2.4～2.6之间D．2.2～2.4之间
【题型1】判断一组数是否成比例
【典型例题】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4
【举一反三1】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.﹣2，﹣4，6，10 B.5，7，10，21 C.3，5，9，12 D.﹣6，﹣8，3，4
【举一反三2】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.7，5，14，5 B.6，8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12
【举一反三3】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4
【举一反三4】下列各组数中，成比例的是（　　）
A.7，5，14，5 B.6，8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12
【举一反三5】判别下列各组数是否成比例．
（1）1，4，2，8；
（2）1，﹣2，﹣3，﹣6；
（3），，﹣2，2．
【举一反三6】判断下面各组数是否成比例．若成比例，则请写出一个比例式．
（1），，1，2；
（2），5，﹣2，10．
【题型2】根据比例性质求字母的值
【典型例题】若2：3＝7：x，则x＝（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.10.5
【举一反三1】已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　）
A.1 B.2 C.﹣2或+1 D.﹣1或+2
【举一反三2】若3：2＝4：x，则x的值是（　　）
A.2 B. C. D.3
【举一反三3】若2：3＝7：x，则x＝（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.10.5
【举一反三4】若a，b，c均为实数，且x，则x的值为（　　）
A.1 B. C.或1 D.或﹣1
【举一反三5】已知2x：6＝：1.5，求x的值．
【举一反三6】解方程：若，且2a﹣b+3c＝26，求a，b，c的值.
【题型3】根据比例性质求字母比值
【典型例题】已知，则x：y＝（　　）
A.2：3 B.3：2 C.4：9 D.9：4
【举一反三1】若，则的值为（　　）
A. B. C. D.2
【举一反三2】已知5a＝2b，则a：b＝　　．
【举一反三3】已知：2a＝3b．（a，b均不为0），求a：b的值.
【举一反三4】已知，求a：b．
【题型4】根据比例性质判断比例式是否成立
【典型例题】如果a＝10cm，b＝0.2m，c＝30mm，d＝6cm，那么下列比例式子成立的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如果6m＝7n（n≠0），那么下列比例式成立的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】在括号里填上合适的数，使比例式成立．
①3：18＝　　：27；
②6.3：　　＝5：9；
③　　：3：；
④45：7.5＝　　：．
【举一反三3】已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由．
（1）；
（2）．
【题型5】根据比例性质求值
【典型例题】若，则的值等于（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知，则的值为（　　）
A. B.1 C. D.
【举一反三2】若，则　　．
【举一反三3】如果2x＝3y，那么　　．
【举一反三4】已知，且a+2b﹣c＝12，求3a﹣b+c的值．
【举一反三5】求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
【题型6】判断四条线段是不是比例线段
【典型例题】下列各组线段中，成比例的是（　　）
A.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cm
B.1cm，2cm，3cm，4cm
C.2cm，3cm，1.5cm，1cm
D.cm，cm，cm，cm
【举一反三1】下列各组四条线段成比例的是（　　）
A.0.1cm、0.2cm、0.3cm、0.4cm
B.10cm、5cm、20cm、15cm
C.4cm、2cm、3cm、2cm
D.1cm、2cm、4cm、8cm
【举一反三2】判断下列线段是否成比例，若是，请写出比例式．
（1）a＝1.1cm，b＝2.2cm，c＝3.3cm，d＝5.5cm，　 　；
（2）a＝3m，b＝5m，c＝4.5cm，d＝7.5cm，　 　；
（3）a＝7cm，b＝4cm，c＝d＝2cm，　 　．
【举一反三3】判断下列长度的各组线段是否是成比例线段：
（1）2厘米，3厘米，4厘米，5厘米；
（2）1.5厘米，2.5厘米，3厘米，5厘米；
（3）1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米；
（4）1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
【题型7】比例尺的应用
【典型例题】已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是(　　)
A. 2∶5 B. 1∶2500 C. 250000∶1 D. 1∶250000
【举一反三1】 两地的实际距离是2 000 m，在地图上量得这两地的距离为2 cm，这幅地图的比例尺是(　　)
A. 1∶1 000000 B. 1∶1 00000 C. 1∶2 000 D. 1∶1 000
【举一反三2】在比例尺为1：20000的宜宾交通游览图上，宜宾长江大桥长约7cm，它的实际长度约为（　　）
A.140km B.14km C.1.4km D.0.14km
【举一反三3】A市建设规划图上，城区南北长约240cm，而A市城区南北实际长18km，规划图采用的比例尺是　　．
【举一反三4】在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？
【题型8】两个数的比例中项
【典型例题】已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（　　）
A.±6 B.6 C.4 D.±3
【举一反三1】数2和8的比例中项是（　　）
A.16 B.8 C.±4 D.4
【举一反三2】若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是（　　）
A.x2＝ab B. C. D.ab
【举一反三3】若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中项，则b：c等于（　　）
A.1：3 B.1：2 C.2：3 D.2：1
【举一反三4】如果8是x和9的比例中项，那么x＝　　．
【举一反三5】线段和的比例中项是 　　．
【举一反三6】b是9和4的比例中项，则b＝　　．
【题型9】两条线段的比例中项线段
【典型例题】如果线段a＝32cm，b＝8cm，那么a和b的比例中项是（　　）
A.20cm B.18cm C.16cm D.14cm
【举一反三1】已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（　　）
A.2cm B.4cm C.12cm D.±2cm
【举一反三2】若线段a＝1，b＝4，则a和b的比例中项线段等于（　　）
A.1 B.2 C.4 D.8
【举一反三3】由比例线段的基本性质可得：如果，那么 　　，这时b称为比例中项．
【举一反三4】求下列各组线段a，b的比例中项线段．
（1）a，b＝3；
（2）a，b．
【举一反三5】已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42．若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
【题型10】黄金分割的定义
【典型例题】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（　　）
A.AB2＝AC CB B.CB2＝AC AB C.AC2＝BC AB D.AC2＝2BC AB
【举一反三1】如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　）
A.黄金分割 B.平移 C.旋转 D.轴对称
【举一反三2】神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（　　）
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
【举一反三3】下列关于线段AB的黄金分割的说法中，正确的有　　.
①线段AB的黄金分割点有2个；
②若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB；
③若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB.
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．
【题型11】根据黄金分割定义求线段的长
【典型例题】已知P是线段AB的黄金分割点，且AB1，则AP的长为（　　）
A.2 B.1 C.2或1 D.3
【举一反三1】若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　）
A.cm B.2（1）cm C.4（1）cm D.6（1）cm
【举一反三2】已知P为线段AB的黄金分割点，PA＜PB，PA＝3，则AB＝　　．
【举一反三3】把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为 　　cm．
【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＝55，且AC＞BC，求线段AB与BC的长．
【题型12】根据黄金分割定义求线段的比值
【典型例题】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】点B把线段AC分成两部分，如果k，那么k的值为（　　）
A. B. C.1 D.1
【举一反三2】按照如下步骤进行作图：如图，已知线段AB，过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．则的值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】点B把线段AC分成两部分，如果k，那么k的值为（　　）
A. B. C.1 D.1
【题型13】黄金分割应用
【典型例题】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为（精确到1cm）（　　）
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
【举一反三1】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　）
A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米
【举一反三2】电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长20m，试计算主持人应走到离A至少多少米处是比较得体的位置？（A在B左边，主持人在A处）（　　）
A.7.64m B.12.3m C.13.4m D.6m
【举一反三3】作为节目主持人，小明站在舞台线段AB的黄金分割点C处得体大方．如图，若舞台AB长为20米，且AC＞CB，则AC＝　　米．（参考数据：，结果精确到0.1米）
【举一反三4】如图所示，要设计一座1m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部（腰以上）AB与下部（腰以下）BC的高度比，等于下部与全部（全身）AB的高度比，雕塑的下部应设计为多高？

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