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2025-2026学年河南省洛阳市新安县职业高级中学综合部高二上学期
10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若| | = | |，则 , 的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量 ， 满足| | > | |，则 >
D. 相等向量其方向必相同
2.已知直线的方程是 + 2 = 1，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为( )
A. ( 1,2)， 1 B. (2, 1)， 1 C. ( 1, 2)， 1 D. ( 2, 1)，1
3.若平面 与 的法向量分别是 = (1,0, 2)， = ( 1,0,2)，则平面 与 的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 无法判断
4.如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 是正三角形， = 2，平面 ⊥平面
，则 与 所成角的余弦值为( )
1 √ 2 1 √ 3
A. B. C. D.
4 4 3 3
5.经过两点 (0, 3), ( √ 3, 0)的直线的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6.不论 为何实数，直线(2 1) ( + 3) ( 11) = 0恒通过一个定点，这个定点的坐标是( )
1
A. (5,2) B. (2,3) C. (5,9) D. ( , 3)
2
7.已知非零向量 ， 不共线，若 1 2 = 1 + , 2 = 2 1 + 8 2 , = 3 1 3 2，则 ， ， ， 四点
( )
A. 一定共圆 B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面 D. 一定不共面
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8.已知 (1, 1,2)， 2(3,1,0)、 3(0,1,3)，则向量 与 1 2 1 3的夹角是( )
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( 2, , 1)， = (0, 2, 1)，若 = 2，则 的值为( )
A. 4 B. 3 C. 0 D. 1
10.如图，已知 1 1 1 1为正方体， ， 分别是 ， 1 的中点，则( )
2 2
A. ( ) = 0 B. ( + + 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = 6
C. 向量 1 与向量 1的夹角是60° D. 异面直线 与 1所成的角为45°
11.如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2 ， , , 分别是棱 1， 1 1， 1的中点，则( )
A. ⊥
B. ⊥平面
C. 直线 与 1 是异面直线
D. 直线 与平面 的交点是 的外心
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.斜率为3的直线 过点(1,1)，( , 2)，则 = ．
13.过点( 1,2)且与直线3 + 2 + 4 = 0垂直的直线方程为 ．
14.已知空间向量 = (1,0,1), = (1,1, )，且 = 3，则 = ，向量 与 的夹角为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间三点 ( 4,0,4)， ( 2,2,4)， ( 3,2,3).设 = ， = ．
(1)求| |，| |；
(2)求 与 的夹角；
(3)若向量 + 与 2 互相垂直，求实数 的值．
16.(本小题15分)
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如图，在平行六面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，记 = ， = ， 1 1 1 1 1 1 1 =
π π
，满足∠ 1 = ∠ 1 = ，∠ = ，| | = | | = 2，| 1| = 3． 3 2
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)计算 ．
17.(本小题15分)
已知 中， ( 1,2)， (2,1)， (0,4)
(1)求 边所在的直线方程；
(2)若点 满足| | = | |，求点 的轨迹方程．
(3)求 的面积．
18.(本小题17分)

在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为1的正方形，∠ 1 = ∠ 1 = ， 1 = √ 26． 3
(1)求侧棱 1的长；
→ →
(2) ， 分别为 1 1， 1 1的中点，求 1 及两异面直线 1和 的夹角．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥底面 ， = 2， = = √ 2， 为 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13.2 3 + 8 = 0
14.2

； /30
6
15.【详解】(1)解：因为 ( 4,0,4)， ( 2,2,4)，所以 = = (2,2,0)，
所以| | = √ 22 + 22 + 02 = 2√ 2；
因为 ( 2,2,4)， ( 3,2,3)，所以 = = ( 1,0, 1)，
所以| | = √ ( 1)2 + 02 + ( 1)2 = √ 2；
2×( 1)+2×0+0×( 1) 1
(2)解：由(1)可知cos , = = = ，
| | | | 2√ 2×√ 2 2
2
又 , ∈ [0, ]，所以 , = ，
3
2
即 与 的夹角为 ．
3
(3)解：由(1)可知 + = (2 1,2 , 1)， 2 = (2 + 2,2 , 2)，
又向量 + 与 2 互相垂直，
所以( + ) ( 2 ) = 0，所以(2 1,2 , 1) (2 + 2,2 , 2) = 0，
1±√ 33
即(2 1)(2 + 2) + 4 2 2 = 0，解得 = ．
8
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16.【详解】(1) = + +
1 1 1 1
1 1 = + 1 = + ； 2 2 2 2
1 1 1 1
(2) = ( + 1 ) = + 2 2 2 1 2
1 π π 1 2
= | || |cos + | || |cos | 1 | = 0 + 3 2 = 1． 2 2 3 2
17.【详解】(1)解：因为 (2,1)， (0,4)，
1 4 1
所以 边所在的直线方程为 = ，
2 0 2
即为3 + 2 8 = 0；
(2)设点 ( , )，
则| | = √ ( 2)2 + ( 1)2, | | = √ 2 + ( 4)2，
因为| | = | |，
则√ ( 2)2 + ( 1)2 = √ 2 + ( 4)2，
所以4 6 + 11 = 0，
即点 的轨迹方程为4 6 + 11 = 0；
(3)解：| | = √ 22 + (1 4)2 = √ 13，
| 1×3+2×2 8| 7
点 到 边所在的直线的距离 = = ，
2 √ 13√ 3 +22
1 1 7 7
所以 的面积为 | | = × √ 13 × = ．
2 2 √ 13 2
18.【详解】(1)设侧棱 1 = ，
∵在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为1的正方形，且∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
→ → → 2 → →
∴ 2

= 2 = 1， 2 1 = ， = 0， 1 = ， 1 = ， 2 2
又∵ 1 = + + 1，
2 → → → 2
∴ = ( + + )2 = 2 + 21 1 + 1 + 2 + 2 + 2 1 1 = 26，
∴ 2 + 2 24 = 0，∵ > 0，∴ = 4，
即侧棱 1 = 4．
→ 1 → 1
(2) ∵ 1 = + + ， = = ( 1 )， 2 2
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→ → 1 1 → → → → →
∴ = ( ) ( + + ) = ( 2 2
1
1 1 + 1 1) = (1 1 + 2 2 2 2
2) = 0，
∴两异面直线 1和 的夹角为90°．
19.【详解】(1)因为 ⊥平面 ，四边形 为矩形，
以点 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (0,0, √ 2)， (2, √ 2, 0)， (1, √ 2, 0)， (2,0,0)，
则 = (2, √ 2, √ 2)， = ( 1, √ 2, 0)，
所以 = 2 + 2 + 0 = 0，所以 ⊥ ，所以 ⊥ ．
(2)因为 = ( 1, √ 2, 0)， = ( 2,0, √ 2)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + √ 2 = 0
则{ ，令 = √ 2，得 = 1， = 2，取 = (√ 2, 1,2)．
= 2 + √ 2 = 0
→
又平面 的一个法向量 = (0,0,1)，
| | 2 2√ 7
所以|cos < , >| = = = ，
| | | | √ 7 7
2√ 7
因此，平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
7
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