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2025-2026学年广东省鹤山市第一中学高二上学期第一阶段考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线3 + √ 3 + 1 = 0的倾斜角是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.点(0, 1)到直线3 4 + 1 = 0的距离为( )
2 3 4
A. B. C. D. 1
5 5 5
3.已知数据 1, 2, 3, , 8的平均数为8，方差为6，则3 1 + 2,3 2 + 2,3 3 + 2, ，3 8 + 2的平均数和方差
分别为( )
A. 26，54 B. 26，56 C. 24，54 D. 24，56
4.已知事件 ， 满足 ( ) = 0.6, ( ) = 0.4，则下列结论正确的是( )
A. 若 与 相互独立，则 ( ) = 0.24 B. 若 与 互斥，则 ( ) = 0.24
C. 与 相互对立 D. 若 ，则 ( ∪ ) = 0.6
5.已知直线 = + 与圆 : 2 + 2 = 3相交于 , 两点，| | = 2，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为
合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则( )
A. 事件1与事件3互斥 B. 事件1与事件2互为对立事件
C. 事件2与事件3互斥 D. 事件3与事件4互为对立事件
2
7.已知向量 = (3,1,2)， = ( 1,3, )，且 与 夹角的余弦值为 ，则 的取值可以是( )
7
A. 2 B. 2 C. 4 D. ±2
8.过定点 的直线 + 2 = 0与过定点 的直线 + 4 2 = 0交于点 ( 与 、 不重合)，则
面积的最大值为( )
A. √ 2 B. 2√ 2 C. 2 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
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A. 若直线 = + 经过第一、二、四象限，则( , )在第二象限
B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C. 方程 + 2 = 0( ∈ )能表示平行 轴的直线
D. 直线的斜率越大，倾斜角越大
10.下列说法错误的是( )
A. 若 , , , 是空间任意四点，则有 + + + = 0
B. 若 // ，则存在唯一的实数 ，使得 =
C. 若 , 共线，则 //
D. 对空间任意一点 与不共线的三点 , , ，若 = + + (其中 , , ∈ R)，则 , , , 四
点共面
11.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别为棱 , 的中点，点 在底面 1 1 1 1内运动
(含边界)，且 1 ⊥平面 ，则( )
A. 若
√ 6
1 = 1 ( ∈ R)，则 //平面 1 1 B. 点 到直线 的距离为 2
C. 若 =
√ 15
1 1 ( ∈ R)，则 = 3 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知一组数据12,17,15, , 20的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为 ．
13.在空间直角坐标系 中，若点 ( , , 2 )关于平面 对称的点为 (2 , , + 5)，则点 的坐标
为 ．
14.已知 是直线 : + 6 = 0上一动点，过点 作圆 : 2 + 2 4 = 0的两条切线，切点分别为 ， ，
则四边形 周长的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体 1 1 1 1中，以顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
60°， 为 1 1与 1 1的交点.若 = ， = ， 1 = ，
(1)用 , , 表示 ；
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(2)求对角线 1的长；
(3)求cos , 1
16.(本小题15分)
某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分
100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50), [50,60)，…，[90,100]，整理得到如图所示的频率
分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这次竞赛的平均成绩；
(2)按照成绩从高到低选出样本中前15％的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要
多少分？
(3)在(2)的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从
这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在[80,90)的概率．
17.(本小题15分)
已知点 是直线 1: 2 + 5 = 0与直线 2: + 3 = 0的交点．
(1)求过点 且与直线 3: + 3 + 1 = 0平行的直线的方程；
(2)求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；
(3)若点 在圆 : 2 + 2 + 2 + 4 + = 0的外部，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 为
棱 的中点．
(1)证明： //平面 ；
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(2)若 = √ 5, = 1，
( )求二面角 的余弦值；
5√ 6
( )在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理
18
由．
19.(本小题17分)
某校举行围棋比赛，甲 乙 丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 1，甲与丙
比赛时，甲获胜的概率为 2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为 3．
(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲 乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜
利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场
比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设 1 = 2 = 3 = 0.6，且每局
比赛相互独立．
( )求乙连胜两局获得最终胜利的概率；
( )求比赛结束时乙获胜的概率；
(2)若 1 + 3 < 1，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析
乙的最优指定策略．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.16.5
13.(1, 3,2)
14.4 + 4√ 7/4√ 7 + 4
15.【详解】(1)连接 1 , , 1，如图：
因为 = ， = ， 1 =
在 1 ，根据向量减法法则可得： = 1 1 =
因为底面 是平行四边形
故 = + = +
因为 // 1 1且| | = | 1 1|
∴ 1 1 = = +
又 为线段 1 1中点
1 1
∴ 1 = 2 1
1 = ( + ) 2
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在 1 中
1 1 1
= 1 + 1 = + ( + ) = + + 2 2 2
(2)因为顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°
故 = | ||
1
|cos60° =
2
1
= | | | |cos60° =
2
1
= | | | |cos60° =
2
由(1)可知 = +
故平行四边形 1 1中
故： = 1 + 1 = + +
| |2 = ( )2 1 1 = ( + + )
2
= ( )2 + ( )2 + ( )2 + 2 + 2 + 2
= | |2 + | |2 + | |2 + 2| | | |cos60° + 2| | | |cos60° + 2| | | |cos60°
1 1 1
= 1 + 1 + 1 + 2 × + 2 × + 2 × = 6
2 2 2
故| 1| = √ 6
(3)因为 1 = + + ， =

又cos ,
1 ( + + ) 1 = = | | | 1| 1 √ 6
2 1 1
( ) + + 1 + +2 2 2 √ 6= = = =
√ 6 √ 6 √ 6 3
16.【详解】(1)解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，
可得(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.025，
竞赛的平均成绩：(0.005 × 45 + 0.010 × 55 + 0.020 × 65 + 0.030 × 75 + 0.025 × 85 + 0.010 × 95) × 10 =
74．
(2)解：由频率分别直方图的数据，可得：
成绩在[40,80]内的频率为：(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030) × 10 = 0.65，
成绩在[40,90]内的频率为：(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + 0.025) × 10 = 0.90，
所以成绩从高到低选出样本中前15％的学生，即为85％分位数，设为 ，
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0.020
可得 = 80 + × 10 = 88分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要88分.
0.025
(3)由题意得，样本中宣传队学生的人生为100 × 0.15 = 15，
其中成绩在[80,90)的学生人数为100 × (90 88) × 0.025 = 5，
成绩在[90,100]的学生人数为100 × (100 90) × 0.010 = 10，
从样本中按分层抽样的方法抽取6人，则成绩在[80,90)的学生有2人，记为 , ，
在[90,100]的学生有4人，记为 , , , ，
从中选2人担任正副队长的样本空间为：
= {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( )}，
记事件 =“正副队长中至少有1名学生成绩在[80,90)”，则：
== {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}，
9
由古典摡型的概率计算公式，可得 ( ) = = 0.6．
15
2 + 5 = 0 = 2
17.【详解】(1)联立方程组{ ，解得{ ，所以交点 的坐标为( 2,1).
+ 3 = 0 = 1
设与直线 3平行的直线为 + 3 + = 0，
代入点 的坐标得： 2 + 3 + = 0，解得 = 1，
所以过点 且与直线 3: + 3 + 1 = 0平行的直线的方程为 + 3 1 = 0．
(2)若直线在两坐标轴上截距为0，即直线经过原点时，设直线方程为 = ( ≠ 0)，
1
代入 ( 2,1)得1 = 2 ，解得 = ，
2
1
所以直线方程为 = ，即 + 2 = 0；
2

若直线的截距不为0时，设直线方程为 + = 1( ≠ 0)，

将点 ( 2,1)代入，得 = 1，此时直线方程为 + + 1 = 0，
所以过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 + 2 = 0或 + + 1 = 0．
(3)因为点 在圆 的外部，
所以( 2)2 + 12 + 2 × ( 2) + 4 × 1 + > 0，解得 > 5
又方程 2 + 2 + 2 + 4 + = 0表示圆，
所以22 + 42 4 > 0，解得 < 5
故实数 的取值范围为： 5 < < 5．
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18.【详解】(1)取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
∵ 为棱 的中点，
1 1
∴ // ， = ，∵ // ， = ，∴ // ， = ，
2 2
∴四边形 是平行四边形，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2) ∵ = √ 5， = 1， = 2，
∴ 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 ， 平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ，由 ⊥ ，
∴以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图：
1
则 (0,0,1)， (0,0,0)， (1,0,0)， (0,2,0)， (0,1, )， (1,1,0)，
2
1
( )故 = (0,1, )， = (1,1,0)
2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

1
= + = 0
则{ 2 ，令 = 2，则 = 1， = 1，∴ = (1, 1,2)，
= + = 0
平面 的一个法向量为 = ( , , )，
1
= (0,1, ) , = (1,1, 1)
2
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1
= = 0
则{ 2 ，令 = 2，则 = 1， = 1，故 = (1,1,2)，
= + = 0
4 2
，∴ cos , = = = ，
| || | √ 6×√ 6 3
2
由于二面角 的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 ；
3
5√ 6
( )假设在线段 上是存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ，
18
设 = ，0 ≤ ≤ 1，则 ( , 0,1 )， = ( , 0,1 )，
由(2)知平面 的一个法向量为 = (1, 1,2)，
= + 0 + 2(1 ) = 2 ，
| | 2 5√ 6
∴点 到平面 的距离是 = = ，
| | √ 6 18
1 1 √ 2
∴ = ，∴ = = ．
3 3 3
19.【详解】(1)( ) = (1 0.6) × 0.6 = 0.24．
( ) = (1 1) 3 + (1 1)(1 3) 2(1 1) + 1(1 2) 3(1 1)
= 0.4 × 0.6 + 0.4 × 0.4 × 0.6 × 0.4 + 0.6 × 0.4 × 0.6 × 0.4 = 0.336，
(2)设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故 ( ) = 3(1 1) + 3 1(1 2) 3 + (1 3) 2(1 1) 3；
同理可得 ( ) = (1 1) 3 + (1 1)(1 3) 2(1 1) + 1(1 2) 3(1 1)；
( ) ( )
= [ 3 1(1 2) 3 1(1 2) 3(1 1)] + [(1 3) 2(1 1) 3 (1 1)(1 3) 2(1 1)]
= ( 1 + 3 1) 1(1 2) 3 + ( 1 + 3 1)(1 3) 2(1 1)
= ( 1 + 3 1)[ 1(1 2) 3 + (1 3) 2(1 1)]，
由于 1 + 3 < 1，故 ( ) ( ) < 0，
所以 ( ) > ( )，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲．
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