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4.5相似三角形的性质及其应用
【题型1】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 3
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 4
【题型3】相似三角形的面积之比等于相似比的平方 6
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比 7
【题型5】三角形的重心 9
【题型6】相似三角形性质的应用 10
【题型7】相似三角形判定与性质的综合 13
【题型8】相似三角形中的动点问题 16
【知识点1】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1.（2024秋 凤翔区期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6m,则AB的长为（　　） A．30mB．24mC．18mD．12m
【答案】B 【分析】先由EF∥AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解． 【解答】解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴==，
∴AB=4EF=24m,
故选：B． 【知识点2】作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
【题型1】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是(　　)
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1∶4，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1∶4.
故选：B.
【举一反三1】如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的一组对应边上的中线之比是(　　)
A. 9∶16 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶3
【答案】C
【解析】∵两个相似三角形对应边的比为3∶4，∴它们的对应中线的比是3∶4.
故选：C.
【举一反三2】如果两个相似三角形相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是(　　)
A. 1∶4 B. 1∶8 C. 1∶16 D. 1∶2
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形的相似比是1∶4，∴它们对应的角平分线之比是1∶4.
故选：A.
【举一反三3】如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是________．
【答案】4∶9
【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，∴它们的相似比为4∶9，∴它们的周长比为4∶9.
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：A′B′边上的中线C′D′的长.
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，=，AB边上的中线CD＝4cm，∴＝，
∴C′D′＝4cm×2＝8cm，∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm.
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形的周长比为1∶5，那么这两个三角形的相似比为(　　)
A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶8 D. 1∶16
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形的周长比为1∶5，∴这两个三角形的相似比为1∶5.
故选：B.
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值(　　)
A. 只有一个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 无数个
【答案】B
【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，
∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或7，∴x的值可以有2个．
故选：B.
【举一反三2】两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是(　　)
A. 75 cm，115 cm B. 60 cm，100 cm C. 85 cm，125 cm D. 45 cm，85 cm
【答案】A
【解析】根据题意，两个三角形的相似比是15∶23，周长比就是15∶23，大小周长相差8份，
所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm.
故选：A.
【举一反三3】如图，△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝2，若△DEF的周长为8，则△ABC的周长为__________．
【答案】12
【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝DE：AB＝2：3，
∵△DEF的周长为8，∴△ABC的周长为12.
【举一反三4】两三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27cm，则较小三角形的周长为__________．
【答案】9 cm
【解析】令较大的三角形的周长为x cm，小三角形的周长为(x－27) cm，
由两个相似三角形对应中线的比为1∶4，得1∶4＝(x－27)∶x，解之得x＝36，x－27＝36－27＝9 cm.
【举一反三5】△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度．
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C，它们的周长分别为60 cm和72 cm，∴两三角形相似之比为：60：72＝5：6，
∵AB＝15 cm，∴＝，∴A′B′＝18（cm），
∵B′C′＝24 cm，∴A′C′＝72﹣18﹣24＝30（cm），∴＝＝，
解得：BC＝20（cm），AC＝25（cm），
答：BC、AC、A′B′、A′C′的长度分别为：20 cm，25 cm，18 cm，30 cm．
【举一反三6】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：△A′B′C′的周长.
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，=，△ABC的周长为20cm，
∴＝，∴C△A′B′C′＝20×2＝40(cm)，∴△A′B′C′的周长为40cm.
【题型3】相似三角形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，且周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于(　　)
A. 1.5 cm2 B. 3 cm2 C. 12 cm2 D. 24 cm2
【答案】D
【解析】∵△ABC与△A′B′C′的周长比为2∶1，△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为4∶1，
又△A′B′C′的面积为6，∴△ABC的面积＝24.
故选：D.
【举一反三1】若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是(　　)
A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4
【答案】D
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′面积比是1∶4.
故选：D.
【举一反三2】△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，则△DEF的最短边为__________，△DEF的面积为__________．
【答案】4 54
【解析】设△DEF的最短边为x，∵△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，
∴＝，解得x＝4.
∵62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝×6×8＝24.
∵＝＝，解得△DEF的面积＝54.
【举一反三3】已知△ABC的三边长之比是3∶4∶5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为____________．
【答案】13.5
【解析】根据勾股定理逆定理，△DEF与△ABC均为直角三角形，设△DEF三边分别为3x，4x，5x，
则3x＋4x＋5x＝18，x＝32三边长分别为92，6，152，所以S△DEF＝12×6×92＝13.5.
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：△ABC的面积．
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，=，△A′B′C′的面积是64 cm2，
∴＝＝，
∴S△ABC＝64÷4＝16(cm2)，
∴△ABC的面积是16 cm2．
【举一反三5】如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2.
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求Rt△DEF的周长与面积．
【答案】解：（1）由相似变换可得DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3.
（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF∶S△ABC＝4∶9，
∵Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，∴△DEF的周长为8 cm，S△DEF＝83 cm2.
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比
【典型例题】若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　　)
A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9
【答案】A
【解析】∵△ABC～△DEF，相似比为3∶2，∴对应高的比为3∶2.
故选：A.
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为(　　)
A. 1∶3 B. 1∶9 C. 1∶18 D. 1∶81
【答案】B
【解析】∵△ABC与△DEF的周长之比为1∶9，∴两三角形的相似比为1∶9，
∴△ABC与△DEF对应的高的比1∶9.
故选：B.
【举一反三2】已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为56 cm，则较小的三角形的周长为__________．
【答案】24 cm
【解析】∵相似三角形对应高的比为3∶10，∴相似三角形的相似比为3∶10，∴相似三角形周长的比为3∶10，
设较小的三角形的周长为3x，则较大的三角形的周长为10x，由题意，得10x－3x＝56，解得x＝8，则3x＝24 cm．
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为__________．
【答案】4∶1
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4∶1.
【举一反三4】如图，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分别是这两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，与相等吗？为什么？
【答案】解：与相等．理由如下：
∵△ABC∽△A′B′C′，∴=，
∵EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，∴＝'＝，∴＝，∴＝，
∵AD、A′D′分别是这两个三角形的高，∴＝，∴＝.
【题型5】三角形的重心
【典型例题】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（　　）
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在三角形的三条中线的交点处．
故选：C．
【举一反三1】有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（　　）
A.三角形三条中线的交点处
B.三角形三条角平分线的交点处
C.三角形三条高线的交点处
D.三角形三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【解析】三角形的重心是三角形三条中线的交点处.
故选：A．
【举一反三2】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（　　）
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在三角形的三条中线的交点处．
故选：C．
【举一反三3】有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（　　）
A.三角形三条中线的交点处
B.三角形三条角平分线的交点处
C.三角形三条高线的交点处
D.三角形三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【解析】三角形的重心是三角形三条中线的交点处.
故选：A．
【题型6】相似三角形性质的应用
【典型例题】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（　　）
A.2.5m B.3m C.4.5m D.5m
【答案】B
【解析】由题意可知，AE＝9m＝900cm，
∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEF，∴，即，
解得：EF＝300cm＝3m，即树高EF是3m.
故选：B．
【举一反三1】约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是3cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A.2cm B.2.5cm C.4cm D.4.5cm
【答案】A
【解析】设蜡烛火焰的高度是x cm，由相似三角形性质得到，解得x＝2．
即蜡烛火焰的高度是2cm．
故选：A．
【举一反三2】在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5cm，若杠杆AC的长度为120cm，其中BC段的长度为20cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压 　　cm．
【答案】25
【解析】如图，过点B作水平线MN，过点A作AM⊥MN于点M，过点C作CN⊥MN于点N，
∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵∠ABM＝∠CBN，∴△ABM∽△CBN，∴，
∵AC：BC＝120：20＝6：1，AB：BC＝5：1，∴AM：CN＝5，
∵CN＝5cm，∴AM＝25cm，∴要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压25cm.
【举一反三3】如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，该宣传栏后DE处共有 　　棵树．（不计宣传栏的厚度）．
【答案】26
【解析】如图，设AF的延长线交DE于点G，
∵BC∥ED，AF⊥BC，∴△ABC∽△ADE，AG⊥DE，∴，
又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米，∴AG＝AF+FG＝15米，∴，∴DE＝50（米），
∵50÷2＝25，∴25+1＝26，即DE处共有26棵树.
【举一反三4】小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m，求旗杆的高度．
【答案】解：如图，CD＝2m，BD＝21m，
∵，∴DE＝1.5CD＝3，
∵，∴AB16（m）．
答：旗杆的高度为16m．
【题型7】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF＝AD，连接BC、BF．若＝，则的值为（　　）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】∵点E为线段AB中点，AD＝DF，∴DE为△ABF的中位线，∴ED＝BF．
∵∠DAE＝∠BCE（同弦的圆周角相等），∠AED＝∠CEB，∴△AED∽△CEB，∴＝，
又∵＝，ED＝BF，∴＝．
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BD＝2AD，则下列结论中正确的是（　　）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．
∵BD＝2AD，∴＝，＝，＝．
故选：D．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　 　．
【答案】3
【解析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．
【举一反三3】如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8．
（1）求证：△EOB∽△ABC；
（2）求反比例函数的解析式．
【答案】解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点，∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，
又∠EOB＝∠ABC＝90°，∴△EOB∽△ABC.
（2）∵△EOB∽△ABC，∴＝，
∵△BCE的面积为8，∴BC OE＝8，
∵＝，∴BC OE＝16，∴AB OB ＝BC OE，∴k＝AB BO＝BC OE＝16，
则反比例函数的解析式为：y＝．
【举一反三4】如图，在 ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝　　，说明理由；
（3）当＝　 　时，四边形BCEF是菱形，说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EF∥BC．
∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝1．
理由如下：当四边形BCEF是正方形时，BF＝BC＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°．
∴AF＝＝＝3．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4．∴DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
∴当四边形BCEF是正方形时，DF＝1．
（3）当＝时，四边形BCEF是菱形．
理由如下：当四边形BCEF是菱形时，BF＝BC＝4．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB．
∴＝，即＝＝．
∴当＝时，四边形BCEF是菱形．
【题型8】相似三角形中的动点问题
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，，即，解得，x，
当△PAE∽△CBP时，，即，解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（　　）
A.只有甲同学正确 B.乙和丙同学都正确 C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确
【答案】D
【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，甲同学正确；
∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，∴△ABD≌△DCE，∴BD＝CE，乙同学正确；
当DE⊥AC时，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∴BD＝CD，D为BC的中点，丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确．
故选：D．
【举一反三2】如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（　　）
A. B. C.3或5 D.或
【答案】C
【解析】设AE＝x，则EB＝8﹣x，
根据勾股定理可得，DE，
EC．
若格点△DAE与△EBC相似，分两种情况：
①如果△DAE∽△EBC，那么，即，解得x1＝2，x2＝6．
当x＝2时，DE，EC2，∴DE+EC23；
当x＝6时，DE3，EC2，∴DE+EC＝325；
②如果△DAE∽△CBE，那么，即，解得x．
当x时，DE，EC，
∴DE+EC（不合题意舍去）．
综上所述，DE+EC的长为3或5．
故选：C．
【举一反三3】如图，有一正方形ABCD，边长为4，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，BF的值为　　　．
【答案】或
【解析】依题意可得：，
设BF＝x，则有；
当△ABF∽△FDE时，如图1，由，得，解得；
②当△ABF∽△EDF时，如图2，由，得，解得；
综上所述，BF的值为或．
【举一反三4】△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，点D为边BC上一动点，过点D的直线与△ABC的两条边相交，将△ABC分割成一个与△ABC相似的三角形和一个四边形，若这样的直线有三条，则BD的取值范围是 　　．
【答案】0＜BD或2BD＜3
【解析】如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
∵AB＝AC＝3，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，BC＝3，
∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠EDB＝∠C＝30°，∠FDC＝∠B＝30°，
∴∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC，∴△BDE，△DFC是等腰三角形，
在AB上取一点T，使得DB＝DT，当点T与A重合时，BD＝DT，
观察图象可知当0＜BD时，满足条件，
根据对称性当点D靠近点C，2BD＜3时，也满足条件，
综上所述，0＜BD或2BD＜3．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．则AP＝2x cm，BQ＝4x cm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝（8﹣2x）cm，
①BP与BC边是对应边，则，即，解得x＝0.8，
②BP与AB边是对应边，则，即，解得x＝2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．4.5相似三角形的性质及其应用
【题型1】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 2
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 3
【题型3】相似三角形的面积之比等于相似比的平方 4
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比 4
【题型5】三角形的重心 5
【题型6】相似三角形性质的应用 6
【题型7】相似三角形判定与性质的综合 7
【题型8】相似三角形中的动点问题 9
【知识点1】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1.（2024秋 凤翔区期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6m,则AB的长为（　　） A．30mB．24mC．18mD．12m
【知识点2】作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
【题型1】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是(　　)
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
【举一反三1】如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的一组对应边上的中线之比是(　　)
A. 9∶16 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶3
【举一反三2】如果两个相似三角形相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是(　　)
A. 1∶4 B. 1∶8 C. 1∶16 D. 1∶2
【举一反三3】如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是________．
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：A′B′边上的中线C′D′的长.
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形的周长比为1∶5，那么这两个三角形的相似比为(　　)
A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶8 D. 1∶16
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值(　　)
A. 只有一个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 无数个
【举一反三2】两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是(　　)
A. 75 cm，115 cm B. 60 cm，100 cm C. 85 cm，125 cm D. 45 cm，85 cm
【举一反三3】如图，△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝2，若△DEF的周长为8，则△ABC的周长为__________．
【举一反三4】两三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27cm，则较小三角形的周长为__________．
【举一反三5】△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度．
【举一反三6】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：△A′B′C′的周长.
【题型3】相似三角形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，且周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于(　　)
A. 1.5 cm2 B. 3 cm2 C. 12 cm2 D. 24 cm2
【举一反三1】若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是(　　)
A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4
【举一反三2】△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，则△DEF的最短边为__________，△DEF的面积为__________．
【举一反三3】已知△ABC的三边长之比是3∶4∶5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为____________．
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：△ABC的面积．
【举一反三5】如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2.
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求Rt△DEF的周长与面积．
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比
【典型例题】若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　　)
A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为(　　)
A. 1∶3 B. 1∶9 C. 1∶18 D. 1∶81
【举一反三2】已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为56 cm，则较小的三角形的周长为__________．
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为__________．
【举一反三4】如图，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分别是这两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，与相等吗？为什么？
【题型5】三角形的重心
【典型例题】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（　　）
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
【举一反三1】有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（　　）
A.三角形三条中线的交点处
B.三角形三条角平分线的交点处
C.三角形三条高线的交点处
D.三角形三条边的垂直平分线的交点处
【举一反三2】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（　　）
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
【举一反三3】有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（　　）
A.三角形三条中线的交点处
B.三角形三条角平分线的交点处
C.三角形三条高线的交点处
D.三角形三条边的垂直平分线的交点处
【题型6】相似三角形性质的应用
【典型例题】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（　　）
A.2.5m B.3m C.4.5m D.5m
【举一反三1】约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是3cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A.2cm B.2.5cm C.4cm D.4.5cm
【举一反三2】在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5cm，若杠杆AC的长度为120cm，其中BC段的长度为20cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压 　　cm．
【举一反三3】如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，该宣传栏后DE处共有 　　棵树．（不计宣传栏的厚度）．
【举一反三4】小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m，求旗杆的高度．
【题型7】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF＝AD，连接BC、BF．若＝，则的值为（　　）
A. B. C. 1 D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BD＝2AD，则下列结论中正确的是（　　）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　 　．
【举一反三3】如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8．
（1）求证：△EOB∽△ABC；
（2）求反比例函数的解析式．
【举一反三4】如图，在 ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝　　，说明理由；
（3）当＝　 　时，四边形BCEF是菱形，说明理由．
【题型8】相似三角形中的动点问题
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（　　）
A.只有甲同学正确 B.乙和丙同学都正确 C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确
【举一反三2】如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（　　）
A. B. C.3或5 D.或
【举一反三3】如图，有一正方形ABCD，边长为4，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，BF的值为　　　．
【举一反三4】△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，点D为边BC上一动点，过点D的直线与△ABC的两条边相交，将△ABC分割成一个与△ABC相似的三角形和一个四边形，若这样的直线有三条，则BD的取值范围是 　　．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？

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