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2025-2026学年广州市第七十五中学高二上学期第一次阶段性测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知直线 经过 ( 1,4)， (1,2)两点，则直线 的倾斜角为( )
π π 2π 3π
A. B. C. D.
6 4 3 4
2.已知 ， ， 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A. ，2 ， B. 2 ， 2 ， + 2
C. 3 ， ， + 2 D. ， + ，
3.直线 + 2 + 4 = 0与直线 + ( 1) + 2 = 0平行，则 的值为( )
A. = 2 B. = 0 C. = 1 D. = 1或 = 2
4.如图所示，空间四边形 中， = , = , = ，点 在 上，且 = 2 ， 为 中点，
则 等于( )
1 → 2 → 1 → 2 → 1 → 1 → 1 → 1 → 2 → 2 → 2 → 1 →
A. + B. + + C. + D. +
2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2
5.若 < 0， < 0，则直线 + + = 0不经过第象限( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2π
6.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，底面 和侧面 1 1都是正方形，∠ 1 = , =3
2，点 是 1 与 1的交点，则 1 =( )
A. 4 2√ 3 B. 2 C. 4 D. 6
7.已知直线 1 = 0和以 ( 3,1)， (3,2)为端点的线段相交，则实数 的取值范围为( )
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1 3 2 1 3 2
A. ≤ ≤ B. 2 ≤ ≤ C. ≤ 或 ≥ D. ≤ 2或 ≥
2 2 3 2 2 3
8.已知四棱柱 1 1 1 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点 到平面 1 1的距离
4√ 10
为 ，则直线 1 与平面 1 1所成角的余弦值为( ) 5
3√ 10 3√ 7 √ 10 √ 7
A. B. C. D.
10 10 10 10
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
3 1
A. 两条不重合直线 1, 2的方向向量分别是 = (2,3, 1), = ( 1, , )，则 1// 2 2 2
B. 两个不同的平面 , 的法向量分别是 = (2,2, 1), = ( 3,4,2)，则 ⊥
C. 直线 的方向向量 = (1, 1,2)，平面 的法向量是 = (6,4, 1)，则 ⊥
D. 直线 的方向向量 = (0,3,0)，平面 的法向量是 = (0, 1,0)，则 //
10.下列说法中，正确的有( )
A. 过点 (1,2)且在 轴， 轴截距相等的直线方程为 + 3 = 0
B. 直线 = 2在 轴的截距是2
C. 直线 √ 3 + 1 = 0的倾斜角为30°
D. 过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为 5 = 0
11.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥平面 ， = ， 、 分别是 、
的中点， 是棱 上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. ⊥
B. 存在点 ，使 //平面
C. 存在点 ，使直线 与 所成的角为30
D. 点 到平面 与平面 的距离和为定值
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 = (2, 1,3)， = ( 1,2, 2)， = (6,1, )，若( ) ⊥ ，则 的值为 ．
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13.向量 = (1,1, 3)， = (2, 1, 1)，则 在 上的投影向量的坐标为
14.为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面 与水平面 的交线为 ，小明分别在水
平面 和斜坡面 选取 , 两点，且 = 7， 到直线 的距离 1 = 3， 到直线 的距离 1 = 4， 1 1 =
2√ 3，则该斜坡的坡度是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平行四边形 中， ( 1,2), (1,3), (3, 1)，点 是线段 的中点．
(1)求直线 的方程；
(2)求过点 且与直线 垂直的直线．
16.(本小题15分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求直线 1与平面 1 所成角的正弦值；
(3)若正方体的棱长为2，求点 1到平面 1 的距离．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形，平面 ⊥底面 , 是
的中点．
(1)证明： ⊥ ．
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
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已知直线 的方程为：(2 + ) + (1 2 ) + (4 3 ) = 0．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 1的方程．
19.(本小题17分)
图①是直角梯形 , /\!/ , ∠ = 90°，四边形 是边长为2的菱形，并且∠ = 60°，以 为
折痕将 折起，使点 到达 1的位置，且 1 = √ 6．
(1)求证：平面 1 ⊥平面 ；
√ 15
(2)在棱 1上是否存在点 ，使得点 到平面 1的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 1所成角5
的正弦值：若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
4 2 2
13.( , , )
3 3 3
14.√ 3
15.(1)由中点坐标公式得 (2,1)，
1 2 1
∴ = = ， 2+1 3
1
∴直线 的方程为 1 = ( 2)，即 + 3 5 = 0．
3
(2)设点 ( , )，∵平行四边形 的对角线互相平分，
即 中点和 中点重合，
1+3 1+
=
2 2 = 1∴ { ，解得{ ，即 (1, 2)，
2 1 +3
= = 2
2 2
1+2
∴ = = 3， 2 1
1
则过点 且与直线 垂直的直线斜率为： ，
3
1
方程为： 2 = ( + 1)，即 + 3 5 = 0．
3
16.(1) ∵ // 1 1, | | = | 1 1|，
∴平面 1 1为平行四边形， 1// 1，
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∵ 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∴ 1//平面 1 ．
(2)设正方体边长为2，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 1为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 (0,0,0), 1(2,0,2), (0,2,1), 1(0,0,2)，
∴ 1 = (2,0,2), = (0,2,1), 1 = (0,0,2)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
= 0 2 + 2 = 0
则{ 1 { ，令 = 2，则 = 2, = 1，
= 0 2 + = 0
∴ = (2,1, 2)，
4 2
设直线 1与平面 所成角为 ，则sin = |cos ,
1
1 1 | = | | = | | = ．
| | | 1| 2×3 3
(3) ∵正方体棱长为2，同(2)中假设，
∴ 1 = (2,0,2), = (0,2,1), 1 = (0,0,2)，平面 1 的法向量 = (2,1, 2)，
| 1| | 4| 4
∴点 1到平面 1 的距离 = = = ． | |
√ 2
3
22+12+( 2)
17.(1)取 的中点为 ，连接 ， ，
因为 是等边三角形，所以 ⊥ ，
因为侧面 ⊥底面 ，侧面 ∩底面 = ，
所以 ⊥底面 ，因为 , 底面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，所以 ， ， 两两垂直，
则分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
不妨设 = 2，
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则 (0,0, √ 3)， (1,0,0)， (1,2,0)， ( 1,2,0)， ( 1,0,0)， (0,2,0)，
= ( 2,0,0)， = (0,2, √ 3)，
因为 = ( 2) × 0 + 0 × 2 + 0 × ( √ 3) = 0，所以 ⊥ ，所以 ⊥ ；
(2)在平面 中， = (1,2, √ 3)， = ( 1,2, √ 3)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
则{
= 0 + 2 √ 3 = 0 { ,
= 0 + 2 √ 3 = 0
令 = √ 3，则 = (0, √ 3, 2)为平面 的一个法向量．
又平面 的一个法向量 = (0,1,0)，
设平面 与平面 夹角为 ，
| | |0+√ 3+0| √ 21
则cos = = = ，
| | | | √ 7 1 7
√ 21
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
7
18.(1)证明：∵直线 的方程为：(2 + ) + (1 2 ) + (4 3 ) = 0
∴提参整理可得：( 2 3) + 2 + + 4 = 0．
2 3 = 0 = 1
令{ ，可得{ ,
2 + + 4 = 0 = 2
∴不论 为何值，直线必过定点 ( 1, 2)．
(2)设直线 1的方程为 = ( + 1) 2( < 0)．
2
令 = 0,则 = ，

令 = 0,.则 = 2，
1 2 1 4
∴直线 1与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积 = | | | 2| = [( ) + + 4] ≥2 2
1 4
(2√ ( ) ( ) + 4) = 4．
2
4
当且仅当 = ，即 = 2时，三角形面积最小．

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此时 1的方程为2 + + 4 = 0．
19.(1)
取 的中点 ，连接 , 1 ，
因为四边形 是边长为2的菱形，并且∠ = 60°，
所以 ,△ 1均为等边三角形，故 ⊥ , 1 ⊥ ,且 = 1 = √ 3，
因为 1 = √ 6，所以
2 + 21 =
2
1 ，
由勾股定理逆定理得： ⊥ 1 ，又因为 , 是平面 内两条相交直线，
所以 1 ⊥平面 ，即 1 ⊥平面 ，
因为 1 平面 1，所以平面 1 ⊥平面 ；
(2)
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 1 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
√ 3 3
则 (0,0,0), (√ 3, 0,0), (0,1,0), 1(0,0, √ 3), (0, 1,0), ( , , 0)， 2 2
√ 3 3 √ 3 3
设 ( , , ), = 1 , ∈ [0,1]，故( , + , ) = ( , , √ 3) , ∈ [0,1]， 2 2 2 2
√ 3 √ 3 3 3
解得： = , = , = √ 3 ，
2 2 2 2
√ 3 √ 3 3 3
故 ( , , √ 3 )，
2 2 2 2
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设平面 1的法向量为 = ( , , )，
则 = ( √ 3, 1,0), 1 = ( √ 3, 0, √ 3),，
= √ 3 + = 0
故{ ,
1 = √ 3 + √ 3 = 0
令 = 1，则 = √ 3, = 1，故 = (1, √ 3, 1)，
√ 3 √ 3 3 3其中 = ( , , √ 3 )
2 2 2 2
√ √
3 3 3 3| | |( , ,√ 3 ) (1,√ 3,1)|2 2 2 2 √ 15
则 = = = ，
| | √ 1+3+1 5
1 3√ 3 3 √ 3 √ 3 1 √ 3解得： = ，则 = ( , , ), = ( , , ),，
2 4 4 2 4 4 2
设直线 与平面 1所成角为 ，
| | √ 15
则sin = |cos , | = = ，
| | | | 5
√ 15
直线 与平面 1所成角的正弦值为 ． 5
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