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2025-2026学年湖北省蕲春县实验高级中学高二上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线3 + 2 1 = 0的一个方向向量是( )
A. (2, 3) B. (2,3) C. ( 3,2) D. (3,2)
2.设 , ∈ , = (1,1,1), = (1, , ), = ( , 4,2)，且 ⊥ , // ，则 + + =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
3.同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用 表示白色骰子的点数， 表示红色骰子的点数，设事件
=“ + = 6”，事件 =“ 为偶数”，事件 =“ > 3”，则下列结论正确的是( )
5
A. 与 对立 B. ( ) = C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
12
4.已知直线 1: = 和 2: 2 + 1 = 0的交点为 ，则点 到直线 = + 1的距离的取值范围是( )
1 1
A. (0,1) B. (0,1] C. [0,1) D. [0, ) ∪ ( , 1)
2 2
5.若直线 : 4 = 0与圆 : 2 + 2 = 4相离，则点 ( , )( )
A. 在圆 外 B. 在圆 内
C. 在圆 上 D. 与圆 的位置关系不确定
6.如图，在三棱锥 中，∠ = 90 ，∠ = ∠ = 60 ， = = = 2，点 ， ， 满
足 = ， = 2 ， = ，则直线 与 所成的角余弦值为( )
√ 3 √ 2 1
A. B. C. D. 0
2 2 2
1
7.小刚参与一种答题游戏，需要解答 ， ， 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为 ， ， ，且各题
2
1
答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为 ，则他三道题都答错的概率为( )
4
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 6
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8.过点(2√ 2, 0)作直线 与曲线 = √ 4 2相交于 ， 两点， 为坐标原点，当 的面积取最大值
时，直线 的斜率为( )
√ 3 √ 3
A. ± B. ±√ 3 C. D. √ 3
3 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间三点 (1,3,2)， (0,2,4)， (3,4,5)，则下列说法正确的是( )
A.
1 1
= 3 B. 在 方向上的投影向量为( , , 1)
2 2
5√ 2 5√ 3
C. 点 到直线 的距离为 D. 的面积为
2 2
10.(多选)在正方体 中， = 2， 1 1 1 1 = + 1 ( , ∈ [0,1])，则( )
A. 若 + = 1，则点 的轨迹为线段 1
1
B. 若 = ，则点 的轨迹为连接棱 的中点和棱 1 1中点的线段 2
C. 若 = ，则三棱锥 1 1的体积为定值
1 √ 2
D. 若 = ，则 与平面 所成角的余弦值的最大值为
2 3
11.已知圆 : ( 1)2 + ( 1)2 = 4，直线 : + + 2 3 = 0，则下列说法正确的是( )
A. 直线 过定点( 2,3)
12
B. 当 = 时，直线 与圆 相切
5
√ 34
C. 当 = 1时，过直线 上一点 向圆 作切线，切点为 ，则| ｜的最小值为
2
12
D. 若圆 上只有一个点到直线 的距离为1，则 =
5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 , 是相互独立事件，且 ( ) = 0.4, ( ) = 0.3，则 ( ∪ ) = ．
13.已知点 在圆 : ( )2 + 2 = 2( > 0)上，点 (0,2)，若| |的最小值为1，则过点 且与圆 相切的
直线方程为 ．
14.正方体 1 1 1 1的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 1 1 的边界及其内部运
动，若 1 ⊥ ，则线段 1 长度的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ 的顶点 (2,1)，边 的中线 所在直线方程为 + 1 = 0，边 的高 所在直线方程为
2 + 2 = 0．
(1)求点 的坐标；
(2)若入射光线经过点 (2,1)，被直线 反射，反射光线过点 (4,2)，求反射光线所在的直线方程．
16.(本小题15分)
在如图所示的几何体 中，平面 是边长为2的正方形， ⊥平面 ， // ，且 =
2 = 2， 为 的中点， 为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比
1
赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为 ， ， ，( < )，各项目的
2
3 4
比赛结果相互独立，甲得0分的概率是 ，甲得6分的概率是
50 25
(1)求 ， 的值；
(2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大 并说明理由．
18.(本小题17分)
3 2 9
已知以点 为圆心的圆( )2 + ( ) = 2 + 2 ( > 0)与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 为坐标原
点. ( ， 与 不重合)
(1)求证： 的面积为定值;
(2)设直线3 + 3 = 0与圆 交于点 ， ，若| | = | |，求实数 的值；
(3)在(2)的条件下，设 ， 分别是直线 : + + 4 = 0和圆 上的动点，求| | + | |的最小值及此时点
的坐标．
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19.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中， ⊥ , // , ⊥ ， = 2 , = = = 2, = =
3, 为线段 上一动点．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)已知 , , , 四点均在球 的球面上．
( )证明： , , 三点共线；
4√ 85
( )若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度．
85
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
29
12.0.58##
50
13. = 0或7 + 24 48 = 0
4√ 5 4
14. ## √ 5
5 5
15.解：(1)由题意可设点 (2 2, )，
+1
因为 (2,1)，则 的中点( , )在直线 + 1 = 0上，
2
+1
可得 + 1 = 0，解得 = 1，
2
所以点 的坐标为 ( 4, 1)．
(2)设 (2,1)关于直线 + 1 = 0的对称点为 ′( , )，
1
= 1 = 0
则{ 2 ，解得{ ，即 ′(0,3)
+2 +1
+ 1 = 0 = 3
2 2
2 4
所以反射光线所在的直线方程为 = ，可得 + 4 12 = 0．
3 2 0 4
16.解：(1)
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如图所示，取 中点 ，连接 , ，因为 是 中点，
1
所以 // , = ，
2
又因为 // ，且 = 2 = 2，
所以 // , = ，
所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， , 平面 ，
所以 ⊥ , ⊥ ，
又因为平面 是边长为2的正方形，所以 ⊥ ，
所以 , , 两两垂直，
故以点 为坐标原点， , , 分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ⊥ , // ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，

所以平面 的一个法向量可以是 1 = = (0,1,0)，
| |
设平面 的法向量为 2 = ( , , )
由题意 (1,0,0), (1,2,1), (0,0,1)，则 = (1,0, 1), = (1,2,0)，
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2 = = 0所以{ ，令 = 1，解得 = = 2，故可取 2 = (2, 1,2)，
2 = + 2 = 0
| | 1 1
所以平面 与平面 夹角的余弦值为|cos 1 ,
1 2
2 | = = = ． | 1 | | 2 | √ 4+1+4 3
1 3 3
(1 )(1 ) = 1 ( + ) + = 6
17.解：(1)由题意可得{2 50，即{ 25，则 + = ．
1 4 8 5
= =
2 25 25
6 2
+ = = ,
又 < ，故{ 5，解得{ 5
8 4
= = .
25 5
1 2 4 1
(2)由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率 1 = × × (1 ) + ×2 5 5 2
2 4 1 2 4 11
(1 ) × + (1 ) × × = ，
5 5 2 5 5 25
11 4 3
所以甲得4分或6分的概率 = + = ．
25 25 5
2
故乙得4分或6分的概率为 ，
5
3 2
因为 > ，所以甲获得最终胜利的可能性大．
5 5
3 2 9 6
18.解：(1)由圆 的方程( )2 + ( ) = 2 + 2 ( > 0)，化简得
2 2 + 2 = 0，

6
其与 轴， 轴的交点分别为： (2 , 0), (0, )，

1 6
所以 = |2 | | | = 6为定值． 2
(2)如图①所示，因为| | = | |，所以 ⊥ ．
3 3
又 的斜率 = 2，所以( 2) × ( 3) = 1，解得 = 3(负数舍去)，
(3)如图②所示，由②知：圆 的方程为：( 3)2 + ( 1)2 = 10，圆心 (3,1)，半径 = √ 10, (0,2)．
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设点 关于直线 + + 4 = 0的对称点为 ′( , )，
2
2+ ( 1) = 1, = 6,
则 ′中点为( , )，且{ 解得{ ，即 ′( 6, 4)，
2 2 2+ + + 4 = 0, = 4,
2 2
则| | + | | = | ′| + | | ≥ | ′ |，
又点 ′到圆上点 的最短距离为| ′ | = √ (3 + 6)2 + (1 + 4)2 √ 10 = √ 106 √ 10，
则| | + | |的最小值为√ 106 √ 10，
1+4
此时直线 ′ 的方程为： 1 = ( 3)，即5 9 6 = 0．
3+6
15
5 9 6 = 0, = , 15 13
点 为直线 ′ 与直线 的交点，则{ 解得{ 7 即点 ( , )
+ + 4 = 0, 13 7 7 = ,
7
19.解：(1)因为 = 2 ， ⊥ ，所以 = 1， 2 = 2 + 2 = 5，
于是有 2 + 2 = 2，故 ⊥ ，
由 ⊥ , ∩ = , 平面 , 平面 ，可知 ⊥平面 ，
由 平面 可知 ⊥ ，
由 ⊥ , ∩ = , 平面 , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)( )方法一：建系法：以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，
的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0), (0,2,0), (2,2,0), (0,0,2), (0,0,1)．
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设 ( 0, 0, 0)，则由| | = | | = | | = | |，
即 20 +
2 + 20 0 =
2
0 + ( 0 2)
2 + 20 = ( 2)
2
0 + ( 0 2)
2 + 2 2 20 = 0 + 0 + ( 0 1)
2,
1
解得 0 = 0 = 1, 0 = ， 2
1
于是 (1,1, ) , = (2,2, 1),
1 1
= (1,1, ) = ，
2 2 2
故由 ∩ = 可知 , , 三点共线．
方法二：几何法：不妨记 为 中点， 为 中点，显然有 ⊥ ，
而由 ⊥ , // 知 ⊥ ，
由 ∩ = , 平面 , 平面 知 ⊥平面 ．
由 ⊥ 可知 = = ，易知有且仅有直线 上任一点到 , , 的距离相等，故 ∈ ，
同理 ⊥ 可知过点 且垂直于平面 的直线 上任一点到 , , 的距离相等，
故 ∈ ,由 ∩ = 知点 即为点 ，于是 , , 三点共线．
( )以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，
的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，不妨设 (2, , 0), ∈ [ 1,2]，
则 = (0,2, 2),
1
= (2, 3,0), = (1, 1, )，
2
记平面 的法向量 = ( , , )，
= 0 = 0则{ ，即{ ，可取 = (3,2,2)，
= 0 2 3 = 0
记直线 与平面 所成角为 ，
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4√ 85 | | |3 + 2 2 1| 4| |
sin = = = = ,
85 | | | | √ 1 32 + 22 + 22√ 1 + ( 1 2 + √ 2)
4 √ 17 4 8 + 9
即 2 + 8 9 = 0，解得 = 1或 = 9(舍去)，故 = + 1 = 2．
第 10 页，共 10 页

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