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2025-2026学年重庆市万州二中教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程式属于一元二次方程的是（　　）
A. x3+x-3=0 B. x2+=2 C. x2+2xy=1 D. x2=2
2.下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　）
A. a=3，b=6，c=2，d=4 B.
C. a=2，b=4，c=6，d=8 D.
3.估计的值应在（　　）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
4.有下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④两个正方形一定是相似图形.其中正确的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.已知xy＞0，化简二次根式的正确结果（　　）
A. B. C. D.
6.若a为方程2x2+x-4=0的解，则6a2+3a-9的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. -4 D. -9
7.如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，可列方程为（　　）
A. x2+20×15-2x=252 B. 20×15-2x=252
C. （20-x）（15-2x）=252 D. （20-2x）（15-x）=252
8.下列图形都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有5个基本图形，第②个图形中一共有8个基本图形，第③个图形中一共有11个基本图形，第④个图形中一共有14个基本图形，…，按此规律排列，则第⑧个图形中基本图形的个数为（　　）
A. 23 B. 24 C. 26 D. 29
9.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，已知AD=6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF=2，则S△AEF=（　　）
A. 6
B. 12
C. 15
D. 30
10.在多项式a+b-m-n-e中，除首尾项a、-e外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”.每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项.“闪减操作”只针对多项式a+b-m-n-e进行.例如：+b“闪减操作”为|a|-|-m-n-e|，-m与-n同时“闪减操作”为|a+b|-|-e|，...，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有12种不同的结果；
③若可以闪退的三项+b,-m,-n满足：（|+b|+|+b+2|）（|-m+1|+|-m+4|）（|-n+1|+|-n-6|）=42，则2b+m+n的最小值为-9.其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：= .
12.若式子有意义，则实数x的取值范围是______.
13.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连结EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=12，则线段CM的长为 .
14.若关于x的一元二次方程（a-6）x2+4x+1=0有两个实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则满足条件的整数a的和为 .
15.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，=，则AE的长为______．
16.若一个四位正整数M满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为 .交换M的千位和十位数字得到的新数记为M′，去掉M′的十位和个位数字剩下的两位数记为A，去掉M′的千位和百位数字剩下的两位数记为B，若A与B的差为一个两位数且为完全平方数，M除以7余数为1，则满足条件的M的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）计算：；
（2）解方程x2+2x-1=-2.
18.(本小题8分)
在学行四边形后，小红进行了拓展性研究.她发现，如果在平行四边形一边上取一点，与对边顶点构成一个三角形，则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半.她的解决思路是：将该三角形分割后，转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据她的思路完成下面的作图与填空：
用直尺和圆规，在线段BC上求作一点F，使得∠ABE=∠BEF.（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，E是线段AD上一点，连接BE，CE.
求证：.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴①______.
又∵∠ABE=∠BEF，BE=EB，
∴△ABE≌△FEB（ASA），
∴②______.
同理可得10S△CEF=S△ECD，
∴S△BCE=S△BEF+③______=
小红再进一步研究发现，平行四边形任意一边所在直线上一点，与对边构成的三角形均有此特征.请你依照题意完成下面命题：
平行四边形任意一边所在直线上一点与对边构成的三角形，④______.
19.(本小题10分)
某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：90＜x≤100，B：80＜x≤90，C：70＜x≤80，D：x≤70），下面给出了部分信息：抽取的对甲款机器人的评分数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85；
抽取的对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.
对甲款机器人的满意度评分扇形统计图
对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表
机器人 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 a 88 69.8
乙 86 85.5 b 96.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______
（2）根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，1000人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？
20.(本小题10分)
阅读下面的例题与解答过程：
例.解方程：x2-|x|-2=0
解：当x≥0时，原方程可化为x2-x-2=0，解得x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程可化为x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2（不合题意，舍去）；
∴原方程的解是x1=2，x2=-2.
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值.这是解决数学问题的一种重要思想---分类讨论.请仿照上述例题的解答过程，解下列方程：
（1）x2-2|x|=0；
（2）x2-2x-4|x-1|-4=0.
21.(本小题10分)
如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF=6，AD=10，AE=8.
（1）求AC的长；
（2）当DE∥BC时，求AB的长.
22.(本小题10分)
万州商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台A型充电器的售价比每台B型充电器售价少40元，商家用1200元购入A型充电器的数量与用1440元购入B型充电器的数量相等.
（1）每台A型充电器与每台B型充电器的售价分别为多少元？
（2）每台B型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型充电器100台.国庆前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台B型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，若商家要想每月销售B型充电器的利润达到10000元，则每台B型充电器应降价多少元？
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D为AB的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线C→D→A方向匀速运动，至点A处停止.设点P运动时间为x秒（0＜x＜10），△ABC的面积与△PBC的面积之比为y1，△ACQ的面积为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，直线OC：y=-2x与直线AB交于点C，已知OA=2，OB=2OA.
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P为直线OC上一动点且位于点C的左侧，M、Q为y轴上两个动点，且MQ=2，当S△PCB=6时，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，已知动点H在直线AB上，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的横坐标，若不存在，请说明理由.
25.(本小题10分)
在等边△ABC中，点D为线段AC上一动点，连接BD，F为直线BA上一动点.
（1）如图1，当点D为AC中点时，DM⊥AB于点M，若AF=6，BC=8，AM=2，求DF的长；
（2）如图2，若点F为BA延长线上一点，且AF=CD，∠EBD=60°.求证：BE=BD+EF；
（3）如图3，在（1）的条件下，G为线段BD上一点，连接FG，将线段FG绕点F逆时针旋转60°得到线段FH，连接HG.当AH+HD的值最小时，请直接写出△DGC的面积.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】4+
12.【答案】x≥1且x≠2
13.【答案】15
14.【答案】27
15.【答案】1
16.【答案】1010
5195

17.【答案】7；
x1=x2=-1
18.【答案】∠AEB=∠FBE S△ABE=S△FEB S△ABE 则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半
19.【答案】86.5，85，20；
甲款机器人的满意度更好，理由：
∵两款机器人的平均数相等，但甲款机器人的中位数和众数更高，且方差更小，
∴甲款机器人的评分分布更集中，整体满意度更好；
估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有500人
20.【答案】x1=0，x2=2，x3=-2；
x2=6，x3=-4
21.【答案】；

22.【答案】A型号充电器的售价为200元，则B型号充电器的售价为240元；
每台B型充电器应降价50元
23.【答案】解：（1）如图1，
作CE⊥AB于E，作AF⊥CD，
∵∠ABC=∠AEC=90°，
∴sinB=，
∴，
∴CE=，
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD==5，
∵S△ACD=，
∴AF=CE=，
∴，
∴=（0＜x＜10），
当0＜x≤5时，
∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AD=，
∵S△ACD=，
∴AF=CE=，
∴y2=CF AF=，
当5＜x＜10时，
=，
∴；
（2）如图，
答案不唯一，例如：函数y2最大值=12；
（3）当时，
x=≈2.0或x=-（舍去），
当得，
x=≈9.6或x=（舍去），
∴当2.0＜x＜9.6时，y1＜y2．
24.【答案】直线AB的解析式为y=2x+4；
PQ+QM+MA最小值为；
在平面直角坐标系中存在点N，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为菱形；N点横坐标为或或或或
25.【答案】；
如图2，△ABC是等边三角形，在BE上截取BH=BD，连接AH，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC，
∴∠2+∠3=60°，∠5=∠BAC=60°，
∵∠EBD=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∴∠1=∠2，
在△ABH和△CBD中，
，
∴△ABH≌△CBD（SAS），
∴AH=CD，∠4=∠C=60°，
∴∠6=180°-∠4-∠5=60°，
∴∠6=∠5，
∵AF=CD，
∴AH=AF，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EH=EF，
∵BE=BH+HE，
∴BE=BD+EF；
S△DGC=
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